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Símbolo de Legendre

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En lateoría de los números, elsímbolo de Legendre es unafunción multiplicativa utilizada para determinar elcarácter cuadrático de un número (mod p), es decir si es residuo cuadrático o no;^[1] la misma que toma comoargumentos unentero $a {\displaystyle a}$ y unprimo $p {\displaystyle p}$ y devuelve uno de los valores $0,1,-1$ dependiendo de si $a {\displaystyle a}$ es o noresiduo cuadrático módulo $p {\displaystyle p}$ , es decir de si la congruencia

x^{2}\equiv a{\pmod {p}}

tiene solución o no.

El símbolo de Legendre fue introducido porAdrien-Marie Legendre in 1798^[2] en el curso de sus intentos de demostrar laley de reciprocidad cuadrática. Generalizaciones del símbolo incluyen elsímbolo de Jacobi y loscaracteres de Dirichlet de orden superior. La conveniencia de la notación del símbolo de Legendre inspiró la introducción de varios otrossímbolos que se utilizan en lateoría algebraica de números, como elsímbolo de Hilbert y elsímbolo de Artin.

Definición

Dado un entero $a {\displaystyle a}$ y un primo impar $p {\displaystyle p}$ , elsímbolo de Legendre, denotado $\left({\frac {a}{p}}\right)$ , se define como sigue:

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&{\text{si }}p{\text{ es divisor de }}a,\\1&{\text{si }}a{\text{ es residuo cuadrático módulo }}p,\\-1&{\text{si }}a{\text{ es no residuo cuadrático módulo }}p.\\\end{cases}}$

Ejemplo

$x=2\Rightarrow 2^{2}\equiv 1{\pmod {3}}\Rightarrow \left({\frac {1}{3}}\right)=1$ .

Formulaciones alternativas

Para algunos valores concretos de $a {\displaystyle a}$ , el símbolo de Legendre aún puede simplificarse más:

a) $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p-1}{2}}$ .

b) $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p^{2}-1}{8}}$ .

Propiedades

El símbolo de Legendre satisface algunas propiedades interesantes:

i) $\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\tfrac {p-1}{2}}{\tfrac {q-1}{2}}}$ para todo par de primos $p, q {\displaystyle p,q}$ .

ii) $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ .

Véase también

Notas

↑Burton W. Jones Teoría de los números Editorial Trillas S. A. Ciudad de México (1969)
↑A. M. LegendreEssai sur la theorie des nombres Paris 1798, p 186.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W.«Legendre Symbol». En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research.

Datos:Q748339

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