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Regla del trapecio

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La funciónf(x) (en azul) es aproximada por lafunción lineal (en rojo).

Enanálisis numérico laregla del trapecio es un método de integración, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de unaintegral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral def(x){\displaystyle f(x)} por el de lafunción lineal, que pasa a través de los puntos(a,f(a)){\displaystyle (a,f(a))} y(b,f(b)){\displaystyle (b,f(b))}. La integral de esta es aproximadamente igual alárea deltrapecio bajo la gráfica de la función lineal.

Regla del trapecio Simple

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Para realizar la aproximación por esta regla es necesario usar un polinomio de primer orden, y esta es representada por:

P1(x)=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a){\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}

Entonces al sustituir en la integral tenemos lo siguiente:

I=∫abf(x)dx≈∫abP1(x)dx≈∫ab[f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)]dx{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P_{1}(x)\,dx\\&\approx \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,dx\end{aligned}}}

Por último al resolver esa integral nos queda:

∫abf(x)dx≈(b−a)f(a)+f(b)2{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}}

Cálculo del error

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El término de error corresponde a:

Et=−112f″(ξ)(b−a)3{\displaystyle E_{t}=-{\frac {1}{12}}f''(\xi )(b-a)^{3}}

Siendoξ{\displaystyle \xi } un número perteneciente alintervalo[a,b]{\displaystyle [a,b]}.

Regla del trapecio compuesta

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Ilustración de la regla del trapecio compuesta

Laregla del trapecio compuesta oregla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizandon trapecios. En la formulación de este método se supone quef{\displaystyle f} es continua y positiva en el intervalo[a,b]{\displaystyle [a,b]}. De tal modo la integral definida∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} representa el área de la región delimitada por la gráfica def{\displaystyle f} y el ejeOx{\displaystyle Ox}, desdex=a{\displaystyle x=a} hastax=b{\displaystyle x=b}. Primero se divide el intervalo[a,b]{\displaystyle [a,b]} enn{\displaystyle n} subintervalos, cada uno de anchoΔx=(b−a)/n{\displaystyle \Delta x=(b-a)/n}.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

∫abf(x)dx∼h2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}

Dondeh=b−an{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}} yn{\displaystyle n} es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

∫abf(x)dx∼b−an[f(a)+f(b)2+∑k=1n−1f(a+kb−an)]{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right]}

El error en esta aproximación se corresponde con :

−(b−a)312n2f″(ξ){\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\,f''(\xi )}

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

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∫023xdx{\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx} paran=6{\displaystyle n=6}

Primero se obtieneh{\displaystyle h}, y después esta, de los límites de la integral que representana{\displaystyle a} yb{\displaystyle b} y paran=6{\displaystyle n=6} queda:h=b−an{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}=2−06=13{\displaystyle ={\frac {2-0}{6}}={\frac {1}{3}}}.

Y ahora se sustituye en la fórmula

∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} =h2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]{\displaystyle {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}

y queda:

∫023xdx{\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx} =12⋅13[3(0)+2[3(0+1⋅13)]+2[3(0+2⋅13)]+2[3(0+3⋅13)]+2[3(0+4⋅13)]+2[3(0+5⋅13)]+3(2)]=6{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}[3(0)+2[3(0+1\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+2\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+3\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+4\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+5\cdot {\frac {1}{3}})]+3(2)]=6}.


En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.

Véase también

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Referencias

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