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Regla de Simpson

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La funciónf (x) (azul) es aproximada por una función cuadráticaP (x) (rojo).

Enanálisis numérico, laregla ométodo de Simpson (nombrada así en honor deThomas Simpson) y a veces llamada regla deKepler es un método deintegración numérica que se utiliza para obtener laaproximación de laintegral:

∫abf(x)dx≈b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}.


Introducción

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Enintegración numérica, una forma de aproximar una integral definida en unintervalo [a,b] es mediante laregla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproximaf por un polinomio deprimer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma idea, pero aproximando los subintervalos def mediante polinomios de segundo grado.

Deducción de la regla de Simpson

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Consideramos elpolinomio interpolador de orden dosP2(x){\displaystyle P_{2}(x)}, que aproxima a la función integrandof(x){\displaystyle f(x)} entre los nodosx0 =a,x1 =b ym = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de lainterpolación polinómica de Lagrange es:

P2(x)=f(a)(x−m)(x−b)(a−m)(a−b)+f(m)(x−a)(x−b)(m−a)(m−b)+f(b)(x−a)(x−m)(b−a)(b−m).{\displaystyle P_{2}(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}

Así, la integral buscada[1]​

I=∫abf(x)dx{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

es equivalente a

I=∫abP2(x)dx+término error=b−a6[f(a)+4f(m)+f(b)]+E(f),{\displaystyle I=\int _{a}^{b}P_{2}(x)\,dx+{\mbox{término error}}={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f(m)+f(b)\right]+E(f),}

dondeE(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

∫abf(x)dx≈b−a6[f(a)+4f(m)+f(b)].{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f(m)+f(b)\right].}


Error

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El término errorE(f), llamadoerror global, corresponde a[1]​

E(f)=−h590f(4)(ξ){\displaystyle E(f)=-{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}

dondeh=(b−a)/2{\displaystyle h=(b-a)/2} yξ{\displaystyle \xi } pertenece alintervalo [a,b].

Se puede calcular una estimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas def(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (entérminos absolutos) está acotado como[2]​

|E(f)|=|∫abf(x)dx−∫abP2(x)dx|≤h590maxa≤ξ≤b|f(4)(ξ)|,{\displaystyle |E(f)|=\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}P_{2}(x)\,dx\right|\leq {\frac {h^{5}}{90}}\,\max _{a\leq \xi \leq b}\left|f^{(4)}(\xi )\right|,}

donde, de nuevoh=(b−a)/2{\displaystyle h=(b-a)/2} yξ∈[a,b]{\displaystyle \xi \in [a,b]}.

Regla de Simpson 1/3 compuesta

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En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson.Se divide el intervalo [a,b] enn subintervalos iguales (conn par), de manera quexi=a+ih{\displaystyle x_{i}=a+ih}, dondeh=(b−a)/n{\displaystyle h=(b-a)/n} parai=0,1,...,n{\displaystyle i=0,1,...,n}.

Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo[xj−1,xj+1], j=1,3,5,...,n−1,{\displaystyle [x_{j-1},x_{j+1}],\ j=1,3,5,...,n-1,} tenemos:

∫xj−1xj+1f(x)dx≈xj+1−xj−16[f(xj−1)+4f(xj)+f(xj+1)]{\displaystyle \int _{x_{j-1}}^{x_{j+1}}f(x)\,dx\approx {\frac {x_{j+1}-x_{j-1}}{6}}\left[f(x_{j-1})+4f(x_{j})+f(x_{j+1})]\right.}

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

∫abf(x)dx≈h3[f(x0)+2∑k=1n2−1f(x2k)+4∑k=1n2f(x2k−1)+f(xn)],{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{k=1}^{{\frac {n}{2}}-1}f(x_{2k})+4\sum _{k=1}^{\frac {n}{2}}f(x_{2k-1})+f(x_{n}){\bigg ]},}

El máximo error viene dado por la expresión(b−a)h4180maxa≤ξ≤b|f(4)(ξ)|.{\displaystyle (b-a)\,{\frac {h^{4}}{180}}\,\max _{a\leq \xi \leq b}\left|f^{(4)}(\xi )\right|.}

Regla de Simpson 3/8 simple

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Esta forma es muy similar a la regla de Simpson clásica, pero se usa polinomios de Lagrange de tercer orden. Se tiene en consideración que ahora el pasoh=(b−a)3{\displaystyle h={\tfrac {(b-a)}{3}}}, ya que la función se tabula con cuatro puntos de igual distanciah y formando tres subintervalos. Sixn+1=xn+h conx0=a, se define de la siguiente manera:

I=∫abf(x)dx≈∫abP3(x)dx≈3h8[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)]=3h8[f(a)+3f(2a+b3)+3f(a+2b3)+f(b)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}I&=\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P_{3}(x)dx\\&\approx {\tfrac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3})\right]={\tfrac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\tfrac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\tfrac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\\end{alignedat}}}

El error al usar la regla de Simpson de 3/8 se puede obtener usando:

E(f)=−380h5f(4)(ξ){\displaystyle E(f)=-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}

dondeξ{\displaystyle \xi } se encuentra dentro del intervalo [a,b].

Regla de Simpson 3/8 compuesta

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Es más exacta que la regla de Simpson 3/8 simple, ya que divide el intervalo de integración en más subintervalos. Se expresa de la siguiente forma:

I≈3h8[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+2f(x3)+3f(x4)+3f(x5)+2f(x6)+⋯+f(xn)]{\displaystyle I\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+\dots +f(x_{n})\right]}

tomandoh=(b−a)n{\displaystyle h={\tfrac {(b-a)}{n}}} donden es el número de subintervalos, con la condición de quen sea múltiplo de 3 y que en cada sumatorio se tomen los valores dei=i+3{\displaystyle i=i+3}.

I≈3h8[f(x0)+3∑i=0n3−1f(x3i+1)+3∑i=0n3−1f(x3i+2)+2∑i=0n3−2f(x3i+3)+f(xn)]{\displaystyle I\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+1})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+2})+2\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-2}f(x_{3i+3})+f(x_{n})\right]}

Para el cálculo del error, se obtiene la cuarta derivada de la función y tomando en cuenta queξ{\displaystyle \xi } debe pertenecer al intervalo de integración, se aplica la siguiente fórmula:

E(f)=n80h5f(4)(ξ){\displaystyle E(f)={\frac {n}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}

Historia

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La fórmula fue utilizada por primera vez porEvangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemático inglésThomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel queJohannes Kepler ya había formulado en 1615.

Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicación posterior: Después de que la primera esposa de Kepler había muerto enPraga en 1611, Kepler se casó nuevamente - en Linz, donde ahora trabajaba - en 1613. Para la boda compró algunos toneles de vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido. Kepler se sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista.[3]​

A raíz de esto, Kepler formuló en 1615 el escritoNova Stereometria doliorum vinariorum (Nuevo cálculo del contenido de barriles de vino), en el que buscaba métodos verificables para el cálculo del contenido de los toneles de vino. Uno de estos métodos consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes.[4]​

Entre otras cosas, Kepler describió en este texto una fórmula para el cálculo de la capacidad (más precisamente, del volumen) de barriles de vino con formas irregulares. Esta fórmula arroja valores exactos para eltronco de la pirámide (incluida lapirámide), laesfera, elparaboloide elíptico, elhiperboloide de una hoja y todas las demás superficies de un cuerpo que pueden ser generadas por secciones planas perpendiculares al eje del cuerpo.

Véase también

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Referencias

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  1. ↑abRao, Sankara (2007). «7.6 Newton-Cotes integration formulae».Numerical Methods For Scientists And Engineers(en inglés) (3ª edición). New Delhi (India): Prentice-Hall of India Learning Private. pp. 151-159.ISBN 8120332172. |fechaacceso= requiere|url= (ayuda)
  2. ↑Grasselli, Matheus; Pelinovsky, Dmitry (2008).«6.6 Newton-Cotes integration rules».Numerical mathematics(en inglés) (1ª edición). Massachusetts (USA): Jones & Bartlett Learning. pp. 328.ISBN 0763737674. Consultado el 20 de junio de 2011. 
  3. ↑Wussing, Hans (1998),Lecciones de historia de las matemáticas, Siglo XXI de España Editores, pp. 141-142,ISBN 9788432309663, consultado el 20 de junio de 2011 .
  4. ↑Kepler, Johannes (1908).Neue Stereometrie der Fässer(en alemán, traducción desde el latín por R. Klug. W. Engelmann). Leipzig. 

Enlaces externos

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Control de autoridades
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