Dadas dosvariablesX eY,Y es(directamente) proporcional aX (X eYvarían directamente, oX eY están envariación directa) si hay una constante distinta de cero tal que:
La relación a menudo se denota
Los dos rectángulos con franjas son semejantes, los cocientes de sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La duplicación de la escala del triángulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen.
y la razón constante
es llamadaconstante de proporcionalidad.
Para ilustrar, supongamos que si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido aldividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen, dicho cociente corresponde a la constante de proporcionalidad.[3]
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g deharina, 150 g demantequilla, cuatro huevos y 120 g deazúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios[cita requerida], la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por elnúmero real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que lacantidad de cada ingrediente esproporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficientek no nulo ( en el ejemplo) tal que
recta que pasa por el origen de coordenadas
Si se consideran e como valores devariables e, entonces se dice que estas variables son proporcionales; laigualdady = k·x significa que y es unaFunción lineal de x. La representación gráfica de estafunción es unarecta que pasa por el origen delsistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase dematemáticas, con alumnos de treceaños aproximadamente.
reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
simétrica (cuandoy es proporcional ax entoncesx lo es ay, con el coeficiente inverso) y
transitiva (six es proporcional ay, ey az, entoncesx lo es conz, multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de unarelación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
tres tablas de proporcionalidad 2x2
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
tres maneras de ver la proporcionalidad
Unaproporción está formada por losnúmeros a, b, c y d, si larazón entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales:a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos decero y se leea es a b como c es a d.
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple:a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llamanextremos; c y b se llamanmedios.
En toda proporciónel producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por; en la segunda línea se tiene que multiplicar por, luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
verificar la igualdad de los productos cruzados:a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede comprobar el número
Dos albañiles construyeron una pared para una casa de doce metros cuadrados de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando lashipótesis subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número dealbañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que lasuperficie es proporcional altiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.
proporcionalidad múltiple
Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? Elparámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por.Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por (la subtabla azul es proporcional).
El resultado final es
metro cuadrado.
La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor.
Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedio de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?
Cuanta mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividirá en dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: esinversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:
ejemplo de proporcionalidad inversa
cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será, es decir una hora y 45 minutos.
Más generalmente, si una variabley es inversamente proporcional a otra variablex, se puede aplicar la proporcionalidad con, o más bien utilizar la siguiente equivalencia:
método para la proporcionalidad inversa
Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.
Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional.ejem:
número de canicas precio
2 canicas 50 centavos
4 canicas 1 peso
6 canicas 1,50 pesos
Magnitudes Directamente Proporcionales:
Dos magnitudes sondirectamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.
Ejemplo:
Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?
Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante. Con los datos de la tabla, hallamos la razón.
Elaboramos una tabla de proporcionalidad:
Gasolina (galones)
3
1
10
20
40
Recorrido (kilómetros)
120
40
400
800
1600
Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, más galones de gasolina se consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Significa, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.
El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dostriángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.
se sigue que siy es proporcional ax, con constante de proporcionalidadk distinta de cero, entoncesx es también proporcional ay con constante de proporcionalidad 1/k.
Siy es proporcional ax, entonces el gráfico de y comofunción de x será unalínea recta que pasa por elorigen con lapendiente de la línea igual a la constante de proporcionalidad: corresponde a uncrecimiento lineal.
El concepto deproporcionalidad inversa puede ser contrastado contra laproporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí.Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o elvalor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá proporcionalmente si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidadk) siempre igual.
Formalmente, dos variables soninversamente proporcionales (o están envariación inversa, o enproporción inversa o enproporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con lamultiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si susproductos son constantes. Se sigue que la variabley es inversamente proporcional a la variablex si existe una constantek distinta de cero tal que
La constante, o factor de proporcionalidad, puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original.
Mejor definido en palabras sencillas es cuando una cantidad o variable sube proporcionalmente la otra variable baja o viceversa.
Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesía es inversamente proporcional a la velocidad del viaje; el tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando.
El gráfico de dos variables variando inversamente en un plano decoordenadas cartesianas es unahipérbola. El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualarán la constante de proporcionalidad (k). Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curva nunca cruzará ningún eje.
Los conceptos de proporcióndirecta einversa conllevan a la ubicación y puntos en el plano cartesiano porcoordenadas hiperbólicas; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que ubica un punto en unrayo y la constante de proporcionalidad inversa que posiciona un punto en una hipérbola.
Una variabley esproporcionalmente exponencial a una variablex, siy es directamente proporcional a lafunción exponencial dex, esto es si existen constantesk ya diferentes de cero.
Del mismo modo, una variabley eslogaritmicamente proporcional a una variablex, siy es directamente proporcional allogaritmo dex, esto es si existen las constantesk ya es distinta de cero.
Para determinar experimentalmente si dos cantidadesfísicas son directamente proporcionales, uno realiza diversas mediciones y plotea los puntos resultantes de la data en unsistema de coordenadas cartesianas. Si los puntos caen en o cerca de una línea recta que pasa por el origen (0, 0), entonces las dos variables son probablemente proporcionales, con la constante de proporcionalidad dada por lapendiente de la línea.
Las primeras compañías europeas fueron fundadas por armadores navieros deItalia. Empiezan en el siglo IX. La aritmética negocial, tomada de los árabes por Leonardo de Pisa, tuvo una gran aceptación y uso en Europa en esa época. Se aplicaba en la resolución de problemas vinculados en la repartición de beneficios y pérdidas que acarreaban las actividades de dichas empresa navales.
Estos consisten en distribuir un número en partes proporcionales a otros varios y diversos. Pueden presentarse los repartos directos o inversos o compuestos.
"Para repartir un número dato enpartes directamente proporcionales a diversos números enteros positivos, se multiplica el número a repartir por cada uno de los enteros y se divide por la suma de todos ellos".Ejemplo
Repartir 120 en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 5.
Solución de laecuación: El primero recibirá 2k, el segundo 3k y el tercero 5k. Los tres reciben 2k + 3k + 5k = 120, de donde 10k = 120. De modo que laincógnita k = 120/10 = 12.
Así al primero le toca 12 x 2 = 24; al segundo, 12 x 3 = 36; al tercero, 12 x 5 = 60.
Un padre dispone que, en caso de fallecimiento, sus 6.200 acciones bancarias se repartan en partes inversamente proporcionales a las edades de su hijos que tienen 4, 6 y 10 años respectivamente.
Esto significa que debe recibir más acciones el hijo que tiene menos edad y menos acciones el de más edad.
En este caso se divide en partes 'directamente proporcionales a 1/4, a 1/6 y 1/10. Que llevados a mínimo común denominador, resultan: 15/60, 10/60 y 6/60.
Luego se reparteen partes directamente proporcionales a 15, 10 y 6. Resultando:
El menor con 3.000 acciones; el intermedio, 2.000; y el mayor, con 1.200 acciones.
Consúltese "Arimética [1]" de Lic. L. Galdós. Cultural, S.A. Madrid. (2002).ISBN 9972-891-14-3
