En lenguajecoloquial, unpromedio es un solo número tomado como representante de una lista de números. Se utilizan diferentes conceptos de promedio en diferentes contextos. A menudo, "promedio" se refiere a lamedia aritmética, la suma de los números dividida por cuántos números se promedian. Enestadística, lamedia, lamediana y lamoda se conocen comomedidas detendencia central, y en el uso coloquial cualquiera de estos podría llamarse unvalor promedio. La mayoría de nosotros entendemos la palabra "promedio" porque el uso diario generalmente se refiere a números o grupos que tienen unadistribución normal ocurva en campana, por ejemplo, las alturas de las personas o sus mediciones de presión arterial. Sin embargo, si la distribución de esos números no es normal, entonces lo que generalmente consideramos "promedio" estará sesgado. Los ejemplos incluyen el número de dedos: a algunas personas les faltan dedos, muy raramente las personas tienen extra, y casi nunca más que uno extra, lo que lleva a una situación en la que el número promedio real de dedos (más de 9 pero menos de 10) no es una información particularmente útil.
La media aritmética, la media geométrica y la media armónica se conocen colectivamente como las medias pitagóricas.
El tipo más común de promedio es la media aritmética. Si se dann números, cada número denotado porai (dondei = 1,2, ...,n), la media aritmética es lasuma dea dividida porn o
La media aritmética, a menudo simplemente llamada la media, de dos números, como 2 y 8, se obtiene al encontrar un valor A tal que 2 + 8 = A + A. Uno puede encontrar queA = (2 + 8) / 2 = 5) Cambiar el orden de 2 y 8 para leer 8 y 2 no cambia el valor resultante obtenido para A. La media 5 no es menor que el mínimo 2 ni mayor que el máximo 8) Si aumentamos el número de términos en la lista a 2, 8 y 11, la media aritmética se encuentra resolviendo el valor deA en la ecuación 2 + 8 + 11 =A +A +A. Uno encuentra queA = (2 + 8 + 11) / 3 = 7)
Lamedia geométrica den números positivos se obtiene por ellos multiplicando todos juntos y luego tomar laenésima raíz. En términos algebraicos, la media geométrica dea1,a2, ...an se define como
La media geométrica puede considerarse como elantilog de la media aritmética de losregistros de los números.
Ejemplo: la media geométrica de 2 y 8 es
Media armónica para una colección no vacía de númerosa1,a2, ...,an, todos diferentes de 0, se define como elrecíproco de la media aritmética de los recíprocos de losai:
Un ejemplo en el que la media armónica es útil es cuando se examina la velocidad de varios viajes de distancia fija. Por ejemplo, si la velocidad para ir del puntoA alB era 60 km/h, y la velocidad para regresar deB aA fue de 40 km/h, entonces la velocidad media armónica viene dada por
Una desigualdad bien conocida con respecto a los medios aritméticos, geométricos y armónicos para cualquier conjunto de números positivos es
(El orden alfabético de las letrasA,G yH se conserva en la desigualdad). VéaseDesigualdad de medios aritméticos y geométricos.
Por lo tanto, para el ejemplo de media armónica anterior: AM = 50, GM ≈ 49 y HM = 48 km/h.
Lamoda, lamediana y elrango medio a menudo se usan además de lamedia como estimaciones detendencia central enestadística descriptiva. Todos estos pueden ser vistos como minimizando la variación en alguna medida.
| Tipo | Descripción | Ejemplo | Resultado |
|---|---|---|---|
| Significado aritmético | Suma de valores de un conjunto de datos dividido por el número de valores: | (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7 | 4 |
| Mediana | Valor medio que separa las mitades mayores y menores de un conjunto de datos | 1, 2, 2,3, 4, 7, 9 | 3 |
| Moda | Valor más frecuente en un conjunto de datos. | 1,2,2, 3, 4, 7, 9 | 2 |
| Rango medio | La media aritmética de los valores más altos y más bajos de un conjunto. | (1 + 9) / 2 | 5 |
El número más frecuente en una lista se llama modo. Por ejemplo, el modo de la lista (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) es 3. Puede suceder que haya dos o más números que ocurran con la misma frecuencia y con mayor frecuencia que cualquier otro número. En este caso no hay una definición acordada de modo. Algunos autores dicen que todos son modos y otros dicen que no hay modo.
La mediana es el número medio del grupo cuando se clasifican en orden. (Si hay un número par de números, se toma la media de los dos medios.)
Por lo tanto, para encontrar la mediana, ordene la lista de acuerdo con la magnitud de sus elementos y luego elimine repetidamente el par que consiste en los valores más altos y más bajos hasta que quede uno o dos valores. Si queda exactamente un valor, es la mediana; si dos valores, la mediana es la media aritmética de estos dos. Este método toma la lista 1, 7, 3, 13 y le ordena que lea 1, 3, 7, 13. Luego se eliminan el 1 y el 13 para obtener la lista 3, 7. Como hay dos elementos en esta lista restante, la mediana es su media aritmética, (3 + 7) / 2 = 5.
El rango medio es la media aritmética de los valores más altos y más bajos de un conjunto.
| Nombre | Ecuación o descripción |
|---|---|
| Mediaaritmética | |
| Mediana | El valor medio que separa la mitad superior de la mitad inferior del conjunto de datos. |
| Mediana geométrica | Una extensióninvariante derotación de lamediana para puntos en Rn |
| Modo | El valor más frecuente en el conjunto de datos. |
| Mediageométrica | |
| Mediaarmónica | |
| Media cuadrática (o RMS) | |
| Media cúbica | |
| Media generalizada | |
| Media ponderada | |
| Media truncada | La media aritmética de los valores de datos después de que se haya descartado un cierto número o proporción de los valores de datos más altos y más bajos |
| Media intercuartil | Un caso especial de la media truncada, utilizando elrango intercuartil. Un caso especial de la media truncada intercuartil, que opera en cuantiles (a menudo deciles o percentiles) que son equidistantes pero en lados opuestos de la mediana. |
| Rango medio | |
| Media Winsorizada | Similar a la media truncada, pero, en lugar de eliminar los valores extremos, se establecen iguales a los valores más grandes y más pequeños que quedan |
Latabla de símbolos matemáticos explica los símbolos utilizados a continuación.
Otros promedios más sofisticados son:trimean,trimedian ymedia normalizada, con sus generalizaciones.[1]
Uno puede crear su propia métrica promedio usando elf -mean generalizado:
dondef es cualquier función invertible. La media armónica es un ejemplo de esto usandof(x) = 1/x, y la media geométrica es otra, usandof(x) = logx.
Sin embargo, este método para generar medios no es lo suficientemente general como para capturar todos los promedios. Un método más general para definir un promedio toma cualquier funcióng (x1,x2, ...xn) de una lista de argumentos que escontinua,estrictamente creciente en cada argumento, y simétrica (invariante bajopermutación de los argumentos). El promedio dey es el valor que, al reemplazar cada miembro de la lista, da como resultado el mismo valor de función:g(y,y, ...,y) =g(x1,x2, ...,xn) Esta definición más general aún captura la propiedad importante de todos los promedios de que el promedio de una lista de elementos idénticos es ese elemento en sí. La funcióng(x1,x2, ...,xn) =x1+x2+ ··· +xn proporciona la media aritmética. La funcióng(x1,x2, ...,xn) =x1x2···xn (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media geométrica. La funcióng(x1,x2, ...,xn) =−(x1−1+x2−1+ ··· +xn−1) (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona el significado armónico.[2]
Un tipo de promedio utilizado en finanzas es elrendimiento porcentual promedio. Es un ejemplo de una media geométrica. Cuando los rendimientos son anuales, se denominaTasa de crecimiento anual compuesta (CAGR, del inglésCompound Annual Growth Rate). Por ejemplo, si consideramos un período de dos años, y el rendimiento de la inversión en el primer año es −10% y el rendimiento en el segundo año es +60%, entonces se puede obtener el rendimiento porcentual promedio o CAGR,R. resolviendo la ecuación:(1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 +R) × (1 +R) . El valor deR que hace que esta ecuación sea verdadera es 0.2, o 20%. Esto significa que el rendimiento total durante el período de 2 años es el mismo que si hubiera habido un crecimiento del 20% cada año. El orden de los años no hace ninguna diferencia: el rendimiento porcentual promedio de + 60% y −10% es el mismo resultado que para −10% y + 60%.
Este método puede generalizarse a ejemplos en los que los períodos no son iguales. Por ejemplo, considere un período de medio año para el cual el rendimiento es −23% y un período de dos años y medio para el cual el rendimiento es + 13%. El rendimiento porcentual promedio para el período combinado es el rendimiento de un solo año,R, que es la solución de la siguiente ecuación:(1 − 0.23)0.5 × (1 + 0.13)2.5 = (1 +R)0.5+2.5, dando un retorno promedioR de 0.0600 o 6.00%.
Dada unaserie temporal, como los precios diarios del mercado de valores o las temperaturas anuales, las personas a menudo desean crear una serie más uniforme.[3] Esto ayuda a mostrar las tendencias subyacentes o tal vez el comportamiento periódico. Una manera fácil de hacer esto es elpromedio móvil: uno elige un númeron y crea una nueva serie tomando la media aritmética de los primerosn valores, luego avanza un lugar dejando caer el valor más antiguo e introduciendo un nuevo valor en el otro final de la lista, y así sucesivamente. Esta es la forma más simple demedia móvil. Las formas más complicadas implican el uso de unpromedio ponderado. La ponderación se puede usar para mejorar o suprimir varios comportamientos periódicos y hay un análisis muy extenso de qué ponderaciones usar en la literatura sobrefiltrado. En elprocesamiento de señales digitales, el término "promedio móvil" se utiliza incluso cuando la suma de los pesos no es 1.0 (por lo que la serie de salida es una versión escalada de los promedios).[4] La razón de esto es que el analista generalmente está interesado solo en la tendencia o el comportamiento periódico.
El primer tiempo registrado en que lamedia aritmética se extendió de 2 a n casos para el uso de laestimación fue en el siglo XVI. Desde finales del siglo XVI en adelante, gradualmente se convirtió en un método común para reducir los errores de medición en varias áreas.[5][6] En ese momento, los astrónomos querían saber un valor real a partir de mediciones ruidosas, como la posición de un planeta o eldiámetro de la luna. Usando la media de varios valores medidos, los científicos asumieron que los errores suman un número relativamente pequeño en comparación con el total de todos los valores medidos. El método de tomar la media para reducir los errores de observación fue desarrollado principalmente en astronomía.[7] Un posible precursor de la media aritmética es lagama media (la media de los dos valores extremos), utilizada por ejemplo en astronomía árabe del siglo IX alXI, pero también en metalurgia y navegación.
Sin embargo, hay varias referencias vagas más antiguas al uso de la media aritmética (que no son tan claras, pero que razonablemente tienen que ver con nuestra definición moderna de la media). En un texto del siglo IV, se escribió que (el texto entre corchetes es un posible texto faltante que podría aclarar el significado):[8]
Incluso existen referencias potenciales más antiguas. Hay registros de que desde aproximadamente el año 700 a. C., los comerciantes y los cargadores acordaron que los daños a la carga y al barco (su "contribución" en caso de daños por el mar) deberían compartirse por igual entre ellos.[7] Esto podría haberse calculado utilizando el promedio, aunque no parece haber un registro directo del cálculo.
La raíz se encuentra en árabe como عوارawar, un defecto o cualquier cosa defectuosa o dañada, incluida la mercancía parcialmente estropeada; y عواريʿawārī (también عوارةʿawāra) = "o relacionado conʿawār, un estado de daño parcial". Dentro de los idiomas occidentales, la historia de la palabra comienza en el comercio marítimo medieval en el Mediterráneo.Avaria latina deGénova de los siglosXII yXIII significaba "daños, pérdidas y gastos no normales derivados de un viaje marítimo mercante"; y el mismo significado paraavaria está enMarsella en 1210, Barcelona en 1258 y Florencia a finales del 13. Laavarie francesa del sigloXV tenía el mismo significado, y engendró el inglés "averay" (1491) y el inglés "average" (1502) con el mismo significado. Hoy, laavaria italiana, laavaria catalana y laavarie francesa todavía tienen el significado principal de "daño". La gran transformación del significado en inglés comenzó con la práctica en los contratos de la ley de la marina mercante occidental y los principios modernos de Occidente bajo los cuales si el barco se enfrentaba a una fuerte tormenta y algunos de los productos debían arrojarse por la borda para que el barco fuera más ligero y seguro, entonces todos los comerciantes cuyos bienes estaban en el barco iban a sufrir proporcionalmente (y no los bienes de quien fueron arrojados por la borda); y, en general, debía haber una distribución proporcional de cualquieravaria. A partir de ahí, las aseguradoras, acreedores y comerciantes británicos adoptaron la palabra por hablar de sus pérdidas como repartidas en toda su cartera de activos y teniendo una proporción media. El significado de hoy se desarrolló a partir de eso, y comenzó a mediados del siglo XVIII, y comenzó en inglés.[9][1]
El daño marino es unpromedio particular, que es asumido solo por el propietario de la propiedad dañada, o unpromedio general, donde el propietario puede reclamar una contribución proporcional de todas las partes a la empresa marina. El tipo de cálculos utilizados en el ajuste del promedio general dio lugar al uso de "promedio" para significar "media aritmética".
Un segundo uso del inglés, documentado ya en 1674 y a veces deletreado "aversión", es el residuo y el segundo crecimiento de los cultivos de campo, que se consideraron adecuados para el consumo deanimales de tiro ("avers").[10]
Existe un uso no relacionado (al menos del siglo XI) de la palabra. Parece ser un antiguo término legal para la obligación laboral de un inquilino con un sheriff, probablemente en inglés por "avera" que se encuentra en elEnglishDomesday Book (1085).
ElOxford English Dictionary, sin embargo, dice que las derivaciones del alemánhafen haven, y la pérdida de árabeʿawâr, el daño, han sido "descartados " y la palabra tiene un origen romance.[11]
