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Proceso isotérmico

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Se denominaproceso isotérmico oproceso isotermo al cambio reversible en unsistema termodinámico, siendo en dicho cambio latemperatura constante en todo el sistema. Lacompresión oexpansión de ungas ideal puede llevarse a cabo colocando el gas en contacto térmico con otro sistema decapacidad calorífica muy grande y a la misma temperatura que el gas. Este otro sistema se conoce comofoco calórico. De esta manera, el calor se transfiere muy lentamente, permitiendo que el gas se expanda, realizando trabajo. Como laenergía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura y ésta permanece constante en la expansión isoterma, el calor tomado del foco es igual al trabajo realizado por el gas: Q = W.Una curva isoterma es una línea que sobre undiagrama representa los valores sucesivos de las diversas variables de un sistema en un proceso isotermo. Las isotermas de un gas ideal en undiagrama P-V, llamadodiagrama de Clapeyron, son hipérbolas equiláteras, cuya ecuación es P•V = constante.^[1]^[2]

Proceso isotérmico de un gas

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En un diagrama PV, la gráfica de un proceso isotérmico para un gas ideal forma una hipérbola rectangular. Esto significa que el producto de la presión y el volumen es constante a lo largo del proceso.

Unaexpansión isotérmica es un proceso en el cual un gas se expande (o contrae), manteniendo la temperatura constante durante dicho proceso, es decir que T₁ = T₂ para los estados inicial (1) y final (2) del proceso isotérmico. Aplicando elprimer principio de la termodinámica se obtiene:

dQ=dU-dW

Entonces integrando la expresión anterior, tomando como estado inicial el estado 1 y estado final el estado 2, se obtiene:

\int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU-\int _{1}^{2}\,dW\qquad {\text{(1)}}

Por la definición detrabajo dada enmecánica se tiene que:

dW={\vec {F}}\;\cdot \;d{\vec {r}}\;

Pero la fuerza ${\vec {F}}\;$ se puede expresar en función de la presión que se ejerce el gas, y el desplazamiento $d{\vec {r}}\;$ se puede escribir como dx, entonces:

dW={\vec {F}}\;\cdot \;d{\vec {r}}\;=PAdx

Pero Adx equivale a dV, el aumento en el volumen del gas durante esta pequeña expansión, entonces el trabajo efectuado por el gas sobre los alrededores como resultado de la expansión es:

dW=PAdx=-PdV\qquad {\text{(2)}}

Ahora reemplazando (1) en (2) se puede integrar:

\int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU+\int _{1}^{2}\,PdV\qquad {\text{(3)}}

Pero para integrar la tercera integral, es necesario conocer la forma de variación de la presión P con el volumen, durante el proceso tratado.

En el caso de tratar congases ideales, se tendría la relación:

PV=nRT\Longrightarrow \;P={\frac {nRT}{V}}\qquad {\text{(4)}}

Por lo tanto reemplazando (4) en (3) se tiene que:

\int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU+\int _{1}^{2}\,{\frac {nRT}{V}}dV

Como los valores n y R son constantes para cada gas ideal, y en este caso la temperatura también es constante, éstas pueden salir fuera de la integral obteniéndose:

\int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU+nRT\int _{1}^{2}\,{\frac {dV}{V}}

Ahora integrando:

Q=[U]_{1}^{2}+nRT[\ln V]_{1}^{2}

\Longrightarrow \;Q=U_{2}-U_{1}+nRT(\ln V_{2}-\ln V_{1})

\Longrightarrow \;Q=U_{2}-U_{1}+nRT\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)\qquad {\text{(5)}}

Pero se sabe que la energía interna depende solo de la temperatura (Ver:La energía interna como función de la temperatura), y como en este proceso ésta se mantiene constante,no hay cambio en la energía interna del gas, por lo que la expresión (5) se reduce a: