Enmatemáticas, unorden total,orden lineal,orden simple, o simplementeorden en unconjuntoX es unarelación binaria sobreX que es:reflexiva,transitiva,antisimétrica, ytotal; esto es, si se denota una tal relación por ≤, lo siguiente vale para cualesquieraa,b, yc enX:
La propiedad de totalidad de esta relación es equivalente a decir que todo par de elementos es comparable bajo la relación.
Un conjunto dotado de un orden total se denominaconjunto totalmente ordenado,linealmente ordenado,simplemente ordenado, ocadena.
Nótese que la condición detotalidad implicareflexividad, esto es,a ≤a para todoa ∈X; por lo tanto, un orden total es también unorden parcial, esto es, una relación binaria reflexiva, antisimétrica, y transitiva. Un orden total, entonces, puede también definirse como un orden parcial que sea "total",i.e. que cumpla con la condición de totalidad.
Como alternativa, se puede definir un conjunto totalmente ordenado como un tipo particular deretículo, en el que se tiene {a ∨ b, a ∧ b} = {a, b} para cualesquieraa,b. Se escribe entoncesa ≤bsi y solo sia =a ∧b. Se deduce que un conjunto totalmente ordenado es unretículo distributivo.
Los conjuntos totalmente ordenados forman unasubcategoría completa de lacategoría deconjuntos parcialmente ordenados, siendo losmorfismos funciones que respetan el orden, es decir, funcionesf tales que sia ≤b entoncesf(a) ≤f(b). Unafunción biyectiva entre dos conjuntos totalmente ordenados que respete los dos órdenes es unisomorfismo en esta categoría.
Para cada orden total (no estricto) ≤ hay asociada unarelación asimétrica (y por tanto irreflexiva) <, llamadaorden total estricto, que puede definirse de dos maneras equivalentes:
El orden total estricto tiene las siguientes propiedades, para cualesquieraa,b, yc enX:
Se puede trabajar a la inversa tomando < como una relación binaria transitiva y tricotómica; en ese caso, un orden total no estricto ≤ se puede definir de dos maneras equivalentes:
Otros dos órdenes asociados son los complementos ≥ y >, completando así el conjunto {<, >, ≤, ≥}. Se puede definir o explicar el orden total de un conjunto usando cualquiera de las cuatro relaciones; la notación dejará en claro si se habla de un orden estricto o no.
Para todo conjunto totalmente ordenadoX, se pueden definir losintervalos abiertos (a,b) := {x ∈X |a <x yx <b}, (−∞,b) = {x ∈X |x <b}, (a, ∞) = {x ∈X |a <x} y (−∞, ∞) =X. Con estos se puede definir unatopología en cualquier conjunto ordenado, latopología del orden.
Nótese que la definición formal de un conjunto ordenado como una pareja formada por un conjunto y un orden garantiza que la topología del orden sea única en cada conjunto ordenado. Sin embargo, en la práctica la distinción entre un conjunto con un orden definido en él y la pareja de conjunto y orden se obvia casi siempre. Para evitar entonces confusión cuando se usa más de un orden sobre un conjunto se habla de la topología del orden inducida por un orden particular. Por ejemplo, siN es el conjunto de los naturales, y < y > son las relaciones usuales de menor y mayor, se puede hablar de la topología del orden enN inducida por < y aquella inducida por > (en este caso resultan ser la misma, pero en general no será así).
La topología del orden sobre un orden total escompletamente normal.
Un conjunto X totalmente ordenado se dicecompleto si todo subconjunto no vacío concota superior tienesupremo en el conjunto X. Por ejemplo, el conjunto de losreales es completo, pero el de losracionales no.
Un conjuntoX es conexo bajo la topología del orden si y solo si es completo y no tienesaltos (un salto es un par de puntosa yb enX cona <b, tales que no hay unc enX que satisfagaa <c <b).
X es completo si y solo si todo subconjunto acotado que sea cerrado en la topología del orden escompacto.
Aunque, según la definición, unacadena es exactamente lo mismo que unconjunto totalmente ordenado, el término se usa en general para referirse a subconjuntos totalmente ordenados de unconjunto parcialmente ordenado; los reales, por ejemplo, seguirían siendo un conjunto totalmente ordenado. Sin embargo, si se considera elconjunto de partes de los naturales parcialmente ordenado por inclusión, un subconjunto totalmente ordenado de este sería llamadocadena.
La preferencia por el uso de "cadena" para referirse a los subconjuntos mencionados probablemente viene de la importancia que estos tienen en ellema de Zorn.
Un simple argumento de conteo basta para demostrar que todo conjunto finito totalmente ordenado (así como cualquier subconjunto) tiene unelemento mínimo, y por lo tanto estábien ordenado. Sea por prueba directa, o porque todo buen orden esisomorfo a unordinal, se puede demostrar que todo orden total finito es isomorfo a unsegmento inicial de los naturales con el orden usual. En otras palabras, un orden total en un conjunto conk elementos induce una biyección con los primerosk naturales; por esto es común listar los órdenes totales finitos con números naturales y ordenarlos según el orden de los naturales.
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Datos:Q369377