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Notación posicional

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Este aviso fue puesto el 22 de septiembre de 2024.

Lanotación posicional es unsistema de numeración en el cual cadadígito posee un valor que depende de su posición relativa, la cual está determinada por labase, que es el número de dígitos necesarios para escribir cualquier número. Un ejemplo de numeración posicional es el habitualmente usadosistema decimal (base 10), que necesita diez dígitos diferentes, los cuales deberán estar constituidos de un símbolo (grafema), cuyo valor en orden creciente es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para los números escritos en sistemas de bases menores, se usan solo los dígitos de menor valor; para los escritos con bases mayores que 10, se utilizan letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, ...

Características

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Utilizando la notación posicional, el mismo dígito 5 toma diferente valor en los números 5, 50 y 500. Esto es una consecuencia de la descomposición de números en múltiplos de factores bn, donde b es la base y n cualquiernúmero entero.

De forma más intuitiva, se descomponen en unidades de distintos órdenes, de tal forma que b unidades de cualquier orden equivalen a una de un orden inmediatamente superior. El orden que sirve de guía es la unidad propiamente dicha (b0).

Por convenio, los dígitos en esta notación se escriben de izquierda a derecha (incluso en idiomas que normalmente escriben de derecha a izquierda), empezando por los órdenes superiores y acabando en la unidad como tal, marcando la carencia de unidades con un 0 (cero). Así, ensistema decimal:

505=5⋅102+0⋅101+5⋅100{\displaystyle 505=5\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}}

Si existen órdenes menores que la unidad, se escribe una coma (, ') o un punto en determinados idiomas (.) para separarlos de las unidades, y se continúa escribiendo de mayor a menor, acabando con las unidades de menor orden.

542,1=5⋅102+4⋅101+2⋅100+1⋅10−1{\displaystyle 542{,}1=5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}}

Losnúmeros negativos se marcan con un signo menos delante:

−542,1=−5⋅102−4⋅101−2⋅100−1⋅10−1{\displaystyle -542{,}1=-5\cdot 10^{2}-4\cdot 10^{1}-2\cdot 10^{0}-1\cdot 10^{-1}}

Si es necesario especificar la base, se escribe como subíndice entre paréntesis (lógicamente, en base decimal):

10(5)=5(10){\displaystyle 10_{(5)}=5_{(10)}}

Losnúmeros periódicos (que poseen un grupo de cifras que se repite) tienen infinitos órdenes cada vez más pequeños cuyos múltiplos siguen un patrón. Este grupo de cifras (llamado período) se puede escribir una vez y marcar con un arco en la parte superior, o indicando conpuntos suspensivos que el número continúa:

5,03^=5⋅100+0⋅10−1+∑−2⩾i>−∞3⋅10i{\displaystyle 5{,}0{\widehat {3}}=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+\sum _{-2\geqslant i>-\infty }3\cdot 10^{i}}

de forma menos rigurosa:

5,0333...=5⋅100+0⋅10−1+3⋅10−2+3⋅10−3+3⋅10−4...{\displaystyle 5{,}0333...=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}+3\cdot 10^{-4}...}

En la práctica se suele usar esta última solución o directamenteredondear otruncar el número.

Tabla de conversión entre bases numéricas

Binario

Base3

Base4

Base5

Base6

Base7

Oct

Base9

Dec

Base11

Base12

Base13

Base14

Base15

Hex

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

10

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

100

11

10

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

101

12

11

10

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

110

20

12

11

10

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

111

21

13

12

11

10

7

7

7

7

7

7

7

7

7

1000

22

20

13

12

11

10

8

8

8

8

8

8

8

8

1001

100

21

14

13

12

11

10

9

9

9

9

9

9

9

1010

101

22

20

14

13

12

11

10

A

A

A

A

A

A

1011

102

23

21

15

14

13

12

11

10

B

B

B

B

B

1100

110

30

22

20

15

14

13

12

11

10

C

C

C

C

1101

111

31

23

21

16

15

14

13

12

11

10

D

D

D

1110

112

32

24

22

20

16

15

14

13

12

11

10

E

E

1111

120

33

30

23

21

17

16

15

14

13

12

11

10

F

10000

121

100

31

24

22

20

17

16

15

14

13

12

11

10

Algoritmos para cambio de base

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Estosalgoritmos se basan en la descomposición en factores de bn arriba mencionada. Por comodidad, todos los cálculos se hacen en base decimal, pero los cálculos funcionarían igual en cualquier otra base.

De base hexadecimal a base decimal

[editar]

Simplemente multiplíquese cada dígito por la potencia dependiente, y después se evalúe el resultado como en una cuenta normal, en base decimal.

5B2,E(16)=[5⋅162+11⋅161+2⋅160+14⋅16−1](10)=[1280+176+2+0,875](10)=1458,875(10){\displaystyle {\mbox{5B2,E}}_{(16)}=[5\cdot 16^{2}+11\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}+14\cdot 16^{-1}]_{(10)}=[1280+176+2+0{,}875]_{(10)}=1458{,}875_{(10)}}

(recuérdese que B(16) = 11(10); E(16) = 14(10))

De base decimal a base hexadecimal

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Divídase el número por su base hasta que ya no sea posible. Leyendo el primer cociente y los restos en orden inverso, se puede leer el número en la base foránea.

1458| 16_ 291| 16_11 5{\displaystyle {\begin{matrix}1458&|\!{\underline {\ 16}}&\ \\\quad \;\;{\color {Red}2}&91&|\!{\underline {\ 16}}\\\;&{\color {Red}11}&\;\ {\color {Red}5}\end{matrix}}}
5, 11, 2→5B2(16){\displaystyle 5,\ 11,\ 2\rightarrow {\mbox{5B2}}_{(16)}}

Para decimales, son necesarios algoritmos más complejos.

Ventajas de la notación posicional

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Mediante la notación posicional decimal se puede escribir cualquier valor numérico entero con solo diez dígitos diferentes (tantos como indica la base), por muy grande o pequeño que sea, aunque es imprescindible un dígito de valornulo, elcero, para poder operar fácilmente.

Referencias

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Control de autoridades
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