Enteoría de números, se denominannúmeros primos en progresión aritmética a cualquiersucesión de al menos tresnúmeros primos que son términos consecutivos en unaprogresión aritmética. Un ejemplo es la secuencia de números primos (3, 7, 11), que está dada por${\displaystyle a_n=3+4n}$ para${\displaystyle 0\le n\le 2}$.

Según elteorema de Green-Tao, existen secuenciasarbitrariamente largas de números primos en progresión aritmética. A veces, la frase también se puede usar sobre números primos que pertenecen a una progresión aritmética que también contiene números compuestos. Por ejemplo, se puede utilizar con números primos en una progresión aritmética de la forma${\displaystyle an+b}$, dondea yb soncoprimos que, según elteorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, contienen infinitos números primos, además de infinitos compuestos.

Para unnúmero enterok = 3, unaPA-k es cualquier secuencia dek números primos en progresión aritmética. Una PA-k se puede escribir comok primos de la formaa·n +b, para dos números enteros fijosa (llamado diferencia común) yb, yk valores enteros consecutivos den. Una PA-k (progresión aritmética de k elementos) generalmente se expresa conn = 0 ak − 1. Esto siempre se puede lograr definiendob como el primer número primo en la progresión aritmética.

Cualquier progresión aritmética dada de números primos tiene una longitud finita. En 2004,Ben J. Green yTerence Tao demostraron una antiguaconjetura a través de la formalización delteorema de Green-Tao: la sucesión de los números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.^[1]​ Se sigue inmediatamente que hay infinitas PA-k para cualquierk dado.

Si una PA-k no comienza con el primok, entonces la diferencia común es un múltiplo delprimorialk# = 2·3·5·...·j, dondej es el mayor primo ≤k.

Demostración: Sea PA-ka·n +b parak valores consecutivos den. Si unap prima no divide aa, entonces laaritmética modular implica quep dividirá cadap-ésimo término de la progresión aritmética. (De H.J. Weber, Cor.10 en "Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets", arXiv:1102.3075[math.NT]. Véase también Teor.2.3 en "Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers", arXiv :1103.0447[math.NT], Global J.P.A.Math 8(2012), en prensa). Si la PA contiene números primos para valores consecutivos dek, entoncesa debe ser divisible por todos los primosp≤k.

Esto también demuestra que una PA con diferencia comúna no puede contener más términos primos consecutivos que el valor del primo más pequeño que no divide aa.

Sik es primo entonces una PA-k puede comenzar conk y tener una diferencia común que es solo un múltiplo de (k+1)# en lugar dek#. (De H. J. Weber, "Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets", arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Por ejemplo, la PA-3 con números primos 3, 5, 7 y diferencia común 2# = 2, o la PA-5 con primos 5, 11, 17, 23, 29 y diferencia común 4# = 6. Se conjetura que tales ejemplos existen para todos los primosk a 2018, el mayor primo para el que esto se confirma esk = 19, para esta PA-19 encontrada por Wojciech Izykowski en 2013:

19 + 4244193265542951705·17#·n, paran = 0 a 18.^[2]​

Se deduce de conjeturas ampliamente aceptadas, como laconjetura de Dickson y algunas variantes de laconjetura de la k-tupla de primos, que sip > 2 es el primo más pequeño que no divide aa, entonces hay infinitas PA-(p+1) con diferencia comúna. Por ejemplo, 5 es el número primo más pequeño que no divide a 6, por lo que se espera que haya un número infinito de PA-4 con una diferencia común de 6, lo que se denomina cuadruplete denúmeros primos sexis. Cuandoa = 2 yp = 3, entonces se trata deprimos gemelos, con una PA-2 formada por dos primos (b,b + 2).

En la tabla siguiente figuran aquellas progresiones aritméticas de k términos cuyo último término es el más pequeño.^[3]​

Para un número primoq dado,q# denota suprimorial 2·3·5·7·...·q.

A septiembre de 2019, la PA-k más larga conocida es una PA-27. Se conocen varios ejemplos de PA-26. La primera en ser descubierta fue encontrada el 12 de abril de 2010 por Benoãt Perichon en unaPlayStation 3 con software de Jaroslaw Wróblewski y Geoff Reynolds, portado a PlayStation 3 por Bryan Little, en un proyecto distribuido dePrimeGrid:^[2]​

43142746595714191 + 23681770·23#·n, paran = 0 a 25. (23# = 223092870) (sucesiónA204189 enOEIS)

Cuando se encontró la primera PA-26,PrimeGrid dividió la búsqueda en 131 436 182 segmentos^[4]​ y se procesó con CPUs de 32/64 bits, GPUNvidiaCUDA yprocesadores Cell en todo el mundo.

Anteriormente, el récord era una PA-25 encontrada por Raanan Chermoni y Jaroslaw Wróblewski el 17 de mayo de 2008:^[2]​

6171054912832631 + 366384·23#·n, paran = 0 a 24. (23# = 223092870)

La búsqueda de la PA-25 se dividió en segmentos que duraron aproximadamente 3 minutos con procesadoresAMD Athlon 64. Wróblewski cometó al respecto que: "Creo que la aplicación Raanan pasó por menos de 10.000.000 de esos segmentos"^[5]​ (esto habría tomado alrededor de 57 años de CPU en un solo Athlon 64).

El registro anterior fue una PA-24 encontrada en solitario por Jaroslaw Wróblewski el 18 de enero de 2007:

468395662504823 + 205619·23#·n, paran = 0 a 23.

Para esto, Wróblewski informó que utilizó un total de 75 computadoras: 15AMD Athlon de 64 bits, 15Pentium D 805 de doble núcleo de 64 bits, 30 Athlon 2500 de 32 bits y 15AMD Duron 900.^[6]​

La siguiente tabla muestra las PA-k más grandes conocidas, con el año del descubrimiento y el número de dígitos en elsistema de numeración decimal del número primo final. Téngase en cuenta que la PA-k más grande conocida puede ser el final de una PA-(k+1). Algunos buscadores de récords optan por calcular primero un gran conjunto de números primos de la formac·p#+1 conp fija, y luego buscan AP entre los valores dec que producen un número primo. Esto se refleja en la expresión de algunos registros. La expresión se puede reescribir fácilmente comoa·n +b.

La expresiónprimos consecutivos en progresión aritmética se refiere a que por lo menos figuran tres primosconsecutivos que son a su vez términos consecutivos en una progresión aritmética. Téngase en cuenta que, a diferencia de en una PA-k, todos los demás números entre los términos de la progresión deben ser compuestos. Por ejemplo, la PA-3 (3, 7, 11) no se puede considerar deprimos consecutivos, puesto que el 5, que también es primo, falta en la progresión.

Para un número enterok = 3, unPAPC-k es una secuencia dek números primos consecutivos en progresión aritmética. Se conjetura que hay PAPC arbitrariamente largas. Esto implicaría un número infinito de PAPC-k para todos losk. El primo de en medio en una PAPC-3 se llamanúmero primo equilibrado. A 2022, el primo equilibrado más grande conocido tiene 15004 dígitos.

La primera PAPC-10 conocida fue encontrada en 1998 por Manfred Toplic en el proyectocomputación distribuida CP10, que fue organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann.^[7]​ Esta PAPC-10 tiene la diferencia común más pequeña posible, 7# = 210. La única otra PAPC-10 conocida a partir de 2018 fue encontrada por el mismo equipo 2008.

Si existe un PAPC-11, debe tener una diferencia común que es un múltiplo de 11# = 2310. La diferencia entre el primero y el último de los 11 números primos sería, por lo tanto, un múltiplo de 23100. El requisito de al menos 23090 números compuestos entre los 11 números primos hace que parezca extremadamente difícil encontrar un PAPC-11. Dubner y Zimmermann estiman que sería al menos 10¹² veces más difícil que un PAPC-10.^[8]​

La primera aparición de una PAPC-k solo se conoce hastak = 6 (sucesiónA006560 enOEIS).

La tabla muestra el caso más grande conocido de una serie dek primos consecutivos en progresión aritmética, parak = 3 a 10.

x_d es un número ded dígitos utilizado en uno de los registros anteriores para garantizar un factor pequeño en los inusualmente muchos números compuestos requeridos entre los números primos.
x₁₀₆= 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791
x₁₅₃= 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417=x₂₅₃ % 379#
x₂₅₃= 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727

• Cadena de Cunningham
• Teorema de Szemerédi
• PrimeGrid
• Problemas sin resolver en progresiones aritméticas

• Chris Caldwell,El glosario principal: secuencia aritmética,.php?id=14Los veinte principales: progresiones aritméticas de números primos(enlace roto disponible enInternet Archive; véase elhistorial, laprimera versión y laúltima). yLos veinte principales: números primos consecutivos en aritmética Progresión, todo desde elPrime Pages.
• Weisstein, Eric W.«Prime Arithmetic Progression». En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research. 
• Jaroslaw Wróblewski,¿Cómo buscar 26 números primos en progresión aritmética?
• P. Erdős y P. Turán, Sobre algunas sucesiones de números enteros, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

• Números primos

• Wikipedia:Artículos con fechas potencialmente obsoletas
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