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Número primo de Mersenne

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Número primo de Mersenne
Nombrado porMarin Mersenne
No. de términos conocidos52
No. conjeturado de términosInfinito
Subsecuencia deNúmeros de Mersenne
Primeros términos3,7,31, 127, 8191
Mayor término conocido2136,279,841 − 1 (21/10/2024)
índiceOEIS
  • A000668
  • Primos de Mersenne (de la forma 2^p − 1 dondep es un primo)
Tabla de pronóstico de Mersenne enMp parap ≤ 263
P:Mp es primo
—:Mp no es primo
Cian: Mersenne lo había planteado
Rosa: Mersenne había planteado lo contrario
p235711131719
MpPPPP—PPP
p2329313741434753
Mp——P—————
p5961677173798389
Mp—P—————P
p97101103107109113127131
Mp———P——P—
p137139149151157163167173
Mp————————
p179181191193197199211223
Mp————————
p227229233239241251257263
Mp————————

Unnúmero de Mersenne es un número entero positivoM que es una unidad menor que una potencia entera positiva de 2:

Mn=2n−1.{\displaystyle M_{n}=2^{n}-1.}

Unnúmero primo de Mersenne es un número de Mersenne que esprimo. Se cumple que todos los números de Mersenne,Mn=2n−1{\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}, que sean primos también tendránn prima (aunque no todan prima vale; no es una condición suficiente quen sea prima para queMn{\displaystyle M_{n}} lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVIIMarin Mersenne, quien en suCogitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que solo pudieron refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, yconjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista solo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyóM67{\displaystyle M_{67}} yM257{\displaystyle M_{257}}, que son compuestos, y omitióM61{\displaystyle M_{61}},M89{\displaystyle M_{89}}, yM107{\displaystyle M_{107}}, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa solo se completó más de dos siglos después.

Al 21 de octubre de 2024,[1]​ solo se conocen 52 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellosM136279841{\displaystyle M_{136279841}}, un número de más de 41 millones de cifras.[2]​ Elnúmero primo más grande conocido en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Propiedades

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Sin es compuesto, entoncesMn es compuesto.

Demostración
Sin es un número natural, por elteorema del binomio se tiene:

cn−dn=(c−d)∑k=0n−1ckdn−1−k{\displaystyle c^{n}-d^{n}=(c-d)\sum _{k=0}^{n-1}c^{k}d^{n-1-k}},

Tomandoc=2{\displaystyle c=2},d=1{\displaystyle d=1} yn=ab{\displaystyle n=ab} (a,b > 1), se tiene:

Mn=Mab=2ab−1=(2a)b−1b=(2a−1)∑k=0b−1(2a)k1b−1−k=(2a−1)⋅(1+2a+22a+23a+⋯+2(b−1)a){\displaystyle M_{n}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1^{b}=(2^{a}-1)\sum _{k=0}^{b-1}(2^{a})^{k}1^{b-1-k}=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)}

2a−1{\displaystyle 2^{a}-1} es mayor que 1 porque se ha procurado quea{\displaystyle a} sea estrictamente mayor que 1, y la suma1+2a+22a+23a+⋯+2(b−1)a{\displaystyle 1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}} también lo es. Por tanto, se tiene una factorización deMn{\displaystyle M_{n}}, así queMn{\displaystyle M_{n}} es compuesto.

Observación: Porcontraposición, siMn es primo, entoncesn es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de MersenneMn, ya que solo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los quen es primo.

Sip es un número primo distinto de 2, cualquier primoq que divida a 2p-1 debe ser uno más que un múltiplo de 2p.
Esta proposición también se cumple si2p−1{\displaystyle 2^{p}-1} es primo.

31 = 6 · 5 + 1
23 = 2 · 11 + 1
89 = 8 · 11 + 1
2047 = 186 · 11 + 1

Demostración

Siq es un primo que divide2p−1{\displaystyle 2^{p}-1}, entonces2p{\displaystyle 2^{p}} ≡ 1 (modq). Por elPequeño Teorema de Fermat,2q−1{\displaystyle 2^{q-1}} ≡ 1 (modq). Supongamos quep que no divide aq − 1 para llegar a contradicción. Entonces, comop yq − 1 deben serprimos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que(q−1)p−1{\displaystyle (q-1)^{p-1}} ≡ 1 (modp). Por tanto, existe un númerox ≡(q−1)p−2{\displaystyle (q-1)^{p-2}} tal que (q − 1)·x ≡ 1 (modp), y por tanto un númerok tal que (q − 1)·x − 1 =kp.

Como2q−1{\displaystyle 2^{q-1}} ≡ 1 (modq), al elevar ambos lados de lacongruencia a la potenciax resulta2(q−1)x{\displaystyle 2^{(q-1)x}} ≡ 1, y como2p{\displaystyle 2^{p}} ≡ 1 (modq), al elevar ambos lados de esta segunda congruencia a la potenciak resulta2pk{\displaystyle 2^{pk}} ≡ 1. Por tanto, 1≡2(q−1)x2pk{\displaystyle {\frac {2^{(q-1)x}}{2^{pk}}}} ≡2(q−1)x−pk{\displaystyle 2^{(q-1)x-pk}} (mod q). Pero teníamos que (q − 1)x −kp = 1, lo que implica que21{\displaystyle 2^{1}} ≡ 1 (modq); en otras palabras, queq divide 1. Con esto, la premisa inicial de quep no divideq − 1 es insostenible.

Por lo tanto,q=n⋅p+1{\displaystyle q=n\cdot p+1}. Pero, además, esten tiene que ser par, porque2p−1{\displaystyle 2^{p}-1} es impar y todos sus divisores deben ser también impares. Comop era un primo impar, la única manera que esto ocurra es quen=2k{\displaystyle n=2k} y, finalmente,q=2kp+1{\displaystyle q=2kp+1}.

Sip es un número primo distinto de 2, cualquier primoq que divida2p−1{\displaystyle 2^{p}-1} es congruente con±1(mod8){\displaystyle \pm 1{\pmod {8}}}.

Demostración

2p+1=2(modq){\displaystyle 2^{p+1}=2{\pmod {q}}}, así que2(p+1)/2{\displaystyle 2^{(p+1)/2}} es una raíz cuadrada de 2 móduloq{\displaystyle q}.
Porreciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con±1(mod8){\displaystyle \pm 1{\pmod {8}}}.

Lista de los números primos de Mersenne conocidos

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Gráfico que representa el número de cifras de cada uno de los primos de Mersenne conocidos. Nótese que la escala vertical eslogarítmica.
Gráfico del número de cifras del primo de Mersenne más grande que se conocía cada año (era electrónica). La escala vertical es logarítmica.

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos:

Artículo principal: Anexo:Números primos de Mersenne y números perfectos
#nMnN.º de cifras
deMn		Fecha del
descubrimiento		Descubridor
1231antigüedadEuclides
2371antigüedadEuclides
35312antigüedadEuclides
471273antigüedadEuclides
513819141456anónimo
617131 07161588Cataldi
719524 28761588Cataldi
8312 147 483 647101772Euler
9612305843009213693951191883Pervushin
1089618970019…449562111271911Powers
11107162259276…010288127331914Powers
12127170141183…884105727391876Lucas
13521686479766…11505715115730-01-1952Robinson (SWAC)
14607531137992…03172812718330-01-1952Robinson (SWAC)
151279104079321…16872908738625-06-1952Robinson (SWAC)
162203147597991…69777100766407-10-1952Robinson (SWAC)
172281446087557…13283635168709-10-1952Robinson (SWAC)
183217259117086…90931507196908-09-1957Riesel
194253190797007…350484991128103-11-1961Hurwitz
204423285542542…608580607133203-11-1961Hurwitz
219689478220278…225754111291711-05-1963Gillies
229941346088282…789463551299316-05-1963Gillies
2311 213281411201…696392191337602-06-1963Gillies
2419 937431542479…968041471600204-03-1971Tuckerman
2521 701448679166…511882751653330-10-1978Noll yNickel
2623 209402874115…779264511698709-02-1979Noll
2744 497854509824…01122867113 39508-04-1979Nelson ySlowinski
2886 243536927995…43343820725 96225-09-1982Slowinski
29110 503521928313…46551500733 26528-01-1988Colquitt yWelsh
30132 049512740276…73006131139 75120-09-1983Slowinski
31216 091746093103…81552844765 05006-09-1985Slowinski
32756 839174135906…544677887227 83219-02-1992Slowinski yGage
33859 433129498125…500142591258 71610-01-1994Slowinski yGage
341257 787412245773…089366527378 63203-09-1996Slowinski yGage
351398 269814717564…451315711420 92113-11-1996GIMPS / Joel Armengaud
362976 221623340076…729201151895 93224-08-1997GIMPS / Gordon Spence
373021 377127411683…024694271909 52627-01-1998GIMPS /Roland Clarkson
386972 593437075744…9241937912098 96001-06-1999GIMPS /
3913 466 917924947738…2562590714053 94614-11-2001GIMPS / Michael Cameron
4020 996 011125976895…8556820476320 43017-11-2003GIMPS / Michael Shafer
4124 036 583299410429…7339694077235 73315-05-2004GIMPS / Josh Findley
4225 964 951122164630…5770772477816 23018-02-2005GIMPS / Martin Nowak
4330 402 457315416475…6529438719152 05215-12-2005GIMPS / Curtis Cooper y Steven Boone
4432 582 657124575026…0539678719808 35804-09-2006GIMPS / Curtis Cooper y Steven Boone
4537 156 667202254406…30822092711 185 27206-09-2008GIMPS / Hans-Michael Elvenich
4642 643 801169873516…56231475112 837 06412-04-2009GIMPS / Odd M. Strindmo
4743 112 609316470269…69715251112 978 18923-08-2008GIMPS / Edson Smith
4857 885 161581887266…72428595117 425 17025-01-2013GIMPS / Curtis Cooper
49[3]​74 207 281300376418…08643635122 338 61807-01-2016GIMPS / Curtis Cooper
50[4]​77 232 917467333183…76217907123 249 42526-12-2017GIMPS / Jonathan Pace
51[5]​82 589 933148894445…21790259124 862 04807-12-2018GIMPS / Patrick Laroche
52[6]​136 279 841881694327…48687155141 024 32012-10-2024GIMPS / Luke Durant

No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 49.º (M74.207.281) y el 52.º (M 136279841). Por lo tanto, esta tabla es provisional. Por poner un ejemplo histórico, el 29.º número primo de Mersenne fue descubiertodespués del 30.º y el 31.º.

Preguntas abiertas

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Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales queM257 y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".

Nueva conjetura de Mersenne

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LaNueva conjetura de Mersenne oConjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cadanúmero naturalimparp, si se cumplen las dos primeras de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:

  1. p = 2k ± 1 op = 4k ± 3 para algún número naturalk.
  2. 2p − 1 es primo (un número primo de Mersenne).
  3. (2p + 1) / 3 es primo (unnúmero primo de Wagstaff).

Sip es unnúmero compuesto impar, entonces tanto2p − 1 como(2p + 1)/3 son compuestos. Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, segúnRobert D. Silverman,John Selfridge declaró que laNCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta.Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.

Conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff

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Lenstra,Pomerance yWagstaff han conjeturado que no solo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponentep menor quex se puede aproximarasintóticamente por

eγ⋅log2⁡(x){\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(x)},

donde γ es laconstante de Euler-Mascheroni yeγ=1,781072417990197…{\displaystyle e^{\gamma }=1,781072417990197\dots }

Relación con otras categorías de números

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Números perfectos

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Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y losnúmeros perfectos. SiM es un número primo de Mersenne, entoncesM·(M+1)/2 es un número perfecto. Asimismo,Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la formaM·(M+1)/2:Teorema de Euclides- Euler. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.

Números dobles de Mersenne

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Unnúmero doble de Mersenne se define como:

MMp=22p−1−1{\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}

dondep es el exponente de un número primo de Mersenne.

Números repunit

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Losnúmeros repunit (del inglésrepeated unit, "unidad repetida") son los que, en unabase dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en elsistema binario.

Véase también

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Referencias

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  1. ↑«List of Known Mersenne Prime Numbers».Mersenne.org. Mersenne Research, Inc. Consultado el 21 de octubre de 2024. 
  2. ↑«Mersenne Prime Number discovery - 2136279841-1 is Prime!».Mersenne.org. Mersenne Research, Inc. Consultado el 21 de octubre de 2024. 
  3. ↑http://www.mersenne.org/primes/?press=M74207281
  4. ↑http://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html
  5. ↑https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html
  6. ↑https://www.mersenne.org/primes/press/M136279841.html

Enlaces externos

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