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Cantidad de movimiento

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Véase también:Transferencia de momento

Ejemplo de colisión elástica (m₁ = 4 kg,u₁ = 5 m/s,m₂ = 4 kg,u₂ = 0 m/s) de dos cuerpos de la misma masa: todo el momento lineal es transferido del primero al segundo.

Ejemplo de colisión elástica (m₁ = 1000 kg,u₁ = 5 m/s,m₂ = 0,1 kg,u₂ = 0 m/s) de un objeto muy pesado contra otro muy ligero; existe una pequeña transferencia de momento al más ligero que sale disparado a mayor velocidad, mientras que el primer cuerpo apenas sufre una ligera deceleraciónv₁ = 4,999 m/s,v₂ = 9,999 m/s.

Lacantidad de movimiento,momento lineal,ímpetu,momentum o simplementemomento,^[1] es una magnitud física derivada de tipovectorial que describe elmovimiento de un cuerpo en cualquier teoríamecánica. Enmecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como elproducto de lamasa del cuerpo y suvelocidad en un instante determinado. Históricamente, el concepto se remonta aGalileo Galilei. En su obraDiscursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el término italianoimpeto, mientras queIsaac Newton enPrincipia Mathematica usa el término latinomotus^[2] (movimiento) yvis motrix (fuerza motriz).

La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: enmecánica newtoniana se define para unapartícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en lamecánica lagrangiana ohamiltoniana se admiten formas más complicadas ensistemas de coordenadas no cartesianas, en lateoría de la relatividad la definición es más compleja aun cuando se usansistemas inerciales, y enmecánica cuántica su definición requiere el uso deoperadores autoadjuntos definidos sobre unespacio vectorial de dimensión infinita.

En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con lasleyes de Newton. No obstante, tras el desarrollo de la física moderna, esta manera de operar no resultó ser la más conveniente para abordar esta magnitud derivada. Una diferencia importante es que en esta definición newtoniana solo se tiene en cuenta el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir lasinteracciones. Los modelos actuales consideran que no solo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de loscampos y losfotones.

La cantidad de movimiento obedece a unaley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todosistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de lamecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o loscampos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo.

Cantidad de movimiento en mecánica newtoniana

Históricamente, el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de lamecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por su velocidad:

$\mathbf {p} =m\cdot \mathbf {v}$

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

De hecho, lasegunda ley de newton que se enseña habitualmente (fuerza igual a masa multiplicada por aceleración) es un resultado de la formulación del momento lineal en el caso particular que la masa sea constante, pues en realidad:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

Conservación

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual lasfuerzas externas son cero, se conserva el momento lineal total del sistema. Esto implica, por ejemplo, que para un conjunto de N partículas con masa $m_{i}$ y velocidad ${\dot {\mathbf {r} }}_{i}$ se cumplirá en todo instante que:

\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}={\text{constante}}

Demostración matemática

Porla tercera ley de Newton, en un sistema mecánico de partículas aislado, en cualquier interacción hay un par de fuerzas de acción y reacción situadas en la misma dirección con igual magnitud y sentidos opuestos. Entonces:

$\sum _{i=1}^{N}\displaystyle {\mathsf {F}}_{i}=0$ Como la fuerza es el producto de la masa de la partícula por su aceleración:multiplicar masa por aceleración= $\sum _{i=1}^{N}\displaystyle m_{i}a_{i}=0$

El tiempo es el mismo para todas las partículas, y la aceleración de cada partícula depende de su velocidad (su diferencia) y del tiempo, por ende se puede extraer factor común el tiempo como denominador y luego multiplicar por éste en ambos miembros de la ecuación, eliminando así el tiempo como variable:

$\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta v_{i}={\text{0}}$

Reemplazando la diferencia de velocidad por velocidad final sustraída por velocidad inicial:

$\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{1i}-\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{0i}={\text{0}}$

$\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{1i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{0i}$

En conclusión:

$\sum _{i=1}^{N}P_{1i}=\sum _{i=1}^{N}P_{0i}$

Cantidad de movimiento en mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En las formulaciones más abstractas de lamecánica clásica, como lamecánica lagrangiana y lamecánica hamiltoniana, además del momento lineal y delmomento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados omomentos conjugados, asociados a cualquier tipo decoordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por sulagrangianoL definido en términos de las coordenadas generalizadas (q₁,q₂, …,q_N) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenadaq_i viene dado por:^[3]

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Cuando la coordenadaq_i es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Conservación

Enmecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano conn grados de libertad y su lagrangiano no depende de una de ellas. Por ejemplo, la primera de ellas, es decir:

L:U\subset \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ,\qquad (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\mapsto L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=\sum _{i,j}{\dot {q}}_{i}{\frac {g_{ij}(q_{2},...,q_{n})}{2}}{\dot {q}}_{j}\ -\ V(q_{2},...,q_{n})

En ese caso, en virtud de lasecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada $p_{1}\,$ que viene dada por:

0={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{1}}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}\right)\ -\ 0\Rightarrow p_{1}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}=\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}={\mbox{constante}}

Si el conjunto decoordenadas generalizadas usado escartesiano entonces eltensor métrico es ladelta de Kronecker $g_{ij}(q_{2},...,q_{n})=\delta _{ij}$ y la cantidad $p_{1}\,$ coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

Enmecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla para determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos delparéntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

{\frac {df(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=\{f,H\}_{pq}

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y solo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede

0={\frac {dp_{j}}{dt}}=\{p_{j},H\}_{pq}=\sum _{i}\left(0\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}+\delta _{ij}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}

Cantidad de movimiento de un medio continuo

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según uncampo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cadadiferencial de masa o elemento infinitesimal:

$\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \ dm=\int _{V}\mathbf {v} \ \rho dV.$

Si se introduce eltensor de tensiones que caracteriza las fuerzas internas en el interior de un medio continuo la ecuación de balance de la cantidad de movimiento en términos de las fuerzas exteriores se puede expresar como:

${\boldsymbol {\nabla \cdot \sigma }}+\rho \mathbf {f} =\rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

donde:

{\boldsymbol {\sigma }}

es el tensor de tensiones de Cauchy.

\rho \,

es la densidad de materia.

\mathbf {f}

ladensidad de fuerza sobre el cuerpo.

\mathbf {v}

la velocidad en cada punto del medio continuo.

Cantidad de movimiento en mecánica relativista

La constancia de lavelocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada comoF=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada esF=dp/dt.

Elprincipio de relatividad establece que lasleyes de la física conserven su forma enlos sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este principio en la leyF=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo detiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a unobservador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observadorinercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto altiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a ladilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:^[4]

$\mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma m\mathbf {v}$

donde $v^{2},c^{2}$ son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y $\gamma$ es elfactor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso solo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se considerancuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía ocuadrimomentoP:

$\mathbf {P} =(P^{0},P^{1},P^{2},P^{3})=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)$

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por lastransformaciones de Lorentz.

Conservación

Enteoría de la relatividad la cantidad de movimiento ocuadrimomento se define como un vectorP el producto de lacuadrivelocidadU por la masa (en reposo) de una partícula:

$P^{\alpha }=mU^{\alpha }\ =m{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}$

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. Enrelatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una líneageodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto altiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y solo si la partícula se mueve a lo largo de unalínea de universo que sea geodésica:^[5]

${\frac {dP^{\alpha }}{d\tau }}=U^{\beta }\nabla _{\beta }P^{\alpha }=U^{\beta }\left[m{\frac {dU^{\alpha }}{dx^{\beta }}}+m\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }U^{\gamma }\right]=m\left[{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\right]$

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones delespacio-tiempo donde existen fuertes variaciones decurvatura. Por ejemplo en la caída dentro de unagujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica

Lamecánica cuántica postula que a cadamagnitud física observable $m\,$ le corresponde un operador lineal autoadjunto ${\hat {m}}$ , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Esteespacio de Hilbert representa cada uno de los posiblesestados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula el espacio de Hilbert $L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ y usar una representación de los estados cuánticos comofunciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\qquad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\qquad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}$

Resulta interesante advertir que dichos operadores sonautoadjuntos solo sobre el espacio de funciones absolutamente continuas de $L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ que constituyen un dominiodenso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a $L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden sercomplejos.

Conservación

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si eloperador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con elhamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando comoespacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo $L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ . Se tiene que:

${\frac {d{\hat {p}}_{i}}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {p}}_{i},{\hat {H}}]=-{\boldsymbol {\nabla }}V(x_{i})$

Por tanto, si elpotencial no depende de las coordenadas $x_{i}$ , entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos delparéntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que este es elhamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en lamecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).

Véase también

Referencias

↑Véase la 6.ª definición de:ASALE, RAE-.«momento | Diccionario de la lengua española».«Diccionario de la lengua española» - Edición del Tricentenario. Consultado el 20 de julio de 2022.
↑En la época clásicamōtĭo ymōtus eran sinónimos ambos derivados del verbomŏvēre 'mover'.
↑Landau y Lifshitz, 1991,Mecánica, p. 6
↑Landau y Lifshitz, 1992,Teoría clásica de los campos, p. 35
↑Landau y Lifshitz, 1992,Teoría clásica de los campos, p. 342

Bibliografía

Landau & Lifshitz:Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991.ISBN 84-291-4081-6
Halliday, David; Robert Resnick (1960-2007).Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. Chapter 9.
Tipler, Paul (1998).Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (4th ed.). W. H. Freeman.ISBN 1-57259-492-6
Sears & Zemansky, Hugh D. Young:Física Universitaria con Física Moderna Vol. 1.Cap. 8: Cantidad de movimiento, impulso y colisiones.

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