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Leyes de Kepler

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Representación gráfica de las leyes de Kepler. El Sol está situado en uno de los focos. En tiempos iguales, las áreas barridas por el planeta son iguales. Por lo tanto, el planeta se moverá más rápidamente cerca del Sol.

Lasleyes de Kepler fueron enunciadas porJohannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de losplanetas en susórbitas alrededor delSol.^[1]

Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendoórbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de laelipse.
Segunda ley (1609): Elradio vector que une un planeta y el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.; La ley de las áreas es equivalente a la constancia delmomento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio).; El afelio y el perihelio son los dos únicos puntos de la órbita en los que el radio vector y la velocidad son perpendiculares. Por ello solo en esos 2 puntos el módulo delmomento angular $L {\displaystyle L}$ se puede calcular directamente como el producto de la masa del planeta por su velocidad y su distancia al centro del Sol.; $L=m\cdot r_{a}\cdot v_{a}=m\cdot r_{p}\cdot v_{p}\,$; En cualquier otro punto de la órbita distinto del Afelio o del Perihelio el cálculo del momento angular es más complicado, pues como la velocidad no es perpendicular al radio vector, hay que utilizar elproducto vectorial.; $\mathbf {L} =m\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {v} \,$
Tercera ley (1619): Para cualquier planeta, el cuadrado de superíodo orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud delsemieje mayor de su órbita elíptica.; ${\frac {T^{2}}{a^{3}}}=C={\text{constante}}$; Donde,T es elperíodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol),a la distancia media delplaneta con elSol yC la constante de proporcionalidad.; Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por laTierra y elSol.

Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler

Antes de que se redactaran las leyes de Kepler hubo otros científicos comoClaudio Ptolomeo,Nicolás Copérnico yTycho Brahe cuyas principales contribuciones al avance de la ciencia estuvieron en haber conseguido medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas. Kepler, que fue discípulo de Tycho Brahe, aprovechó todas estas mediciones para poder formular su tercera ley.

Kepler logró describir el movimiento de los planetas. Utilizó los conocimientos matemáticos de su época para encontrar relaciones entre los datos de las observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y con ellos logró componer unmodelo heliocéntrico del universo. Comenzó trabajando con el modelo tradicional del cosmos, planteando trayectorias excéntricas y movimientos enepiciclos, pero encontró que los datos de las observaciones lo situaban fuera del esquema que había establecido Copérnico, lo que lo llevó a concluir que los planetas no describían unaórbita circular alrededor del Sol. Ensayó otras formas para las órbitas y encontró que los planetas describen órbitas elípticas, las cuales tienen al Sol en uno de sus focos. Analizando los datos deBrahe, Kepler también descubrió que la velocidad de los planetas no es constante,^[2] sino que el radio vector que une al Sol (situado en uno de los focos de la trayectoria elíptica) con un planeta determinado, describe áreas iguales en tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas es mayor cuando están próximos al Sol (perihelio) que cuando se mueven por las zonas más alejadas (afelio). Esto da origen a las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Las leyes de Kepler representan una descripción cinemática delsistema solar.

Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse.

Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven convelocidad areolar constante. Es decir, el vector posiciónr de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Se puede demostrar que el momento angular es constante lo que nos lleva a las siguientes conclusiones:

Las órbitas son planas y estables.

Se recorren siempre en el mismo sentido.

La fuerza que mueve los planetas escentral.

Tercera Ley de Kepler: Se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución al cuadrado y el semieje mayor de la elipse al cubo se mantiene constante. Esto es:

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=C

Ilustración de la relación entre el radio orbital y el período orbital.

El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de laley de la gravitación universal.

La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler paraórbitas circulares es:

La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular de radio a:

{\frac {GMm}{a^{2}}}=m\omega ^{2}a

recordando la expresión que relaciona la velocidad angular y el período de revolución:

\omega ={\frac {2\pi }{T}}

de donde se deduce que el cuadrado del tiempo de una órbita completa o periodo es:

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}

,

y despejando:

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}=C

,

donde $C {\displaystyle C}$ es la constante de Kepler,T es elperiodo orbital,a elsemieje mayor de la órbita,M es la masa del cuerpo central yG una constante denominadaConstante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y elsistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión. Esta expresión es válida tanto para órbitas circulares como elípticas.

En realidad, esta última expresión es solo una aproximación de la expresión más general que se deduce con todo rigor de las Leyes de Newton y que es:

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}\ (M+m)={\frac {4\pi ^{2}}{G}}

Donde $M {\displaystyle M}$ es la masa del cuerpo central, $m {\displaystyle m}$ la del astro que gira en torno a él y $a {\displaystyle a}$ sería el semieje mayor con respecto alcentro de masas del sistema.Como en el sistema solar la masa del Sol es muy superior a la de cualquier planeta, $m\ll M$ , la expresión simplificada se obtiene de la más general haciendo $M+m\simeq M$

Deducción matemática de las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton

La demostración de la primera y segunda ley de Kepler se basa en lasleyes de Newton y laley de gravitación universal.

Sistema de referencia de coordenadas polares

Demostración de la segunda ley de Kepler

Enunciado matemático
Sean ${[t_{1},t_{2}]}$ , ${[t_{3},t_{4}]}$ dos intervalos de tiempo tal que ${t_{2}-t_{1}=t_{4}-t_{3}}$ y sea $A_{\theta _{1},\theta _{2}}={1 \over 2}\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r^{2}(\theta )d\theta$ , $\forall \theta _{1},\theta _{2}$ .
Entonces, ${A(t_{2}-t_{1})=A(t_{4}-t_{3})}$ .

En primer lugar, se fija un sistema de referencia decoordenadas polares:

{\textstyle {\overrightarrow {x}}(t)=r(t)\cdot (cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))}

,

{\overrightarrow {u_{r}}}(t)=(cos(\theta (t)),sen(\theta (t)))

,

{\overrightarrow {u_{\theta }}}(t)=(-sen(\theta (t)),cos(\theta (t)))

,

donde ${\overrightarrow {x}}(t)$ denota la posición del cuerpo con masa $m {\displaystyle m}$ en el instante $t {\displaystyle t}$ ; el cuerpo con masa $M {\displaystyle M}$ está quieto y en el origen; y ${\overrightarrow {u_{r}}}$ y ${\overrightarrow {u_{\theta }}}$ son vectores unitarios en las direcciones radial y circunferencial, respectivamente; y $\theta (t)$ es el ángulo que forma $r(t)$ con el eje polar (eje de referencia desde el que se mide el ángulo polar).

${\overrightarrow {u_{r}}}$ y ${\overrightarrow {u_{\theta }}}$ satisfacen las siguientes propiedades:

{d{\overrightarrow {u_{r}}} \over d\theta }={\overrightarrow {u_{\theta }}}

;

\quad {d{\overrightarrow {u_{r}}} \over dt}={\overrightarrow {u_{r}}}'={\overrightarrow {u_{\theta }}}\theta '

;

\quad {\overrightarrow {u_{r}}}\bot {\overrightarrow {u_{\theta }}}

.

La fuerza ${\overrightarrow {F}}$ sobre el cuerpo de masa $m {\displaystyle m}$ se descompone en: ${\overrightarrow {F}}=F_{r}{\overrightarrow {u_{r}}}+F_{\theta }{\overrightarrow {u_{\theta }}}$ . Además, como ${\overrightarrow {F}}$ es unafuerza central, $F_{\theta }\equiv 0$ .

Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton,

F_{r}{\overrightarrow {u_{r}}}={\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {x}}''(t)

.

[1] {\displaystyle [1]}

La velocidad del planeta es la derivada de la posición:

x'(t)=r'(t){\overrightarrow {u_{r}}}+r(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}

,

[2] {\displaystyle [2]}

y su aceleración es la derivada de la velocidad:

{\textstyle {\begin{aligned}x''(t)&=r''(t){\overrightarrow {u_{r}}}+r'(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}+r'(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}+r(t)\theta ''(t){\overrightarrow {u_{\theta }}}-r(t)\theta '(t)\theta '(t){\overrightarrow {u_{r}}}\\&=(r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}){\overrightarrow {u_{r}}}+(2r'(t)\theta '(t)+r(t)\theta ''(t)){\overrightarrow {u_{\theta }}}.\\\end{aligned}}}

[3] {\displaystyle [3]}

Usando $[1] {\displaystyle [1]}$ y $[3] {\displaystyle [3]}$ :

{\begin{cases}F_{r}=[r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}]m\\0=2r'(t)\theta '(t)+r(t)\theta ''(t)\end{cases}}

${\begin{matrix}[4]\\{[5]}\end{matrix}}$

Multiplicando por $r {\displaystyle r}$ a ambos lados de $[5] {\displaystyle [5]}$ :

0=2r(t)r'(t)\theta '(t)+r^{2}(t)\theta ''(t)=(r^{2}(t))'\theta '(t)+r^{2}(t)\theta ''(t)=(r^{2}(t)\theta '(t))'

.

Así que $r^{2}(t)\theta '(t)=c$ (constante). $[6] {\displaystyle [6]}$

Representación del área del sector barrido entre los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$ .

{\displaystyle \theta _{1}} — Representación del área del sector barrido entre los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$ .

Por otra parte, sea $A_{\theta _{1},\theta _{2}}$ el área del sector barrido entre los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$ :

A_{\theta _{1},\theta _{2}}={1 \over 2}\textstyle \int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\displaystyle r^{2}(\theta )d\theta

.

Tomemos $\theta _{1}=0$ por simplicidad y denotemos $A_{\theta _{1},\theta _{2}}=A$ .

Por elteorema fundamental del cálculo, ${dA \over d\theta }={r^{2}(\theta ) \over 2}$ . Como $\theta$ es función de $t {\displaystyle t}$ , por $[6] {\displaystyle [6]}$ :

A'(t)={dA(\theta (t)) \over d\theta }\theta '(t)={r^{2}(\theta (t)) \over 2}\theta '(t)=c

(constante).

Por lo tanto, $A(t)=ct+k$ , para alguna constante $k {\displaystyle k}$ .

Se obtiene: $A(t)=ct$ .

Aplicando esto a dos intervalos de tiempo de igual longitud, $[t_{1},t_{2}]$ y $[t_{3},t_{4}]$ :

A(t_{2}-t_{1})=(t_{2}-t_{1})c=(t_{4}-t_{3})c=A(t_{4}-t_{3})

. ■

Demostración de la primera ley de Kepler

Enunciado matemático
La trayectoria del cuerpo de masam es una cónica.

Imponiendo que $F_{r}$ cumpla la ley universal de gravitación:

F_{r}={-{GmM \over r^{2}(t)}}

.

[7] {\displaystyle [7]}

Aplicando la segunda ley de Newton y la ley de gravitación universal:

{\overrightarrow {x''}}(t)=-{\Bigl (}G{M \over r^{2}(t)}{\Bigr )}{\overrightarrow {u_{r}}}

.

[8] {\displaystyle [8]}

Igualando $[4] {\displaystyle [4]}$ y $[7] {\displaystyle [7]}$ :

-{GM \over r^{2}(t)}=r''(t)-r(t)(\theta '(t))^{2}

.

[9] {\displaystyle [9]}

Despejando de la ecuación $[6] {\displaystyle [6]}$ se obtiene: $\theta '(t)={c \over r^{2}(t)}$ , para c constante. $[10] {\displaystyle [10]}$

Se puede reescribir la ecuación $[9] {\displaystyle [9]}$ , usando $[10] {\displaystyle [10]}$ , como:

-{GM \over r^{2}(t)}=r''(t)-{c^{2} \over r^{3}(t)}

.

[11] {\displaystyle [11]}

Haciendo el cambio $z(t)={1 \over r(t)}$ y derivando dos veces, obtenemos lo siguiente:

r'(t)=-{1 \over z^{2}(t)}z'(t)=-{1 \over z^{2}(t)}{dz(t) \over d\theta (t)}\theta '(t)=-c{dz(t) \over d\theta (t)}

,

r''(t)=-c{d \over dt}{\biggl (}{dz(t) \over d\theta (t)}{\Biggr )}=-c{d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}\theta '(t)

.

Usando $[10] {\displaystyle [10]}$ :

r''(t)=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}

.

Sustituyendo $r''(t)$ en el lado derecho de $[11] {\displaystyle [11]}$ :

r''(t)-{c^{2} \over r^{3}(t)}=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}-{c^{2} \over r^{3}(t)}=-c^{2}z^{2}(t){d^{2}z(t) \over d\theta ^{2}(t)}-c^{2}z^{3}(t)

,

y en el lado izquierdo aplicando de nuevo el cambio $z(t)={1 \over r(t)}$ :

-{GM \over r^{2}(t)}=-GMz^{2}(t)

.

De esta forma, la ecuación $[9] {\displaystyle [9]}$ se puede escribir como:

z+{d^{2}z \over d\theta ^{2}}={GM \over c^{2}}

.

Estaecuación diferencial tiene como únicas soluciones:

z(\theta )=Acos(\theta -\alpha )+{GM \over c^{2}}

, donde

A {\displaystyle A}

y

\alpha

son constantes.

Eligiendo el eje polar de manera que $\alpha =0$ :

r(\theta )={1 \over Acos(\theta )+{GM \over c^{2}}}={{c^{2} \over GM} \over Bcos(\theta )+1}

, donde

B={Ac^{2} \over GM}

.

Haciendo los cambios $e=B$ y $p={1 \over A}$ , se obtiene la ecuación de unacónica con foco en el origen:

r(\theta )={ep \over ecos(\theta )+1}

, donde

e {\displaystyle e}

es laexcentricidad y

p {\displaystyle p}

es la distancia delfoco a ladirectriz.

Según el valor de $e {\displaystyle e}$ , esta cónica puede ser unaelipse, unahipérbola o unaparábola.

Si la trayectoria de los cuerpos celestes está acotada, el único caso posible es que sea una elipse, $0<e<1$ . ■

Descubrimiento de nuevos cuerpos celestes

Johannes Kepler descubrió sus leyes gracias a un considerable trabajo de análisis de las observaciones astronómicas realizadas porTycho Brahe, mucho más precisas que las ya conocidas; se basó en particular en las posiciones deMarte, cuyo movimiento estudió a partir de 1600. Estaba convencido de que el Sol era de algún modo el "verdadero" centro del sistema solar (para los planetas exteriores, como Marte, Copérnico utilizaba un punto ficticio cercano al Sol como centro de un círculo sobre el que giraba a velocidad uniforme el centro de un pequeño epiciclo que llevaba el planeta). Guiado por esta creencia y tras mucho divagar, acabó descubriendo que el movimiento de los planetas es elíptico, con el sol situado en un foco de la elipse. Sus resultados y el modo en que llegó a ellos se recogen en su obra principal, laAstronomia nova, que apareció en 1609, pero que en realidad se terminó a finales de 1605.^[3]

Sus propias leyes permitieron afinar la investigación astronómica y revelar las irregularidades de los movimientos de los cuerpos conocidos mediante una asombrosa progresión de los análisis.

El ejemplo más espectacular fue el de las irregularidades deUrano, que condujeron al descubrimiento deNeptuno porJohn Couch Adams (1819 - 1892) yUrbain Le Verrier (1811 - 1877), mediante cálculo: descubrimiento confirmado por la observación deJohann Gottfried Galle (1812 - 1910) en 1846.

Véase también

Notas y referencias

↑Kepler, Johannes (1609).Astronomia Nova.
↑La web de Física.«Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas». Consultado el 7 de junio de 2017.
↑La publicación fue retrasada por los herederos deTycho Brahe, de cuyas observaciones Kepler hizo un uso decisivo; le reclamaban derechos y no estaban satisfechos con que Kepler hubiera rechazado el sistema geoheliocéntrico del astrónomo danés, segúnOwen Gingerich (1993),The eye of heaven, American Institute of Physic, introducción p. 45, y p. 41-45 para el párrafo completo.

Bibliografía

SIMMONS, G. F., & KRANTZ, S. G. ECUACIONES DIFERENCIALES: TEORÍA, TÉCNICA Y PRÁCTICA/GEORGE F. SIMMONS Y STEVEN G. KRANTZ (No. QA371. S46 2007.).
Perez, I. I. C. (2015). Leyes de Kepler.

Enlaces externos

Crowell, Benjamin,Conservation Laws,http://www.lightandmatter.com/area1book2.html Archivado el 1 de junio de 2020 enWayback Machine., un libro electrónico que ofrece una prueba de la primera ley sin el uso del cálculo. (section 5.2, p. 112)
David McNamara and Gianfranco Vidali,Kepler's Second Law - Java Interactive Tutorial,http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive Java applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
Audio - Cain/Gay (2010)Astronomy Cast Johannes Kepler and His Laws of Planetary Motion
University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion[1]
Equant compared to Kepler: interactive model[2]Archivado el 26 de diciembre de 2008 enWayback Machine.
Kepler's Third Law:interactive model[3]Archivado el 26 de diciembre de 2008 enWayback Machine.
Solar System Simulator (Interactive Applet)
Kepler and His Laws, educational web pages by David P. Stern
[4], Descripción detallada de la segunda ley de Kepler.
[5], PUEMAC. Demostración de las leyes de Kepler a partir de las de Newton.
[6], Demostración de las leyes de Kepler.

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