Enfísica, lalógica cuántica es el conjunto de reglas algebraicas que rigen las operaciones para combinar y los predicados para relacionarproposiciones asociadas a acontecimientos físicos que se observan a escalas atómicas.

Ejemplos de tales proposiciones son aquellas relativas almomento lineal o a laposición en el espacio de unelectrón. La lógica cuántica puede considerarse como unsistema formal paralelo alcálculo proposicional de lalógica clásica, donde en esta última, las operaciones para combinar proposiciones son lasconectivas lógicas y los predicados entre proposiciones son equivalencia eimplicación. La lógica cuántica fue creada con el propósito de tratar matemáticamente las anomalías relativas a lamedición, como elprincipio de incertidumbre, en lamecánica cuántica. Estas surgen por la medición simultánea deobservables complementarios en escalas atómicas.

La expresión "lógica cuántica" también se refiere a la rama interdisciplinária de física, matemática, lógica y filosofía que estudia el formalismo y las bases empíricas de estas reglas algebraicas. Cabe destacar que la lógica cuántica es una disciplina científica independiente y con objetivos diferentes a los de lainformática cuántica, aunque ambas dependen, por supuesto, de la física cuántica.

El concepto de lógica cuántica fue propuesto originalmente porGarrett Birkhoff yJohn von Neumann en 1936. Tal como fue propuesto por estos autores, la lógica cuántica se fundamenta en la idea que elretículo deproyecciones ortogonales en unespacio de Hilbert es la estructura que corresponde en la mecánica cuántica al reticulado de proposiciones en lafísica clásica.

La lógica cuántica puede formularse como una versión modificada de lalógica proposicional. Tiene algunas propiedades que la diferencian de la lógica clásica, la más notable siendo que lapropiedad distributiva

p y (q or) = (p yq) o (p yr)

que es una propiedad básica en la lógica clásica, ya no es válida en la lógica cuántica.

Para explicar porqué la ley distributiva no es válida en lógica cuántica, consideremos una partícula que se desplaza sobre una recta. Seanp,q yr las proposciones siguientes:

p = "la partícula se dirige hacia la derecha"

q = "la partícula se encuentra en el intervalo [-1,1]"

r = "la partícula se encuentra fuera del intervalo [-1,1]"

Entonces la proposición "q or" es verdadera. Por lo tanto

p y (q or) =p

Por otro lado, las proposiciones

p yq

p yr

son ambas falsas, pues cada una postula valores simultáneos de posición y momento linear con mayor exactitud de lo que sería permitido por larelación de indeterminación de Heisenberg. Por ende,

(p yq) o (p yr) = falso

Concluimos que la ley distributiva es falsa.

La tesis que la lógica cuántica es la lógica apropiada para el raciocinio de manera general ha sido avanzada por varios filósofos y físicos. Entre los proponentes de esta tesis se encuentra el filósofo estadounidenseHilary Putnam, en por lo menos un período en su trayectoria académica. Esta tesis fue un ingrediente importante en su trabajo entitulado "¿Es empírica la lógica?" (en inglés "Is Logic Empirical?") en el cual analizó el fundamento epistemológico de las leyes de la lógica proposicional. Putnam atribuyó la idea que las anomalías asociadas a la medición cuántica surgen de anomalías en la lógica de la física misma al físico David Finkelstein.

La idea que una modificación de las reglas de la lógica sería necesaria para raciocinar correctamente con proposiciones relativas a eventos subatómicos, había existido en alguna forma con anterioridad al trabajo de Putnam. Ideas parecidas, aunque con menos proyección filosófica habían sido propuestas por el matemáticoGeorge Mackey en sus estudios relacionando cuantización y la teoría de representaciones unitarias de grupos. Sin embargo, el punto de vista más prevaleciente entre los especialistas en fundamentos de mecánica cuántica, es que la lógica cuántica no debe considerarse como un sistema de reglas la deducción. Lo que la lógica cuántica proporciona es un formalismo matemático para relacionar diversos elementos del aparataje de la mecánica cuántica, que son, a saber,observables, filtros físicos para la preparación de estados y los estados mismos. Considerados de esta forma, la lógica cuántica se asemeja más al enfoque algebraico construido a partir de lasC*-algebras.

Elenfoque hamiltoniano de lamecánica clásica está constituido por tres elementos fundamentales:

• El conjunto deestados posibles del sistema,
• observables, propiedades del sistema que se obtienen por procesos de medición,
• dinámica, es decir la manera de evolución a través del tiempo de los estados.

En el caso de una partícula que se mueve en el espacioR³, el espacio de estados (también llamadoespacio fásico) es el espacioR⁶. Los observables son funcionesf con valores reales, que son definidas sobre el espacio fásico. Ejemplos de observables son las coordenadas de posición o momento lineal o la energía de una partícula. Para un sistema clásico, el valor def(x), es decir el valor del observablef, estando el sistema en un determinado estadox, se obtiene por un proceso de medición def. Lasproposiciones concernientes al sistema clásico son creadas a partir de proposiciones básicas, como la siguiente: seana,b números reales

• El resultado de medir el observablef, es un valor en el intervalo [a,b].

Consideremos una partícula demasamkilogramos que se mueve enR³, libre de fuerzas externas. Si el observablef es la energía de la partícula, entonces un ejemplo de proposición básica es la que afirma que la energía de la partícula (expresada enJulios), está en el intervalo [a,b]. Esta afirmación equivale a decir que lavelocidadv (expresada en unidades demetros/segundo) satisface ladesigualdad

${\displaystyle \sqrt{\frac{2a}{m}}\le |v|\le \sqrt{\frac{2b}{m}}}$

Es una consecuencia de esta definición de proposición en sistemas físicos clásicos, que la lógica correspondiente, considerada como un sistema algebraico bajo las operaciones de lógica, tiene la estructura de unálgebra de Boole. De hecho, esta álgebra consiste de subconjuntos del espacio fásico. En este contexto, por lógica entendemos las reglas algebraicas que rigen las operaciones booleanas, tales como lasleyes de De Morgan. Por razones de naturaleza técnica, haremos la suposición que los conjuntos pertenecientes a esta álgebra son precisamente losconjuntos Boreleanos. Además de unión e intersección, el conjunto de proposiciones lleva una relación binaria de orden (es decir la relación desubconjunto) y una operación de complementación. Esta última corresponde a la negación en lógica. En términos de observables, el complemento de la proposición {f ≥a} es {f <a}.

Podemos resumir el punto de vista clásico en la forma a siguiente:

• El conjunto de proposiciones que se pueden afirmar de un sistema físico clásico tiene la estructura de un reticulado. Este reticulado viene equipado además con una operación deortocomplementación. Las operaciones (binarias) de mínimo y máximo de este reticulado son respectivamente las operaciones de intersección y unión de conjuntos. La operación de ortocomplementación es el complemento en el espacio fásico. Este reticulado es ademássecuencialmente completo, en el sentido que toda sucesión {E_i}_i de elementos del reticulado tiene un supremo

${\displaystyle \sup (\{E_i\})=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i.}$

En laformulación de la mecánica cuántica en espacios de Hilbert tal como fue presentada porvon Neumann, un observable se representa por unoperador autoadjuntoA densamente definido (y posiblementeno-acotado) sobre un cierto espacio de Hilbert. Puesto queA admite unadescomposición espectral o resolución de la identidad en términos de una medida de Borel de${\displaystyle \mathbb{R}}$ (valuada sobre el conjunto de proyectores del espacio). En particular se cumple que:

${\displaystyle f(A)={\int }_{\mathbb{R}}f(\lambda )d{\mathrm{E}}_{\lambda }}$

En este casof es la función característica de un intervalo [a,b], y el operadorf(A) es una proyección autodajunta, y puede ser interpretada como el análogo cuántico de laproposición clásica:

• El valor de una medición deA cae en el intervalo [a,b].

Las consideraciones anteriores sugieren una estructura que corresponde en la mecánica cuántica alretículo de proposiciones en la mecánica clásica.

• El reticulado de proposiciones de un sistema cuántico es el reticuladoQ de los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert. donde la relación de orden entre subespacios cerradosV yW es la relación de subespacio. Este reticulado está dotado además de una operación llamada de ortocomplementación. Para un subespacioV el ortocomplemento es el espacio ortogonal.

Esta afirmación es en esencia el axioma VII postulado en el libro de Mackey. En lo sucesivo, no haremos diferencia entre un subsepacio cerradoV y la proyección ortogonal sobreV. Esta identifcación se justifica por la existencia de una biyección natural entre subespacios cerrados y proyecciones ortogonales.

Tomando como punto de partida el axioma VII, procedemos a definir de una manera formal lo que es un observable y sobre la base de esta definición establecer la correspondenica entre operadores autoadjuntos y observables. La definición es la siguiente:

Un observable según Mackey es un homomorfismo φ cuyo dominio es el retículo deconjuntos borelianos en la recta realR y el codominio es el retículoQ y que preserva límites enumerables.

Esta propiedad quiere decir que si {S_i}_i es una sucesión de subconjuntos borelianos deR que son disjuntos entre sí, entonces las proyecciones {φ(S_i)}_i son también ortogonales entre sí y vale la igualdad

${\displaystyle \phi \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (S_i).}$

Teorema. Existe una correspondencia biunívoca entre observables en el sentido de Mackey y operador con dominio denso autoadjuntos en el espacio de HilbertH.

Una aplicación de este tipo, que hace corresponder un operador de proyección ortogonal a cada elemento de una σ-álgebra, es denominadamedida espectral.

• S. Auyang,How is Quantum Field Theory Possible?,Oxford University Press, 1995.
• G. Birkhoff and J. von Neumann,The Logic of Quantum Mechanics, vol 37, 1936.
• D. Cohen,An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic, Springer-Verlag, 1989. Este libro es un estudio detallado, pero a nivel introductorio apropiado para alumnos de licenciatura que tengan buena base en física y matemática.
• D. Finkelstein,Matter, Space and Logic, Boston Studies in the Philosophy of Science vol V, 1969
• A. Gleason,Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
• R. Kadison,Isometries of Operator Álgebras, Annals of Mathematics, vol 54 pp 325-338, 1951
• G. Ludwig,Foundations of Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1983.
• G. Mackey,Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963 (paperback reprint by Dover 2004).
• J. von Neumann,Mathematical Foundations of Quantum Mechanics,Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
• R. Omnès,Understanding Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1999. Proporciona al lector una discusión extremadamente clara de algunos temas de la lógica y de la filosofía de la mecánica cuántica, con atención a la historia de la materia.
• N. Papanikolaou,Reasoning Formally About Quantum Systems: An Overview, ACM SIGACT News, 36(3), pp. 51-66, 2005.
• C. Piron,Foundations of Quantum Physics, W. A. Benjamin, 1976.
• H. Putnam,Is Logic Empirical?, Boston Studies in the Philosophy of Science vol. V, 1969
• H. Weyl,The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications, 1950.

• Quantum Logic and Probability Theory

• Lógicas no clásicas
• Mecánica cuántica
• Sistemas lógicos