Se le considera uno de los lógicos más importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Al igual que otros pensadores —comoGottlob Frege,Bertrand Russell,A. N. Whitehead yDavid Hilbert—, Gödel intentó emplear la lógica y lateoría de conjuntos para comprender los fundamentos de lamatemática.
Kurt Friedrich Gödel nació el 28 de abril de 1906 enBrünn, la capital de laMoraviaaustrohúngara (actualmente Brno,República Checa) en una familia acomodada de etnia germana. Su padre, Rudolf August Gödel, era un hombre de negocios y administrador de una fábrica de textiles. Su madre, Marianne Gödel (nacida Handschuh), una mujer educada y culta, que permaneció cercana a Gödel durante toda su vida, tal como puede observarse en la extensa correspondencia entre ambos.[2] En el momento de su nacimiento, la mayoría de la población de su ciudad era dehabla alemana[3] y este era el idioma de sus padres.[4]
Gödel, que hablaba muy poco elcheco, se convirtió automáticamente enchecoslovaco a la edad de 12 años, tras la caída delImperio austrohúngaro al final de laPrimera Guerra Mundial. Posteriormente le contó a su biógrafo John W. Dawson que durante ese tiempo se sentía como un «exiliado austríaco en Checoslovaquia» (ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei). Decidió convertirse en ciudadano austríaco a los 23 años. Cuando laAlemania nazianexionó Austria, Gödel se convirtió automáticamente en ciudadanoalemán, a los 32 años. Después de la Segunda Guerra Mundial, a los 42 años, se convirtió en ciudadanoestadounidense.
Su familia llamaba al joven KurtHerr Warum (Sr. Por qué), debido a su insaciable curiosidad. La única excepción a una infancia sin incidentes fue que a partir de los cuatro años sufrió quebrantos de salud y fiebres reumáticas. Se recuperó completamente, pero toda su vida quedó convencido de que su corazón había sufrido un daño permanente.
Asistió a la escuela primaria y secundaria en idioma alemán en Brno, de la que se graduó con honores en 1923 y sobresalió en matemáticas, idiomas y religión. En el transcurso de su adolescencia estudió, entre otras materias, laTeoría de los colores deGoethe, críticas deIsaac Newton y la obra deImmanuel Kant.
Su asistencia a una conferencia de Hilbert sobre la completud y la consistencia de los sistemas matemáticos pudo decidir el curso de su vida. En 1928, Hilbert yWilhelm Ackermann publicaron losGrundzüge der theoretischen Logik (Principios de lógica teórica), una introducción a lalógica de primer orden en la cual se planteaba el problema de la completitud: «¿Son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar cada una de las proposiciones verdaderas en todos los modelos del sistema?». Este fue el tema elegido por Gödel para su disertación doctoral. En 1929, a los 23 años, completó su disertación bajo la supervisión deHans Hahn, en la cual Gödel estableció la completud delcálculo de predicados de primer orden (este resultado se conoce ahora como elteorema de completitud de Gödel). El doctorado se le concedió en 1930. Su tesis, junto a trabajo adicional, fue publicada por la Academia de Ciencias de Viena.[5]
La consistencia de losaxiomas no puede demostrarse en el interior delsistema.
Estos teoremas finalizaron medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo deFrege y culminando en losPrincipia Mathematica y en elformalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática. El teorema de la incompletud implica también que no toda la matemática es computable.
La idea básica del teorema de la incompletud es bastante simple. Esencialmente, Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritméticaconstruible por el hombre existe una fórmula que se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominadonumeración de Gödel.
Gödel recibió suhabilitación en la Universidad de Viena en 1932, y en 1933 se convirtió enPrivatdozent (permiso para enseñar y examinar de forma independiente en la universidad). La ascensión de Hitler en Alemania en 1933 afectó poco a Gödel en Viena, ya que tenía poco interés en la política. Sin embargo, en 1936 se vio muy afectado por el asesinato deMoritz Schlick (cuyo seminario había despertado su interés por la lógica) a manos del estudiante Hans Nelböck, quien declaró que mató a Schlick «por difundir ideas antimetafísicas que minan la moral y la cohesión de la vida».[6] Este incidente le provocó un colapso nervioso y su primera crisis deparanoia. Dos años después, tras elAnschluss, el asesino fue liberado y se declarónazi.[6]
En 1933, Gödel viajó por primera vez a losEstados Unidos donde conoció aAlbert Einstein, con quien estrechó lazos de amistad. Presentó una conferencia en la reunión anual de laSociedad Norteamericana de Matemáticas. En el transcurso de ese año, Gödel también desarrolló ideas sobre la computabilidad y lafunción recursiva, e impartió una conferencia sobre dichas funciones y sobre el concepto de verdad. Posteriormente, este trabajo se desarrolló en lateoría de los números, empleando la numeración de Gödel.
En 1934, Gödel impartió una serie de conferencias en elInstituto de Estudios Avanzados (IEA) enPrinceton, tituladaSobre las proposiciones indecidibles de los sistemas matemáticos formales.Stephen Kleene, quien acababa de finalizar su doctorado en Princeton, tomó notas de esta conferencia, que se publicaron posteriormente.
Gödel visitaría nuevamente el IEA en otoño de 1935, pero los viajes y el intenso trabajo lo habían extenuado. El año siguiente convaleció recuperándose de una depresión. No regresó a la docencia hasta 1937. Durante ese tiempo, se dedicó a probar la consistencia delaxioma de elección y a lahipótesis del continuo, trabajo que continuó hasta mostrar que estas hipótesis no pueden refutarse desde el sistema común de axiomas de la teoría de conjuntos.
El 20 de septiembre de 1938 contrajo matrimonio conAdele Nimbursky (nacida Porkert, 1899-1981), a la que conocía desde hacía 10 años. Los padres de Gödel se oponían a esta relación. porque se trataba de una bailarina divorciada y seis años mayor que él. Nunca tuvieron hijos.
Posteriormente realizó otra visita a los Estados Unidos, donde pasó el otoño de 1938 en el IEA y la primavera de 1939 en laUniversidad de Notre Dame. Durante sus vacaciones del IEA, Gödel y su esposa Adele pasaron el verano de 1942 en Blue Hill,Maine. Sin embargo Gödel no solo estaba descansando, pues tuvo un verano de trabajo muy productivo. John W. Dawson, Jr. conjetura que durante esas vacaciones Gödel, empleando el volumen 15 de su obra todavía sin publicarArbeitshefte (Cuadernos de notas), descubrió una prueba de la independencia del axioma de elección de la teoría finita de tipos, una forma debilitada de la teoría de conjuntos. Hao Wang, amigo cercano de Gödel, apoya dicha conjetura, señalando que los cuadernos de notas de Blue Hill contienen su tratamiento más extenso del problema.
Después delAnschluss en 1938, Austria pasó a formar parte de laAlemania nazi. Alemania abolió el título dePrivatdozent, de modo que Gödel tuvo que concursar a un cargo diferente en el nuevo orden. Sin embargo, sus vínculos anteriores con miembros judíos delCírculo de Viena, especialmente conHans Hahn, pesaban en su contra. Su situación se precipitó a finales de 1939, cuando se le encontró apto para el servicio militar, arriesgándolo a ser llamado a las filas del ejército alemán durante laII Guerra Mundial. Por esta razón emigró hacia los Estados Unidos para asumir un cargo docente en el IEA. Gödel y su esposa tuvieron que tomar elFerrocarril Transiberiano hasta el Pacífico, navegando desdeJapón hasta San Francisco (donde llegaron el 4 de marzo de 1940), y luego cruzaron los Estados Unidos en tren hasta Princeton.[7]
Rápidamente retomó su trabajo en matemáticas y en 1940 publicó su obraConsistencia delaxioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizada con los axiomas de la teoría de conjuntos, que constituye un clásico de la matemática moderna. En dicho trabajo introdujo eluniverso construible, un modelo de la teoría de conjuntos en el cual los únicos conjuntos que existen son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más simples. Gödel mostró que tanto el axioma de elección (AC) y lahipótesis del continuo generalizada (HCG) son verdaderas en el universo construible y por lo tanto deben de ser consistentes con losaxiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (ZF). PosteriormentePaul Cohen construyó unmodelo de ZF en el cual AC y HCG son falsos. En conjunto, estas demostraciones significan que AC y HCG son independientes de los axiomas de ZF para la teoría de conjuntos.
Hacia el final de la década de 1940, Gödel demostró la existencia de soluciones paradójicas a las ecuaciones de campo de larelatividad general de Albert Einstein. Estos «universos rotatorios» permitiríanviajar en el tiempo y provocaron dudas en Einstein sobre su propia teoría. Sus soluciones se conocen como lamétrica de Gödel (o el Universo de Gödel).
Durante sus muchos años en el Instituto, los intereses de Gödel se tornaron hacia la filosofía y la física. Estudió y admiró las obras deGottfried Leibniz, pero llegó a la conclusión (sin evidencia) de que la mayor parte del trabajo de Leibniz había sido suprimida. En menor medida también estudió aKant y aEdmund Husserl. Al principio de los años 1970, Gödel distribuyó entre sus amistades una elaboración de lademostración ontológica de Leibniz sobre la existencia deDios, la cual se conoce ahora como lademostración ontológica de Gödel.
En 1946, Gödel se convirtió en miembro permanente del IEA. Alrededor de este período dejó de publicar, aunque continuó trabajando. Se convirtió plenamente en profesor del instituto en 1955 y en profesor emérito en 1976.
En sus últimos años, Gödel sufrió de períodos de inestabilidad yenfermedad mental. Tenía temores obsesivos a serenvenenado, y no comía a menos que su esposa Adele preparara su comida. A finales de 1977, Adele fue hospitalizada durante seis meses y no pudo continuar preparándole la comida. En su ausencia, Gödel rehusó comer, hasta el punto de dejarse morir de hambre. En el momento de su muerte pesaba unos 30 kg. El certificado de defunción en el Hospital de Princeton, el 14 de enero de 1978, dice que murió de «desnutrición e inanición causadas por perturbaciones en la personalidad».[8]
Albert Einstein y Gödel entablaron una amistad legendaria, compartida en las caminatas que daban juntos en el IEA de Princeton. La naturaleza de sus conversaciones -que realizaban en alemán, el idioma nativo de ambos- permaneció en el misterio para los otros miembros del Instituto. El economistaOskar Morgenstern recuerda que, hacia el final de su vida, Einstein le confió que «su propio trabajo ya no importaba mucho, que llegaba al instituto únicamente para tener el privilegio de caminar a casa junto a Gödel».[9]
Einstein y Morgenstern asesoraron a Gödel para el examen de su ciudadanía estadounidense, preocupados por que el comportamiento impredecible de su amigo pusiera en riesgo su oportunidad. Cuando se mencionó brevemente elrégimen nazi, Gödel informó al juez que presidía el examen que había descubierto una manera por la que unadictadura podría instaurarse legalmente en los EE. UU., mediante una contradicción lógica en laConstitución. Posteriormente este postulado ha recibido el nombre defallo de Gödel. El juez, Einstein y Morgenstern le impidieron terminar la elaboración de su pensamiento y se le entregó la ciudadanía.[10]
1931, "Über formal unentscheidbare Sätze derPrincipia Mathematica und verwandter Systeme,"Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98.
1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül",Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien69: 65–66.
En inglés:
1940.The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory.Princeton University Press.
1947. "What is Cantor's continuum problem?"The American Mathematical Monthly 54: 515-25. Revised version inPaul Benacerraf andHilary Putnam, eds., 1984 (1964).Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470-85.
En traducción al inglés:
Kurt Godel, 1992.On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction byRichard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
Kurt Gödel,Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks. vol. 1:Philosophie I Maximen 0 / Philosophy I Maxims 0. Philosophical Notebooks – Volume 1: Philosophy I Max 0. Ed. Eva-Maria Engelen. De Gruyter, 2019.ISBN 9783110585605. DOIhttps://doi.org/10.1515/9783110585605.
Kurt Gödel,Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks. En: vol. 2:Zeiteinteilung (Maximen) I und II. Volume 2: Time Management (Max) I and II. Ed. Eva-Maria Engelen, De Gruyter, 2020.ISBN 9783110674095. DOIhttps://doi.org/10.1515/ 9783110686586.[11]
En la comedia románticaI.Q. (1994) dirigida porFred Schepisi, se dramatizó a Gödel como un personaje secundario encarnado por el actorLou Jacobi; en el filme aparece sin su paranoia y disfrutando plenamente de su jubilación. En 2007 estudiantes de laNederlandse Filmacademie (Dutch) (Dutch Film Academy) se graduaron con un corto de 25 minutos, dirigido por Igor Kramer con el actor austriaco Robert Stuc en el papel principal; un Gödel retirado se percata de que sus alrededores son el decorado de un rodaje, lo cual alimenta su paranoia.
En la películaOppenheimer del año 2023, Gödel aparece brevemente paseando junto a Einstein por los jardines de Princeton, interpretado por James Urbaniak.
↑Gödel, Kurt, 1986, Collected Works. I: Publications 1929–1936. S. Feferman, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.), Oxford:Oxford University Press.
↑abStadler, Friedrich (2015). "Documentation: The Murder of Moritz Schlick", en: Friedrich Stadler (ed.).The Vienna Circle. Studies in the Origins, Development, and Influence of Logical Empiricism: 597-632. Vienna, New York: Springer.ISBN 3-211-83243-2
Gödel, Kurt 1931Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Valencia: Teorema, 1980 y 2.ª edición: 1981ISBN 84-370-0168-4
Gödel, Kurt 1931Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Oviedo:krk ediciones, 2006.ISBN 978-84-96476-95-0
Gödel, Kurt 1994:Ensayos inéditos. Francisco Rodríguez Consuegra, editor. Biblioteca Mondadori.ISBN 84-397-1966-3
Gödel, Kurt 2007:Sobre consistencia y completud en el sistema axiomático / Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystem.Jesús Padilla Gálvez, editor y traductor, Mathesis, Serie III, Vol. II - Nr 1, 197-204. (ISSN: 0185-6200).
La situación presente en los fundamentos de las matemáticas: traducción al castellano de una conferencia de 1933 donde Gödel expone la relación entre sus teoremas de incompletud y las distintas propuestas de fundamentación de la matemática.
