Jacob Bernoulli nació en una familia de comerciantes, Nicolas Bernoulli y su esposa Margaretha Schönauer. Su padre era un rico importador de especias del Lejano Oriente, profesión que la familia Bernoulli ejerció con innegable éxito durante muchas generaciones. A Jacob, que había demostrado una gran inteligencia desde su infancia, le permitió su padre comenzar los estudios universitarios y así fue que se matriculó en la Universidad de Basilea para estudiar filosofía y teología, con el ánimo que se convirtiera en teólogo. Sin embargo, durante estos años, el joven fue poco a poco seducido por las matemáticas, la física y la astronomía y, incluso antes de abandonar la universidad, ya sabía que la ciencia era su vocación. Su padre no lo aceptó de buena gana y Jacob se fue a vivir aGinebra donde, durante un año, trabajó como profesor de matemáticas. Poco después, su padre volvió a tener mejores sensaciones e incluso accedió a financiarle un viaje por Europa para conocer a los científicos más renombrados de la época.
A partir de los planteamientos deLeibniz desarrolló problemas decálculo infinitesimal. Fundó enBasilea un colegio experimental. Estudió por sí mismo la forma del cálculo ideada por Leibniz. Desde 1687 hasta su muerte fue profesor de Matemáticas en Basilea. Jacob fue uno de los primeros en desarrollar el cálculo más allá del estado en que lo dejaron Newton y Leibniz y en aplicarlo a nuevos problemas difíciles e importantes. Sus contribuciones a la geometría analítica, a la teoría de probabilidades y al cálculo de variaciones fueron de extraordinaria importancia. Tenemos ya una muestra del tipo del problema tratado por el cálculo de variaciones en el teorema de Fermat sobre el tiempo mínimo. La matemática del problema se reduce a hacer que una cierta integral tome un valor máximo sometido a una condición restrictiva. Jacob resolvió este problema y lo generalizó. El hecho de que la cicloide es la curva de más rápido descenso fue descubierto por los hermanos Jacob y Johannes en 1697, y casi simultáneamente por varios autores.
Durante un viaje a Inglaterra en 1676, Jacob Bernoulli conoció aRobert Boyle yRobert Hooke. Este contacto le inspiró una dedicación vitalicia a la ciencia y la matemática. Fue nombrado Lector en laUniversidad de Basilea en 1682 y Profesor de Matemáticas en 1687.
Se familiarizó con elcálculo mediante su correspondencia conGottfried Leibniz, y colaboró con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos encurvas trascendentales (1696) eisoperimetría (1700, 1701).
Jacob, al igual que su hermano Johann, fueron los seguidores inmediatos deLeibniz defendiendo losinfinitesimales como entidades matemáticas reales y utilizándolos para obtener resultados importantes, tanto en el cálculo propiamente dicho, como en su aplicación a los problemas físicos.[3] De hecho, ambos hermanos fueron de los primeros en Europa en comprender las nuevas técnicas de Leibniz y en aplicarlas a la resolución de nuevos y antiguos problemas. Por ejemplo, Jakob estableció laecuación diferencial de la curva isócrona demostrando analíticamente la idea que Huygens había tenido para construir el reloj depéndulo.[4]
Otro ejemplo fue el de la curvacatenaria, queGalileo había confundido con unaparábola y sobre la cual Jakob propuso el problema, pero que fue resuelto por Johann en 1691;[5] esto marcó el inicio de las rivalidades fraternas.
También resolvieron algunos problemas deintegración doble, como también lo hizoL'Hôpital, aunque no se obtendría un sistema general hasta años más tarde.[6]
La espiral construida utilizando rectángulos con laproporción áurea resulta una aproximación a laespiral logarítmica, que Bernouilli deseó para su tumba, en lugar de laespiral de Arquímedes que finalmente fue erróneamente tallada.
Bernoulli escogió la figura de laespiral logarítmica (propuesta antes por su aprendiz Andres Beat E.S), así como el emblema en latín "Eadem mutata resurgo" (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo) para su epitafio. Contrariamente a su deseo de que fuese tallada unaespiral logarítmica (constante en su radio), laespiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue unaespiral de Arquímedes (constante en su diferencia).[1] La espiral logarítmica se distingue de laespiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan enprogresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.[7]
El términoespiral logarítmica se debe aPierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada porDescartes yTorricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamóSpira mirabilis, «la espiral maravillosa». Impresionado por sus propiedades, pidió que grabaran en su tumba, en Basilea, la espiral logarítmica con la máximaeadem mutata resurgo, pero, en su lugar, el tallista grabó (por desconocimiento o para ahorrarse trabajo) unaespiral de Arquímedes. D'Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratadoOn Growth and Form (1917).
Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte será restaurado a su ser perfecto y exacto.
En 1683, Bernoulli descubrió la constantee al estudiar una cuestión sobreinterés compuesto que le exigía hallar el valor de la siguiente expresión (que en realidad ese):[9][10]
Un ejemplo es una cuenta que comienza con $1.00 y paga el 100 porciento de interés anual. Si el interés es computado una vez, al final del año, el valor es $2.00; pero si el interés es calculado y agregado dos veces durante el año, el monto de $1 es multiplicado por 1.5 dos veces, resultando en un monto de $1.00×1.5² = $2.25. Si el interés se compone en trimestres se obtiene $1.00×1.254 = $2.4414..., y si se lo compone mensualmente el resultado es $1.00×(1.0833...)12 = $2.613035....
Bernoulli se dio cuenta de que la secuencia se aproxima a un límite (theforce of interest) para intervalos de composición cada vez más pequeños. La composición semanal resulta en $2.692597..., mientras que si se compone diariamente se obtiene $2.714567..., apenas dos centavos más. Llamandon el número de intervalos de composición, con un interés de 100% /n en cada intervalo, el límite para un valor den grande es el número deEuler posteriormente llamadoe; con interés compuestocontinuo, el valor resultante es $2.7182818.... En forma general, una cuenta que comienza con $1, y a la cual se le aplica uninterés compuesto de (1+R) dólares, resultará en la suma deeR dólares con una composición de interés continua.
Donde quizás la obra de Jakob Bernoulli es más original es en lateoría de la probabilidad, pudiendo ser considerado el fundador de la teoría matemática de la probabilidad,[11] por su libro inacabado Ars Conjectandi, que se publicó de forma póstuma en 1713 y que era el resultado de veinte años de investigación.[12] Mientras que los cálculos de probabilidad anteriores (dePascal,Fermat,Huygens y otros) no habían pasado de calcular probabilidades en losjuegos de azar, Jakob Bernoulli pretende calcular probabilidades en aquellos casos en los que es imposible enumerar todas las posibilidades.
Es decir: la probabilidad de que salga un número determinado al lanzar un dado es porque un dado tiene seis caras y una de ellas tiene que salir necesariamente. Pero para calcular la probabilidad de que una persona que hoy tiene ochenta años muera en los próximos diez años, no se puede usar el mismo procedimiento. Por eso invoca laley de los grandes números, que aparece en la cuarta y última parte del Ars Conjectandi.[13][14]
Las tres primeras partes del libro siguen la misma línea que los trabajos anteriores; especialmente la primera, que es casi una reedición del libro de Huygens de 1657. No obstante, hay dos aspectos originales que vale la pena resaltar. Primero: la generalización de las ideas de Pascal sobre la división de las particiones en un juego interrumpido. Segundo: la utilización deltriángulo de Pascal para obtener la suma de las potencias sucesivas, lo que lo conduce a lo que hoy denominamosnúmeros de Bernoulli[15] y a otras series como lospolinomios de Bernoulli.[16]
La cuarta parte del libro se titula Sobre el uso y aplicaciones de la Doctrina en la Política, la Ética y la Economía y representa un salto cualitativo en el concepto de probabilidad, aunque Jakob no analiza de hecho ninguna aplicación práctica.[17] Por este motivo, la originalidad del libro ha sido cuestionada por algunos estudiosos que no ven mucha diferencia con los trabajos deHuygens.[18]
↑Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algunas cuestiones sobre el interés, con la solución de un problema sobre los juegos de azar, propuestas en elJournal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), en el año (anno) 1685.**),Acta eruditorum, pp. 219-23.En la p. 222, Bernoulli plantea la cuestión:"Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este es un problema de otro tipo: La pregunta es, si algún prestamista invirtiera [una] suma de dinero [a] interés, la dejara acumularse, de modo que [en] cada momento [recibiera] una parte proporcional de [su] interés anual; ¿cuánto se le debería [al] final [del] año?"). Bernoulli desarrolla una serie de potencias para calcular la respuesta, y escribe:" … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … sia=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … nuestra serie [una serie geométrica] es mayor [que]. … sia=b, [el prestamista] recibirá más del 2½a y menos que 3a.) Sia=b, la serie geométrica se reduce a la serie paraa ×e, por lo cual 2.5 <e < 3. (** La referencia es a un problema planteado por Jacob Bernoulli y que está publicado en elJournal des Sçavans de 1685 al pie de lafr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN página 314.)
↑J J O'Connor; E F Robertson.«The number e». St Andrews University. Consultado el 2 de noviembre de 2016.
