Enmatemáticas, elgrupo unitarioU_K(n) de gradon, es elgrupo dematrices unitarias (den xn) cuyas componentes pertenecen alcuerpo${\displaystyle \mathbb{K}}$. Estas matrices, con la operación de grupo dada por lamultiplicación de matrices. (Usualmente el cuerpo${\displaystyle \mathbb{K}}$ se toma como el conjunto de los reales${\displaystyle \mathbb{R}}$ o el cuerpo de los números complejos${\displaystyle \mathbb{C}}$.)

El grupo unitario, denotadoU_{${\displaystyle \mathbb{K}}$} oU(n,${\displaystyle \mathbb{K}}$), es unsubgrupo delgrupo general linealGL(n,${\displaystyle \mathbb{K}}$)

En el caso simplen = 1, el grupoU(1) es elcírculo unidad en elplano complejo, con su multiplicación. Todos los grupos unitarios complejos contienen copias de este grupo.

Si el cuerpo${\displaystyle \mathbb{K}}$ es${\displaystyle \mathbb{R}}$, losnúmeros reales, entonces el grupo unitario coincide con elgrupo ortogonalO(n,${\displaystyle \mathbb{R}}$). Si${\displaystyle \mathbb{K}}$ es${\displaystyle \mathbb{C}}$, los números complejos, se escribe generalmenteU(n) para el grupo unitario de gradon.

El grupo unitarioU(n) es ungrupo de Liereal de dimensiónn². Elálgebra de Lie deU(n) consiste en las matricesanti-simétricas complejasn porn, con el corchete de Lie dado por elconmutador.

• Elgrupo especial unitario SU(n) es un subgrupo de U(n).
• U(m), conm <n es un subgrupo de U(n).

El concepto de grupo unitario puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita, como losespacios de Hilbert usados enmecánica cuántica. Dado un operador autoadjunto${\displaystyle \hat{A}}$, como el que representa unamagnitud física puede definirse un grupo de operadores unitarios mediante:

${\displaystyle {\hat{U}}_A(s)=\text{exp}\left(-\mathrm{i}\hat{A}s\right)s\in \mathbb{R}}$

Los dos ejemplos más notorios son el grupo unitario de evolución temporal, generado a partir deloperador hamiltoniano y el grupo de rotaciones alrededor de un eje, generado por elmomento angular:

${\displaystyle \hat{U}(t)=\text{exp}\left(-\mathrm{i}\hat{H}t/\hslash \right)}$

${\displaystyle \hat{R}(\theta )=\text{exp}\left(-\mathrm{i}{\hat{L}}_{eje}/\hslash \right)\theta \in [0,2\pi )}$

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