Enmatemáticas yálgebra abstracta, ungrupo finito es ungrupo cuyoconjunto fundamentalG tiene un número de elementosfinito. Durante el siglo XX, los matemáticos han investigado ciertos aspectos de la teoría de grupos finitos en gran profundidad, especialmente lateoría local de grupos finitos, y la teoría degrupos resolubles ygrupos nilpotentes. Una completa determinación de la estructura de todos los grupos finitos es demasiado ambiciosa; el número de posibles estructuras pronto se convierte en abrumadora. Sin embargo, laclasificación completa de grupos finitos simples se ha podido conseguir, lo que significa que los «bloques de construcción» con los cuales todos los grupos finitos pueden ser construidos se conoce ahora, ya que cada grupo finito tiene unaserie de composición.
Durante la mitad del siglo XX, matemáticos tales comoClaude Chevalley yRobert Steinberg también incrementaron el entendimiento de los análogos finitos de losgrupos clásicos, y otros grupos relacionados. Una de estas familias de grupos es la familia de losgrupos generales lineales sobrecuerpos finitos. Los grupos finitos también surgen cuando se considera lasimetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de losgrupos de Lie,que puede ser vista como un trato con la «simetría continua», está fuertemente influenciada por losgrupos de Weil asociados. Hay grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre unespacio euclídeo de dimensión finita. Las propiedades de los grupos finitos pueden así desempeñar un papel importante en áreas como lafísica teórica yquímica.
El grupo simétricoSN describe todas laspermutaciones deN elementos. HayN! permutaciones posibles que dan el orden del grupo. Por elteorema de Cayley, cualquier grupo finito puede ser expresado como un subgrupo de ungrupo simétrico para un determinado enteroN. Elgrupo alternante es el subgrupo correspondiente únicamente de las permutaciones pares.
Ungrupo cíclico ZN es un grupo en la que todos sus elementos son potencias de un determinado elementoa dondeaN=a0=e, el elemento identidad. Un ejemplo típico de este grupo son lasN-ésimas raíces de la unidad complejas. Relacionandoa a unaraíz primitiva de la unidad se obtiene unisomorfismo entre las dos. Esto puede ser realizado con cualquier grupo cíclico finito.[1]
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