Lagravedad es unfenómeno natural por el cual los objetos ycampos de materia dotados demasa oenergía son atraídos entre sí, efecto mayormente observable en la interacción entre losplanetas,galaxias y demás objetos deluniverso. Es una distorsión delespacio-tiempo y es una de las cuatrointeracciones fundamentales que origina la fuerza que experimenta un cuerpo físico en las cercanías de unobjeto astronómico y la primera de estas en ser estudiada. También se denominainteracción gravitatoria ogravitación. Históricamente se la ha llamado tambiénfuerza de gravedad.
Si un cuerpo está situado en las proximidades de un planeta, un observador a una distancia fija del planeta medirá una aceleración del cuerpo dirigida hacia la zona central de dicho planeta, si tal cuerpo no está sometido al efecto de otrasfuerzas. LaOficina Internacional de Pesas y Medidas estableció en 1901 unagravedad estándar para la superficie de la Tierra, acorde alSistema Internacional, con un valor fijo de 9,80665 m/s².[3]
La gravedad es una de las cuatrointeracciones fundamentales observadas en la naturaleza. Origina los movimientos a gran escala que se observan en eluniverso: laórbita de laLuna alrededor de laTierra, las órbitas de losplanetas alrededor delSol, etcétera. A escala cosmológica parece ser la interacción dominante, pues gobierna la mayor parte de los fenómenos a gran escala (las otras tres interacciones fundamentales son predominantes a escalas más pequeñas). Elelectromagnetismo explica el resto de losfenómenos macroscópicos, mientras que lainteracción fuerte y lainteracción débil son importantes solo aescala subatómica.
El término «gravedad» se utiliza para designar la intensidad del fenómeno gravitatorio en la superficie de los planetas o satélites.Isaac Newton fue el primero en exponer que es de la misma naturaleza la fuerza que hace que los objetos caigan con aceleración constante en la Tierra (gravedad terrestre) y la fuerza que mantiene en movimiento los planetas y lasestrellas. Esta idea le llevó a formular la primera teoría general de la gravitación, la universalidad del fenómeno, expuesta en su obraPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Einstein, en lateoría de la relatividad general hace un análisis diferente de la interacción gravitatoria. De acuerdo con esta teoría, la gravedad puede entenderse como un efecto geométrico de la materia sobre elespacio-tiempo. Cuando cierta cantidad de materia ocupa una región del espacio-tiempo, provoca que este se deforme, de este modo la deformación de este es como si el mismoespacio-tiempo se comprimiera en dirección al centro de masa de un objeto. Visto así, la fuerza gravitatoria deja de ser una «misteriosa fuerza que atrae», y se convierte en el efecto que produce la deformación del espacio-tiempo —degeometría no euclídea— sobre el movimiento de los cuerpos. Según esta teoría, dado que todos los objetos se mueven en el espacio-tiempo, al deformarse este, la trayectoria de aquellos será desviada produciendo su aceleración.
Actualmente, los científicos continúan trabajando en una nueva teoría degravedad cuántica que describa unificadamente y de manera consistente los fenómenos gravitatorios y cuánticos. Se requiere una teoría que unifique los dos tipos de fenómenos para poder entender los primeros instantes delBig Bang o lassingularidades gravitatorias en el interior de losagujeros negros.
En laFísica afirma el antiguo filósofo griegoAristóteles que los objetos caen con una velocidad proporcional a su peso e inversamente proporcional a la densidad del fluido en el que están sumergidos.[4] Esta es una aproximación correcta para los objetos en el campo gravitatorio de la Tierra que se mueven en el aire o el agua (véase:Física aristotélica).[5]
ElperipatéticoEstratón de Lámpsaco (c. 335 – c. 269 a. C.) rechazó la creencia aristotélica de los "lugares naturales" a cambio de una visiónmecánica en la que los objetos no gananpeso al caer, argumentando en cambio que el mayor impacto se debía a un aumento de velocidad.[6][7]Epicuro (c. 341 – 270 a. C.) consideraba el peso como una propiedad inherente de losátomos que influye en su movimiento.[8]
Arquímedes descubrió elcentro de gravedad de un triángulo.[12] También postuló que si dos pesos iguales no tenían el mismo centro de gravedad, el centro de gravedad de los dos pesos juntos estaría en el medio de la línea que une sus centros de gravedad.[13] EnSobre los cuerpos flotantes , Arquímedes afirmó que para cualquier objeto sumergido en un fluido existe una fuerza de flotación hacia arriba equivalente al peso del fluido desplazado por el volumen del objeto. Los fluidos descritos por Arquímedes no son autogravitantes, ya que supone que "cualquier fluido en reposo es la superficie de una esfera cuyo centro es el mismo que el de la Tierra" (verPrincipio de Arquímedes).[14][15]
El filósofo griegoPlutarco (c. 46 – 120 d. C.) sugirió que la atracción gravitacional no era exclusiva de la Tierra.[16]
El ingeniero y arquitecto romanoVitruvio (c. 80 / 70 a. C.-15 a. C.) sostuvo en suDe architectura que la gravedad no depende del peso de una sustancia sino de su 'naturaleza' (cf.gravedad específica).[17]
En el siglo VI d. C., el eruditobizantinoalejandrinoJuan Filópono (c. 490 – c. 570) declaró en su comentario sobre laFísica de Aristóteles que “Si uno deja caer simultáneamente desde la misma altura dos cuerpos que difieren mucho en peso, encontrará que la razón de los tiempos de su movimiento no corresponde a la razón de sus pesos, pero la diferencia en el tiempo es muy pequeña". Propuso lateoría del ímpetu, que modifica la teoría de Aristóteles de que "la continuación del movimiento depende de la acción continua de una fuerza" al incorporar una fuerza causal que disminuye con el tiempo.[18]
Los trabajos modernos sobre la teoría gravitacional comenzaron con el trabajo deGalileo Galilei a finales del siglo XVI y principios delXVII. En su famoso (aunque posiblementeapócrifo[19]) experimento dejando caer bolas desde laTorre de Pisa, y más tarde con cuidadosas mediciones de bolas rodando por unplano inclinado, Galileo demostró que la aceleración gravitatoria es la misma para todos los objetos. Esto supuso un gran cambio respecto a la creencia deAristóteles de que los objetos más pesados tienen una mayor aceleración gravitatoria.[20] Galileo postuló laresistencia del aire como la razón por la que los objetos con baja densidad y unasuperficie elevada caen más lentamente en una atmósfera. El trabajo de Galileo sentó las bases para la formulación de la teoría de la gravedad de Newton.[21] Galileo tomó de loscalculadores de Merton College y deDomingo de Soto la noción de que el movimiento en caída libre de un objeto sin efectos aerodinámicos importantes, siguen unmovimiento uniformemente acelerado, ya que él mismo explica que eso era enseñado por "los doctores de París" a principio del siglo XVI.
En 1687, el matemático inglés SirIsaac Newton publicóPrincipia, que plantea la hipótesis de laley de la inversa del cuadrado de la gravitación universal. En sus propias palabras,deduje que las fuerzas que mantienen a los planetas en sus orbes deben [ser] recíprocamente como los cuadrados de sus distancias desde los centros alrededor de los cuales giran: y así comparé la fuerza requerida para mantener a la Luna en su Orbe con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra; y encontré que responden de manera bastante cercana.[22] La cita procede de un memorándum que se cree que fue escrito hacia 1714. Ya en 1645Ismaël Bullialdus había argumentado que cualquier fuerza ejercida por el Sol sobre objetos distantes tendría que seguir una ley inversa al cuadrado. Sin embargo, también descartó la idea de que tal fuerza existiera. Véase, por ejemplo,[23] La ecuación es la siguiente:
DondeF es la fuerza,m1 ym2 son las masas de los objetos que interactúan,r es la distancia entre los centros de las masas yG es laconstante gravitatoria.
La teoría de Newton tuvo su mayor éxito cuando se utilizó para predecir la existencia deNeptuno basándose en los movimientos deUrano que no podían ser explicados por las acciones de los otros planetas. Los cálculos deJohn Couch Adams yUrbain Le Verrier predijeron la posición general del planeta, y los cálculos de Le Verrier son los que llevaron aJohann Gottfried Galle al descubrimiento de Neptuno.
Una discrepancia en la órbita deMercurio puso de manifiesto los fallos de la teoría de Newton. A finales del siglo XIX, se sabía que su órbita mostraba ligeras perturbaciones que no podían explicarse por completo con la teoría de Newton, pero todas las búsquedas de otro cuerpo perturbador (como un planeta que orbitara alrededor del Sol aún más cerca que Mercurio) habían sido infructuosas. La cuestión se resolvió en 1915 con la nueva teoría de larelatividad general deAlbert Einstein, que explicaba la pequeña discrepancia en la órbita de Mercurio. Esta discrepancia era el avance en elperihelio de Mercurio de 42,98 segundos de arco por siglo.[24]
Aunque la teoría de Newton ha sido superada por la relatividad general de Albert Einstein, la mayoría de los cálculos gravitacionales modernos de lano relativista se siguen haciendo con la teoría de Newton porque es más sencilla de trabajar y da resultados suficientemente precisos para la mayoría de las aplicaciones que implican masas, velocidades y energías suficientemente pequeñas.
Elprincipio de equivalencia, explorado por una sucesión de investigadores, entre ellos Galileo,Loránd Eötvös y Einstein, expresa la idea de que todos los objetos caen de la misma manera, y que los efectos de la gravedad son indistintos de ciertos aspectos de la aceleración y la desaceleración. La forma más sencilla de comprobar el principio de equivalencia débil es dejar caer dos objetos de masas o composiciones diferentes en el vacío y ver si caen al suelo al mismo tiempo. Estos experimentos demuestran que todos los objetos caen a la misma velocidad cuando otras fuerzas (como la resistencia del aire y los efectos electromagnéticos) son despreciables. Las pruebas más sofisticadas utilizan una balanza de torsión del tipo inventado por Eötvös. Para realizar experimentos más precisos en el espacio se han previsto experimentos por satélite, por ejemploSTEP.[25]
Las formulaciones del principio de equivalencia incluyen:
El principio de equivalencia débil:La trayectoria de una masa puntual en uncampo gravitatorio sólo depende de su posición y velocidad iniciales, y es independiente de su composición.[26]
El principio de equivalencia einsteiniano:El resultado de cualquier experimento local no gravitacional en un laboratorio que cae libremente es independiente de la velocidad del laboratorio y de su ubicación en el espaciotiempo.[27]
El principio de equivalencia fuerte que requiere ambas cosas.
Mecánica clásica: ley de la gravitación universal de Isaac Newton
Fuerzas mutuas de atracción entre dos esferas de diferente tamaño. De acuerdo con la mecánica newtoniana las dos fuerzas son iguales en módulo, pero de sentido contrario; al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posición delcentro de gravedad conjunto de ambas esferas.
En la teoría newtoniana de la gravitación, los efectos de la gravedad son siempre atractivos, y la fuerza resultante se calcula respecto delcentro de gravedad de ambos objetos (en el caso de la Tierra, el centro de gravedad es su centro de masas, al igual que en la mayoría de los cuerpos celestes de características homogéneas). La gravedad newtoniana tiene un alcance teórico infinito; la fuerza es mayor si los objetos están próximos pero a mayor distancia dicha fuerza pierde intensidad. Además Newton postuló que la gravedad es unaacción a distancia (y por tanto a nivel relativista no es una descripción correcta, sino solo una primera aproximación para cuerpos en movimiento muy lento comparado con lavelocidad de la luz).
La ley de la gravitación universal formulada por Isaac Newton postula que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa sobre otra con masa es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que las separa:
donde es elvector unitario que dirigido de la partícula 1 a la 2, esto es, en la dirección del vector, y es laconstante de gravitación universal, siendo su valor aproximadamente 6,674 × 10−11N·m²/kg².
Por ejemplo, usando la ley de la gravitación universal, podemos calcular la fuerza de atracción entre la Tierra y un cuerpo de 50 kg. La masa de la Tierra es 5,974 × 1024 kg y la distancia entre el centro de gravedad de la Tierra (centro de la tierra) y el centro de gravedad del cuerpo es 6378,14 km (igual a6 378 140 m, y suponiendo que el cuerpo se encuentre sobre lalínea del ecuador). Entonces, la fuerza es:
Dentro de estaley empírica, tenemos estas importantes conclusiones:
Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas. El hecho de que los planetas describan unaórbita cerrada alrededor del Sol indica este hecho. Una fuerza atractiva puede producir también órbitas abiertas, pero una fuerza repulsiva nunca podrá producir órbitas cerradas.
Tienen alcance infinito. Dos cuerpos, por muy alejados que se encuentren, experimentan esta fuerza.
La fuerza asociada con la interacción gravitatoria es central.
A mayor distancia menor fuerza de atracción, y a menor distancia mayor la fuerza de atracción.
A pesar de los siglos, hoy sigue utilizándose cotidianamente esta ley en el ámbito del movimiento de cuerpos incluso a la escala del sistema solar, aunque esté desfasada teóricamente. Para estudiar el fenómeno en su completitud hay que recurrir a la teoría de laRelatividad General.
Dos cuerpos orbitando alrededor de sucentro de masas en órbitas elípticas
La ley de Newton aplicada a un sistema de dos partículas o dos cuerpos, cuyas dimensiones físicas son pequeñas comparadas con las distancias entre ellos, lleva a que ambos cuerpos describirán unacurva cónica (elipse, parábola o hipérbola) respecto a un sistema de referencia inercial con origen en el centro de masa del sistema, que además coincidirá con uno de los focos de la cónica. Si la energía total del sistema (energía potencial más energía cinética de los cuerpos) es negativa, entonces las curvas cónicas que dan la trayectoria de ambos cuerpos serán elipses. Ese resultado fue la primera deducción teórica de que los planetas reales se mueven en trayectorias que con bastante aproximación, son elipses, y permitió explicar diversas observaciones empíricas resumidas en lasleyes de Kepler.
De acuerdo con la descripción newtoniana, cuando se mueven tres cuerpos bajo la acción de su campo gravitatorio mutuo, como el sistema Sol-Tierra-Luna, la fuerza sobre cada cuerpo es justamente la suma vectorial de las fuerzas gravitatorias ejercidas por los otros dos. Así lasecuaciones de movimiento son fáciles de escribir pero difíciles de resolver ya que no sonlineales. De hecho, es bien conocido que la dinámica del problema de los tres cuerpos de la mecánica clásica es unadinámica caótica.
Desde la época de Newton se ha intentado hallar soluciones matemáticamente exactas del problema de los tres cuerpos, hasta que a finales del siglo XIXHenri Poincaré demostró en un célebre trabajo que era imposible una solución general analítica (sin embargo, se mostró también que por medio de series infinitas convergentes se podía solucionar el problema). Solamente en algunas circunstancias son posibles ciertas soluciones sencillas. Por ejemplo, si la masa de uno de los tres cuerpos es mucho menor que la de los otros dos (problema conocido comoproblema restringido de los tres cuerpos), el sistema puede ser reducido a un problema de dos cuerpos más otro problema de un solo cuerpo.
Mecánica relativista: teoría general de la relatividad
Representación esquemática bidimensional de la deformación del espacio-tiempo en el entorno de la TierraUna representación del paraboloide de Flamm, cuya curvatura geométrica coincide con la delplano de la eclíptica o ecuatorial de una estrellaesféricamente simétrica.
Albert Einstein revisó la teoría newtoniana en su teoría de larelatividad general, describiendo la interacción gravitatoria como una deformación de la geometría delespacio-tiempo por efecto de la masa de los cuerpos; el espacio y el tiempo asumen un papel dinámico.
Según Einstein, no existe el empuje gravitatorio; dicha fuerza es una ilusión, un efecto de lageometría. Así, la Tierra deforma el espacio-tiempo de nuestro entorno, de manera que el propio espacio nos empuja hacia el suelo. Una hormiga, al caminar sobre un papel arrugado, tendrá la sensación de que hay fuerzas misteriosas que la empujan hacia diferentes direcciones, pero lo único que existe son pliegues en el papel, su geometría.
La gravedad convencional de acuerdo con la teoría de la relatividad tiene generalmente características atractivas, mientras que la denominadaenergía oscura parece tener características de fuerza gravitacional repulsiva, causando la aceleradaexpansión del universo.
En presencia de una masa esférica, el espacio-tiempo no es plano sino curvo, y eltensor métricog que sirve para calcular las distancias viene dado en coordenadas usuales, llamadamétrica de Schwarzschild:
dondeG es laconstante de gravitación universal,M es la masa de la estrella, yc es lavelocidad de la luz. La ecuación de lasgeodésicas dará la ecuación de las trayectorias en el espacio-tiempo curvo. Si se considera una partícula en reposo respecto a la masa gravitatoria que crea el campo, se tiene que esta seguirá una trayectoria dada por las ecuaciones:
La primera de estas ecuaciones da el cambio de la coordenada radial, y la segunda da ladilatación del tiempo respecto a un observador inercial, situado a una distancia muy grande respecto a la masa que crea el campo. Si se particularizan esas ecuaciones para el instante inicial en que la partícula está en reposo y empieza a moverse desde la posición inicial, se llega a que la fuerza aparente que mediría un observador en reposo viene dada por:
Esta expresión coincide con la expresión de la teoría newtoniana si se tiene en cuenta que ladilatación del tiempo gravitatoria para un observador dentro de un campo gravitatorio y en reposo respecto a la fuente del campo viene dado por:
Además, la relatividad general predice la propagación deondas gravitatorias. Estas ondas solo podrían ser medibles si las originan fenómenos astrofísicos violentos, como el choque de dos estrellas masivas o remanentes delBig Bang. Estudios preliminares sugieren que estas ondas han sido finalmente detectadas[28] de forma indirecta en la variación del periodo de rotación depúlsares dobles, y según el proyecto LIGO, también se detectaron provenientes de la unión de dos agujeros negros.[29] Por otro lado, las teorías cuánticas actuales apuntan a una "unidad de medida de la gravedad", elgravitón, comopartícula que provoca dicha "fuerza", es decir, como partícula asociada al campo gravitatorio.
Con la ayuda de esta nueva teoría, se pueden observar y estudiar una nueva serie de sucesos antes no explicables o no observados:
Desviación gravitatoria de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: la frecuencia de la luz decrece al pasar por una región de elevada gravedad. Confirmado por elexperimento de Pound y Rebka (1959).
Dilatación gravitatoria del tiempo: los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atómicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en órbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPS por sus siglas en inglés). También, aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequeños, las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general.
Efecto Shapiro (dilatación gravitatoria de desfases temporales): diferentes señales atravesando un campo gravitatorio intenso necesitan mayor tiempo para hacerlo.
Decaimiento orbital debido a la emisión deradiación gravitatoria. Observado en púlsares binarios.
Precesión geodésica: debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación de un giroscopio en rotación cambiará con el tiempo. Esto está siendo puesto a prueba por el satéliteGravity Probe B.
Mecánica cuántica: búsqueda de una teoría unificada
Aunque aún no se dispone de una auténtica descripción cuántica de la gravedad, todos los intentos por crear una teoría física que satisfaga simultáneamente los principios cuánticos y a grandes escalas coincida con la teoría de Einstein de la gravitación, han encontrado grandes dificultades. En la actualidad existen algunos enfoques prometedores como lagravedad cuántica de bucles, lateoría de supercuerdas o lateoría de twistores, pero ninguno de ellos es un modelo completo que pueda suministrar predicciones suficientemente precisas. Además se han ensayado un buen número de aproximaciones semiclásicas que han sugerido nuevos efectos que debería predecir una teoría cuántica de la gravedad. Por ejemplo,Stephen Hawking usando uno de estos últimos enfoques sugirió que un agujero negro debería emitir cierta cantidad de radiación, efecto que se llamóradiación de Hawking y que aún no ha sido verificado empíricamente.
Las razones de las dificultades de una teoría unificada son varias. La mayor de ellas es que en el resto deteorías cuánticas de campos la estructura del espacio-tiempo es fija totalmente independiente de la materia, pero en cambio, en una teoría cuántica de la gravedad el propio espacio-tiempo debe estar sujeto a principios probabilistas, pero no sabemos como describir unespacio de Hilbert para los diversos estados cuánticos del propio espacio-tiempo. Así La unificación de la fuerza gravitatoria con las otras fuerzas fundamentales sigue resistiéndose a los físicos. La aparición en el Universo demateria oscura o una aceleración de la expansión del Universo hace pensar que todavía falta una teoría satisfactoria de las interacciones gravitatorias completas de las partículas con masa.
Otro punto difícil, es que de acuerdo con los principios cuánticos, el campo gravitatorio debería manifestarse en«cuantos» o partículasbosónicas transmisoras de la influencia gravitatoria. Dadas las características del campo gravitatorio, la supuesta partícula que transmitiría la interacción gravitatoria, llamada provisionalmentegravitón, debería ser una partícula sin masa (o con una masa extremadamente pequeña) y un espín de. Sin embargo, los experimentos de detección de ondas gravitatorias todavía no han encontrado evidencia de la existencia del gravitón, por lo que de momento no es más que una conjetura física que podría no corresponderse con la realidad.
La interacción gravitatoria como fuerza fundamental
Cuadro que explica las interacciones fundamentales.
La interacción gravitatoria es una de las cuatrofuerzas fundamentales de la Naturaleza, junto alelectromagnetismo, lainteracción nuclear fuerte y lainteracción nuclear débil. A diferencia de las fuerzas nucleares y a semejanza del electromagnetismo, actúa a grandes distancias. Sin embargo, al contrario que el electromagnetismo, la gravedad es una fuerza de tipo atractiva aunque existen casos particulares en que las geodésicas temporales pueden expandirse en ciertas regiones del espacio-tiempo, lo cual hace aparecer a la gravedad como una fuerza repulsiva, por ejemplo laenergía oscura. Este es el motivo de que la gravedad sea la fuerza más importante a la hora de explicar los movimientos celestes.
↑Nordtvedt, K. L. , Faller, . James E. and Cook, . Alan H. (19 de julio de 2024).«Gravity | Definition, Physics, & Facts | Britannica». «The works of Isaac Newton and Albert Einstein dominate the development of gravitational theory. [...] Thus, Aristotle considered that each heavenly body followed a particular “natural” motion, unaffected by external causes or agents.»
↑IAA: Información y Actualidad Astronómica. Anónimo. (7 de julio de 2015).«Un deseo llamado gravedad cuántica». «Por tanto, se puede decir que la física contemporánea imagina el mundo como un serie de campos en interacción donde uno de ellos, el gravitatorio, desempeña el papel especial de contenedor o soporte del resto. Hasta aquí todo maravilloso, el problema es que el campo gravitatorio de la relatividad general no es cuántico y el resto sí.»
↑Carrier, Richard (1 de diciembre de 2017).The Scientist in the Early Roman Empire(en inglés). Pitchstone Publishing (US&CA). p. 333.ISBN978-1-63431-107-6. «For example, in his lost books On Lightness and Heaviness and On Motion, Strato abandoned the doctrine of 'natural places' in exchange for a more mechanical view of why some objects rise and others fall».
↑Fortenbaugh, William (2017).Strato of Lampsacus: Text, Translation and Discussion(en inglés). Routledge.ISBN978-1-351-48792-4. «If someone drops a rock [from] a finger's height above the ground, it certainly won't make a visible impact on the ground, but if someone drops it holding it a hundred feet or more, it will have a strong impact. And there is no other reason for that impact. Because it does not have greater weight, nor is it impelled by greater force; but it moves faster.»
↑Vitruvius, Marcus Pollio (1914).7. En Alfred A. Howard, ed. «De Architectura libri decem».VII (Harvard University, Cambridge: Harvard University Press). p. 215.
↑Galileo (1638),Dos ciencias nuevas, Primer día habla Salviati:Si esto fuera lo que Aristóteles quiso decir, le cargaríais con otro error que equivaldría a una falsedad; porque, al no existir en la tierra una altura tan grande, es evidente que Aristóteles no podría haber hecho el experimento; sin embargo, quiere darnos la impresión de que lo ha realizado cuando habla de tal efecto como uno que vemos.
↑Haugen, Mark P.; C. Lämmerzahl (2001). «Principios de Equivalencia: Su papel en la física de la gravitación y los experimentos que los ponen a prueba».Gyros. Lecture Notes in Physics562 (562,Giroscopios, relojes e interferómetros...: Probando la gravedad relativista en el espacio.). pp. 195-212.Bibcode:2001LNP...562..195H.S2CID15430387.arXiv:gr-qc/0103067.doi:10.1007/3-540-40988-2_10.
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