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Forma cuadrática

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Unaforma cuadrática oforma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elementox{\displaystyle x} de unespacio vectorial un elemento del cuerpo sobre el que está construido el espacio vectorial, de una manera que generaliza la operaciónax2{\displaystyle ax^{2}} un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

Definición formal

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Unaforma cuadrática es unaaplicaciónω{\displaystyle \omega \,} delespacio vectorialE{\displaystyle E} en elcuerpoK{\displaystyle \mathbb {K} }, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe unaforma bilineal simétricaf(⋅,⋅){\displaystyle f(\cdot ,\cdot )} deE×E{\displaystyle E\times E} en el cuerpoK{\displaystyle \mathbb {K} } tal queω(x)=f(x,x){\displaystyle \omega (x)=f(x,x)}. Af(⋅,⋅){\displaystyle f(\cdot ,\cdot )} se le llama forma polar deω{\displaystyle \omega }.
b)ω(lx)=l2ω(x){\displaystyle \omega (lx)=l^{2}\omega (x)},∀l∈K,∀x∈E{\displaystyle \forall l\in K,\forall x\in E}. Ademásf(x,y)=ω(x+y)−ω(x)−ω(y)2{\displaystyle f(x,y)={\frac {\omega (x+y)-\omega (x)-\omega (y)}{2}}} es una forma bilineal simétrica definida enE×E{\displaystyle E\times E} y con valores enK{\displaystyle \mathbb {K} }. Aω{\displaystyle \omega } se le llama forma cuadrática asociada af(⋅,⋅){\displaystyle f(\cdot ,\cdot )}.

Prefijada unabaseu=(u1,…,un){\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{n})} del espacioE{\displaystyle E}, una forma cuadrática es por tanto una aplicación de la formaf(x,x)=XTB X{\displaystyle f(x,x)=X^{\mathsf {T}}\,B\ X}, dondeX{\displaystyle X} son las coordenadas dex{\displaystyle x} en baseu{\displaystyle u} yB{\displaystyle B} es una matriz (lamatriz def{\displaystyle f}en baseu{\displaystyle u}) que tiene la forma siguiente (ω{\displaystyle \omega } es la forma bilineal simétrica asociada af{\displaystyle f}):

(ω(u1,u1)ω(u1,u2)⋯ω(u1,un)ω(u2,u1)ω(u2,u2)⋯ω(u2,un)⋮⋮⋱⋮ω(un,u1)ω(un,u2)…ω(un,un)){\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega (u_{1},u_{1})&&\omega (u_{1},u_{2})&&\cdots &&\omega (u_{1},u_{n})\\\omega (u_{2},u_{1})&&\omega (u_{2},u_{2})&&\cdots &&\omega (u_{2},u_{n})\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots \\\omega (u_{n},u_{1})&&\omega (u_{n},u_{2})&&\dots &&\omega (u_{n},u_{n})\end{pmatrix}}}

Se suele escribirB=:Mu(f){\displaystyle B=:M_{u}(f)}.

Habitualmente también se representan mediante unpolinomio desegundo grado con varias variables (tantas como la dimensión del espacio vectorial), que se obtiene desarrollando el productof(x,x)=XTB X{\displaystyle f(x,x)=X^{\mathsf {T}}\,B\ X} (habiendo fijado previamente una base).

Es decir, fijada una base, hay una biyección entre formas cuadráticas deE{\displaystyle E} condim⁡E=n{\displaystyle \dim E=n}, matrices simétricasn×n{\displaystyle n\times n} y polinomios de segundo grado enn{\displaystyle n} variables.

Equivalencia entre formas cuadráticas y formas bilineales simétricas

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Es evidente que tanto las formas cuadráticas como las formas bilineales simétricas definen sendos espacios vectoriales (son estables bajocombinaciones lineales con elementos del cuerpo).Para ver la equivalencia entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas, basta encontrar una biyección entre estos dos espacios vectoriales, que no es sino el contenido del apartado b) de la sección anterior.Sin embargo, no han de confundirse: las formas bilineales son aplicaciones deE×E→K{\displaystyle E\times E\to \mathbb {K} } mientras que las formas cuadráticas son aplicaciones deE→K{\displaystyle E\to \mathbb {K} } .

Equivalencia de formas cuadráticas

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Se dice que dos formas cuadráticasqφ,qψ{\displaystyle q_{\varphi },q_{\psi }} (con formas bilineales asociadasφ,ψ{\displaystyle \varphi ,\psi }, respectivamente) sonequivalentes si existenbasese,u{\displaystyle e,u} delespacio vectorialE{\displaystyle E} tales queqφ,qψ{\displaystyle q_{\varphi },q_{\psi }} tienen la misma matriz, es decir,qφ∼qψ⇔∃u,e{\displaystyle q_{\varphi }\sim q_{\psi }\Leftrightarrow \exists u,e} bases deE{\displaystyle E} tales queMe(qφ)=Mu(qψ){\displaystyle M_{e}(q_{\varphi })=M_{u}(q_{\psi })}. Esto es claramente una relación de equivalencia y nos permitirá clasificar las formas cuadráticas. El resultado principal de esta sección es que toda forma cuadrática de un espacio vectorial sobre uncuerpo decaracterística distinta de 2 es equivalente a una forma con matriz diagonal.

Lo primero que necesitamos es ver cómo se comportan las matrices asociadas respecto delcambio de base. Sie,u{\displaystyle e,u} son dos bases deE{\displaystyle E},Mu,e{\displaystyle M_{u,e}} es la matriz del cambio deu{\displaystyle u} ae{\displaystyle e} (es decir, sus columnas son las componentes de los vectores deu{\displaystyle u} en basee{\displaystyle e}) yq{\displaystyle q} es una forma cuadrática, entoncesMu(q)=Mu,eTMe(q)Mu,e{\displaystyle M_{u}(q)=M_{u,e}^{\mathsf {T}}M_{e}(q)M_{u,e}}.

Demostración
Seax∈E{\displaystyle x\in E} y seanXe,Xu{\displaystyle X_{e},X_{u}} los vectores de sus coordenadas en basese,u{\displaystyle e,u}, respectivamente. Pero las coordenadas en basee{\displaystyle e} dex{\displaystyle x} vienen dadas por el vectorXe=Mu,eXu{\displaystyle X_{e}=M_{u,e}X_{u}}. Ahora,

q(x,x)=XeTMe(q)Xe=(Mu,eXu)TMe(q)(Mu,eXu)=XuT(Mu,eTMe(q)Mu,e)Xu{\displaystyle q(x,x)=X_{e}^{\mathsf {T}}M_{e}(q)X_{e}=(M_{u,e}X_{u})^{\mathsf {T}}M_{e}(q)(M_{u,e}X_{u})=X_{u}^{\mathsf {T}}(M_{u,e}^{\mathsf {T}}M_{e}(q)M_{u,e})X_{u}}

ComoMu(q){\displaystyle M_{u}(q)} es, por definición, la (única) matriz tal queq(x,x)=XuTMu(q)Xu{\displaystyle q(x,x)=X_{u}^{\mathsf {T}}M_{u}(q)X_{u}}, tenemos la relación que buscábamos.◻{\displaystyle \quad \square }

Veamos ahora el resultado principal: toda forma cuadráticaqφ{\displaystyle q_{\varphi }} de unespacio vectorial sobre uncuerpo decaracterística distinta de 2 es equivalente a una forma con matriz diagonal, es decir, hay una baseu{\displaystyle u} tal queφ(ui,uj)=0   ∀i≠j{\displaystyle \varphi (u_{i},u_{j})=0\ \ \ \forall i\neq j}. Esto quiere decir, además, que el polinomio asociado aqφ{\displaystyle q_{\varphi }} en baseu{\displaystyle u} es una suma de cuadrados:q(x)=a1x12+⋯+anxn2{\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+\dots +a_{n}x_{n}^{2}} ((x1,…,xn)T{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathsf {T}}} son las coordenadas dex{\displaystyle x} en baseu{\displaystyle u}). Tal base se suele denominarφ{\displaystyle \varphi }-ortogonal por analogía a cuandoφ{\displaystyle \varphi } es unproducto escalar.

Toda forma cuadráticaqφ{\displaystyle q_{\varphi }} de un espacio vectorial de característica distinta de dos admite una baseφ{\displaystyle \varphi }-ortogonal.
Seaqφ{\displaystyle q_{\varphi }} una forma cuadrática con forma bilineal simétrica asociadaφ{\displaystyle \varphi }. Hacemos la demostración por inducción sobre la dimensión del espacio vectorial,n=dim⁡E{\displaystyle n=\dim E}.

n=1{\displaystyle n=1}: En este caso, la matriz de la forma cuadrática es1×1{\displaystyle 1\times 1}, por lo que ya es diagonal, así que no hay nada que demostrar.

Supongamos el resultado cierto paran−1{\displaystyle n-1} y veámoslo paran>1{\displaystyle n>1}.

Siφ=0{\displaystyle \varphi =0}, entonces,Me(qφ)=0{\displaystyle M_{e}(q_{\varphi })=0} en cualquier base y, en particular, es diagonal.

Podemos suponer pues queφ≠0{\displaystyle \varphi \neq 0} y, en particular, queqφ≠0{\displaystyle q_{\varphi }\neq 0}. Por tanto, existe un vectoru1∈E{\displaystyle u_{1}\in E} tal queqφ(u1)≠0{\displaystyle q_{\varphi }(u_{1})\neq 0}. Además, la aplicaciónφ(u1,⋅):E→K{\displaystyle \varphi (u_{1},\cdot )\colon E\rightarrow \mathbb {K} } es no nula (es distinta de cero enu1{\displaystyle u_{1}}), lineal y su núcleoKer⁡(φ(u1,⋅)){\displaystyle \operatorname {Ker} (\varphi (u_{1},\cdot ))} tiene dimensiónn−dim⁡(Im⁡φ(u1,⋅))=n−1{\displaystyle n-\dim(\operatorname {Im} \varphi (u_{1},\cdot ))=n-1} por elteorema rango-nulidad.

Comou1∉Ker⁡(φ(u1,⋅)){\displaystyle u_{1}\not \in \operatorname {Ker} (\varphi (u_{1},\cdot ))}, tenemos que⟨u1⟩∩Ker⁡(φ(u1,⋅))={0}{\displaystyle \langle u_{1}\rangle \cap \operatorname {Ker} (\varphi (u_{1},\cdot ))=\{0\}}, por lo queE=⟨u1⟩⊕Ker⁡(φ(u1,⋅)){\displaystyle E=\langle u_{1}\rangle \oplus \operatorname {Ker} (\varphi (u_{1},\cdot ))} (están ensuma directa).

Seaψ{\displaystyle \psi } larestricción deφ{\displaystyle \varphi } aKer⁡(φ(u1,⋅)){\displaystyle \operatorname {Ker} (\varphi (u_{1},\cdot ))}. Como este último espacio tiene dimensiónn−1{\displaystyle n-1},ψ{\displaystyle \psi } tiene una baseψ{\displaystyle \psi }-ortogonal(u2,…,un){\displaystyle (u_{2},\dots ,u_{n})}.

Ahora, la base(u1,…,un){\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})} deE{\displaystyle E} esφ{\displaystyle \varphi }-ortogonal, pues la primera fila y la primera columna son nulas excepto en el elemento diagonal por definición deKer⁡(φ(u1,⋅)){\displaystyle \operatorname {Ker} (\varphi (u_{1},\cdot ))} y el resto por ser(u2,…,un){\displaystyle (u_{2},\dots ,u_{n})}ψ{\displaystyle \psi }-ortogonal.◻{\displaystyle \quad \square }

Clasificación en el caso complejo

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Supongamos a partir de ahora queK=C{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } y veamos qué más podemos deducir. Nuestro objetivo es describir exactamente las clases de equivalencia y dar un representante canónico de cada una. Es decir, queremos dar una lista de formas cuadráticas (o matrices simétricas, ya que están en biyección) tal que cualquier otra forma sea equivalente a una y sólo una de las formas de esa lista.

Ya hemos visto que toda forma es equivalente a una forma con matriz diagonal, pero vamos a demostrar más en el caso complejo: dada una formaqφ:E→C{\displaystyle q_{\varphi }\colon E\rightarrow \mathbb {C} }, existe una baseu=(u1,…,un){\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{n})} deE{\displaystyle E} tal que la matriz deqφ{\displaystyle q_{\varphi }} en baseu{\displaystyle u} es de la forma siguiente para un ciertor=0,…,n{\displaystyle r=0,\dots ,n}, conn=dim⁡E{\displaystyle n=\dim E}:

(1⋱r10⋱0){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\\&\ddots ^{r}\\&&1\\&&&0\\&&&&\ddots &\\&&&&&0\end{pmatrix}}}

Demostración
Seau=(u1,…,un){\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{n})} la base deE{\displaystyle E} en queqφ{\displaystyle q_{\varphi }} tiene matriz simétrica. Podemos suponer (reordenando la base) que los elementos nulos de la matriz están abajo. Es decir, queMu(qφ)=D(a1,…,ar,0,…,0),  ai≠0,i=1,…,r{\displaystyle M_{u}(q_{\varphi })=D(a_{1},\dots ,a_{r},0,\dots ,0),\ \ a_{i}\neq 0,i=1,\dots ,r}, conr=0,…,n{\displaystyle r=0,\dots ,n}.

Ahora, podemos definir la basev=(v1,…,vn)=(1a1u1,…,1arur,ur+1,…,un){\displaystyle v=(v_{1},\dots ,v_{n})=\left({\tfrac {1}{\sqrt {a_{1}}}}u_{1},\dots ,{\tfrac {1}{\sqrt {a_{r}}}}u_{r},u_{r+1},\dots ,u_{n}\right)}. Podemos tomar raíces sin preocuparnos por el signo porque el cuerpo esC{\displaystyle \mathbb {C} }. Es un cálculo sencillo comprobar que en la nueva base la matriz tiene la forma que queremos.◻{\displaystyle \quad \square }

Ahora afirmamos que toda forma cuadrática compleja es equivalente a una y sólo una forma cuadrática de la forma anterior, conr=0,…,n{\displaystyle r=0,\dots ,n}. En efecto, que es equivalente a una ya lo hemos demostrado; veamos que lo es a sólo una. Definimos el rango de una cuádricarg⁡(qφ){\displaystyle \operatorname {rg} (q_{\varphi })} como elrango de su matriz en una cierta base. Está bien definido porque su matriz en otra base se obtiene multiplicando la matriz en la base original por matrices de cambio de base (invertibles), por lo que su rango no cambia. Esto quiere decir queD(1,…r),1,0,…,0){\displaystyle D(1,{\overset {r)}{\dots }},1,0,\dots ,0)} yD(1,…s),1,0,…,0){\displaystyle D(1,{\overset {s)}{\dots }},1,0,\dots ,0)} no son equivalentes parar≠s{\displaystyle r\neq s} (pues tienen rangos distintos), de donde una forma cuadrática arbitrariaqφ{\displaystyle q_{\varphi }} sólo puede ser equivalente a una de las anteriores.

En conclusión, en un espacio de dimensiónn{\displaystyle n} hayn+1{\displaystyle n+1}clases de equivalencia de formas cuadráticas complejas; se puede tomar como representante canónico de cada clase la matriz diagonal conr{\displaystyle r} unos en la diagonal (r=0,…,n{\displaystyle r=0,\dots ,n}), y podemos saber a qué clase pertenece una forma cuadrática compleja dada simplemente mirando el rango de su matriz en cualquier base (este rango es el númeror{\displaystyle r} de unos en la diagonal del representante canónico de su clase).

Clasificación en el caso real

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En este último apartado suponemos queK=R{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } y queremos hacer lo mismo que hemos hecho para los complejos, es decir, encontrar una lista de formas cuadráticas reales tal que cualquier otra sea equivalente a una y sólo una de la lista.

Como antes, ya hemos visto que toda forma es equivalente a una forma con matriz diagonal. En el caso complejo podíamos transformar todos los elementos diagonales en 1 porque podíamos tomar raíces de los elementos diagonales fueran positivos o negativos (ver la demostración en el apartado anterior). Sin embargo, en el caso real esto último no lo podemos hacer para elementos negativos y veremos que lo máximo que podemos hacer es transformar los coeficientes negativos en -1 (y los positivos en 1, como en el caso complejo).

Es decir, afirmamos que dada una forma cuadráticaqφ:E→R{\displaystyle q_{\varphi }\colon E\rightarrow \mathbb {R} }, existe una baseu=(u1,…,un){\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{n})} deE{\displaystyle E} tal que la matriz deqφ{\displaystyle q_{\varphi }} en baseu{\displaystyle u} es de la forma siguiente para ciertosi+,i−=0,…,n,i++i−≤n{\displaystyle i_{+},i_{-}=0,\dots ,n,\quad i_{+}+i_{-}\leq n}:

(1⋱i+1−1⋱i−−10⋱0){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\\&\ddots ^{i_{+}}\\&&1\\&&&-1\\&&&&\ddots ^{i_{-}}&\\&&&&&-1\\&&&&&&0\\&&&&&&&\ddots \\&&&&&&&&0\end{pmatrix}}}

Demostración
SeaB=(u1,…,ui+,v1,…,vi−,w1,…,wi0){\displaystyle B=(u_{1},\dots ,u_{i_{+}},v_{1},\dots ,v_{i_{-}},w_{1},\dots ,w_{i_{0}})} la base deE{\displaystyle E} en queqφ{\displaystyle q_{\varphi }} tiene matriz simétrica. Podemos suponer (reordenando la base) que los elementos diagonales están colocados en la diagonal en el orden siguiente: primero los positivos, luego los negativos y luego los nulos (por eso la notación de los subíndices). Es decir, queMB(qφ)=D(a1,…,ai+,b1,…,bi−,0,…,0),  ai>0,i=1,…,i+,bi<0,i=1,…i−{\displaystyle M_{B}(q_{\varphi })=D(a_{1},\dots ,a_{i_{+}},b_{1},\dots ,b_{i_{-}},0,\dots ,0),\ \ a_{i}>0,i=1,\dots ,i_{+},\quad b_{i}<0,i=1,\dots i_{-}}.

Ahora, podemos definir la base(1a1u1,…,1ai+ui+,1−b1v1,…,1−bi−vi−,w1,…,wi0){\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sqrt {a_{1}}}}u_{1},\dots ,{\tfrac {1}{\sqrt {a_{i_{+}}}}}u_{i_{+}},{\tfrac {1}{\sqrt {-b_{1}}}}v_{1},\dots ,{\tfrac {1}{\sqrt {-b_{i_{-}}}}}v_{i_{-}},w_{1},\dots ,w_{i_{0}}\right)}. Es un cálculo sencillo comprobar que en la nueva base la matriz tiene la forma que queremos.◻{\displaystyle \quad \square }

De hecho, afirmamos que esta es toda la clasificación, es decir, que cualquier forma cuadrática real es equivalente a una y sólo una de las formas anteriores para ciertosi+,i−=0,…,n,i++i−≤n{\displaystyle i_{+},i_{-}=0,\dots ,n,\quad i_{+}+i_{-}\leq n}. Que es equivalente a una ya lo hemos visto; veamos que sólo lo es a una demostrando que las formas anteriores no son equivalentes entre sí. Para ver esto tomamosqφ{\displaystyle q_{\varphi }} una forma cuadrática real yu{\displaystyle u} una baseφ{\displaystyle \varphi }-ortogonal (la matrizMu(qφ){\displaystyle M_{u}(q_{\varphi })} es diagonal) y definimos:

F+(u)=⟨ui:qφ(ui)>0⟩i+(u)=dim⁡F+(u){\displaystyle F_{+}(u)=\langle u_{i}:q_{\varphi }(u_{i})>0\rangle \quad \quad \quad i_{+}(u)=\dim F_{+}(u)}

F−(u)=⟨ui:qφ(ui)<0⟩i−(u)=dim⁡F−(u){\displaystyle F_{-}(u)=\langle u_{i}:q_{\varphi }(u_{i})<0\rangle \quad \quad \quad i_{-}(u)=\dim F_{-}(u)}

F0(u)=⟨ui:qφ(ui)=0⟩i0(u)=dim⁡F0(u){\displaystyle F_{0}(u)=\langle u_{i}:q_{\varphi }(u_{i})=0\rangle \quad \quad \quad i_{0}(u)=\dim F_{0}(u)}

Vamos a demostrar quei+(u),i−(u),i0(u){\displaystyle i_{+}(u),i_{-}(u),i_{0}(u)} son independientes de la baseφ{\displaystyle \varphi }-ortogonal escogida. Por tanto, las matrices anteriores, como tienen estos números distintos, no son equivalentes, y habremos completado la clasificación.

Siu,v{\displaystyle u,v} son dos basesφ{\displaystyle \varphi }-ortogonales, entoncesi+(u)=i+(v), i−(u)=i−(v), i0(u)=i0(v){\displaystyle i_{+}(u)=i_{+}(v),\ i_{-}(u)=i_{-}(v),\ i_{0}(u)=i_{0}(v)}.
Claramentei0(u)=n−rg⁡(Mu(qφ))=n−rg⁡(qφ){\displaystyle i_{0}(u)=n-\operatorname {rg} (M_{u}(q_{\varphi }))=n-\operatorname {rg} (q_{\varphi })} es independiente de la base escogida (ya vimos en el apartado de la clasificación compleja que el rango sólo dependía de la forma cuadrática y no de la base).

Veamos los otros. ClaramenteE=F+(u)⊕F−(u)⊕F0(u)=F+(v)⊕F−(v)⊕F0(v){\displaystyle E=F_{+}(u)\oplus F_{-}(u)\oplus F_{0}(u)=F_{+}(v)\oplus F_{-}(v)\oplus F_{0}(v)}, donde⊕{\displaystyle \oplus } denota la suma directa (puesu,v{\displaystyle u,v} son bases).

Consideremos la aplicación siguiente:

f=π∘i:F+(u)⟶iE⟶πF+(v){\displaystyle f=\pi \circ i\colon F_{+}(u){\overset {i}{\longrightarrow }}E{\overset {\pi }{\longrightarrow }}F_{+}(v)},

coni{\displaystyle i} la inclusión deF+(u){\displaystyle F_{+}(u)} enE{\displaystyle E} yπ{\displaystyle \pi } la proyección deE=F+(v)⊕(F−(v)⊕F0(v)){\displaystyle E=F_{+}(v)\oplus (F_{-}(v)\oplus F_{0}(v))} enF+(v){\displaystyle F_{+}(v)}.

Veamos quef{\displaystyle f} es inyectiva. Como es lineal, basta ver que su núcleo se anula. Tomamosx∈F+(u)⊆E=F+(v)⊕(F−(v)⊕F0(v)){\displaystyle x\in F_{+}(u)\subseteq E=F_{+}(v)\oplus (F_{-}(v)\oplus F_{0}(v))} y seax=y+z{\displaystyle x=y+z}, dondey∈F+(v),z∈F−(v)⊕F0(v){\displaystyle y\in F_{+}(v),z\in F_{-}(v)\oplus F_{0}(v)}están unívocamente determinados porque los espacios están en suma directa. Supogamos pues quef(x)=0{\displaystyle f(x)=0}. Entonces,0=f(x)=π(i(x))=π(x)=π(y+z)=y{\displaystyle 0=f(x)=\pi (i(x))=\pi (x)=\pi (y+z)=y}, por lo quey=0{\displaystyle y=0} yx=z{\displaystyle x=z}. Perox∈F+(u)⇒qφ(x)≥0{\displaystyle x\in F_{+}(u)\Rightarrow q_{\varphi }(x)\geq 0} yx=z∈F−(v)⊕F0(v)⇒qφ(x)≤0{\displaystyle x=z\in F_{-}(v)\oplus F_{0}(v)\Rightarrow q_{\varphi }(x)\leq 0}, por lo que necesariamenteqφ(x)=0{\displaystyle q_{\varphi }(x)=0}, yx=0{\displaystyle x=0}, puesx∈F+(u){\displaystyle x\in F_{+}(u)} y cualquier otro vector deF+(u){\displaystyle F_{+}(u)} tieneqφ(x)>0{\displaystyle q_{\varphi }(x)>0}.

Por tanto, se tiene quei+(u)=dim⁡F+(u)≤dim⁡F+(v)=i+(v){\displaystyle i_{+}(u)=\dim F_{+}(u)\leq \dim F_{+}(v)=i_{+}(v)}. Por simetría obtenemos la igualdad. Ahora, comoi−(u)=n−i+(u)−i0(u){\displaystyle i_{-}(u)=n-i_{+}(u)-i_{0}(u)} ei+(u),i0(u){\displaystyle i_{+}(u),i_{0}(u)} no dependen de la base, tampoco dependei−(u){\displaystyle i_{-}(u)}.◻{\displaystyle \quad \square }

Este resultado se conoce comoley de inercia de Sylvester ei+,i−{\displaystyle i_{+},i_{-}}índices de inercia positivo y negativo de la forma cuadrática y al par(i+,i−){\displaystyle (i_{+},i_{-})},signatura. Hemos visto que una forma cuadrática queda totalmente clasificada por el par(i+,i−){\displaystyle (i_{+},i_{-})}, pero también basta el par(r,i+){\displaystyle (r,i_{+})}, donder{\displaystyle r} es el rango de la forma cuadrática (i−{\displaystyle i_{-}} queda determinado comoi−=r−i+{\displaystyle i_{-}=r-i_{+}}). Para calcular los índices de inercia de una forma cuadrática determinada se puede usar el método de Gauss para transformar la matriz de la forma en una matriz diagonal repitiendo mismas transformaciones por filas y por columnas para no perder la simetría (si no no sería un cambio de base de formas cuadráticas). Se acaba llegando a una matriz diagonal porque la matriz original es simétrica. En la matriz resultante basta contar los elementos positivos para obteneri+{\displaystyle i_{+}}.

Propiedades

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  • CuandoK=R{\displaystyle K=\mathbb {R} } se dice que la forma cuadrática esreal.
  • Dos formas cuadráticas pueden ser:
  • Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.

Forma cuadrática definida

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Se dice que una forma cuadráticaq:V→R{\displaystyle q:V\to \mathbb {R} } es definida si para todox≠0∈V{\displaystyle x\neq 0\in V} se verifica:

q(x)=bp(x,x)≠0{\displaystyle q(x)=b_{p}(x,x)\neq 0}

siendobp{\displaystyle b_{p}} la forma polar de la forma cuadrática.

En el caso antes mencionado, si una forma cuadrática es definida entonces:

Demostración
Se procederá por reducción al absurdo.

Supongamos que q es definida y que existen q(x)<0 y q(y)>0 y se buscaq(λx+y)=0{\displaystyle q(\lambda x+y)=0},λ∈R{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }

Desarrollando se tiene:

 q(λx+y)=λ2q(x)+2λbp(x,y)+q(y){\displaystyle \ q(\lambda x+y)=\lambda ^{2}q(x)+2\lambda b_{p}(x,y)+q(y)}

Despejando

λ=−bp(x,y)±bp(x,y)2−q(x)q(y)q(x){\displaystyle \lambda ={\dfrac {-b_{p}(x,y)\pm {\sqrt {b_{p}(x,y)^{2}-q(x)q(y)}}}{q(x)}}}

Como q(x)<0 y q(y)>0 el discriminante es positivo y existe solución distinta de la trivial que verificaq(λx+y)=0{\displaystyle q(\lambda x+y)=0} con lo que se llega a un absurdo pues se supuso que la forma cuadrática era definida.

Una forma cuadrática es definida positiva (negativa) si todos los autovalores de su matriz asociada son positivos (negativos)

Demostración
Sea A la matriz asociada a la forma polar de la forma cuadrática. Entoncesq(x)=xtAx{\displaystyle q(x)=x^{t}Ax}

Dado que A es una matriz simétrica existe una base de autovectores ortogonales{ei}{\displaystyle \{e_{i}\}} con autovalores{λi}{\displaystyle \{\lambda _{i}\}}.

En la base de autovectores se tienex=∑iciei{\displaystyle x=\sum _{i}c_{i}e_{i}}

Operando (omitiendo sumatorios):

q(x)=xtAx=cjejλiciei=λicicjδij=λici2{\displaystyle q(x)=x^{t}Ax=c_{j}e_{j}\lambda _{i}c_{i}e_{i}=\lambda _{i}c_{i}c_{j}\delta _{i}^{j}=\lambda _{i}c_{i}^{2}}

Que es positivo (negativo) en general si y solo siλi>(<)0∀i{\displaystyle \lambda _{i}>(<)0\quad \forall i}

Representación gráfica

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El caso de queV=R2{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}, una forma cuadrática, puede representarse por un conjunto decónicas. Si la signatura de la forma cuadrática es 2, entonces las curvas serán un conjunto de elipses, si la signatura es 1 será un conjunto de parábola y si la signatura es 0 entonces será un conjunto de hipérbolas.

A todos los vectores cuyo extremo caiga sobre la misma curva cuadrática se les asignará el mismo valor numérico.

Acotación de una forma cuadrática

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Sea la forma cuadráticaQ:Rn→R{\displaystyle Q:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } definida porQ(x)=xTAx{\displaystyle Q(x)=x^{T}Ax\,}, conA∈Rn×n{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}simétrica. Esta matriz esdiagonalizable ortogonalmente siempre.


Si pensamos en la factorizaciónA=PΔPT{\displaystyle A=P\Delta P^{T}\,} conP∈Rn×n{\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}} unamatriz ortogonal compuesta porautovectores deA{\displaystyle A\,} yΔ∈Rn×n{\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} ^{n\times n}\,} unamatriz diagonal compuesta por losautovalores deA{\displaystyle A\,} en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a


Q(x)=xTPΔPTx{\displaystyle Q(x)=x^{T}P\Delta P^{T}x\,}


Si llamamosy=PTx{\displaystyle y=P^{T}x\,}, entonces tenemos queyT=(PTx)T=xTP{\displaystyle y^{T}=\left(P^{T}x\right)^{T}=x^{T}P\,}. Reemplazando en la ecuación anterior tenemos que


Q(x)=Q^(y)=yTΔy{\displaystyle Q(x)={\hat {Q}}(y)=y^{T}\Delta y}


Y sabemos queΔ=diag⁡[λ1⋯λn]T{\displaystyle \Delta =\operatorname {diag} [\lambda _{1}\quad \cdots \quad \lambda _{n}]^{T}}, conλi,1≤i≤n{\displaystyle \lambda _{i},\,\,1\leq i\leq n}autovalor deA{\displaystyle A\,}. Por lo que si el cambio de variables propuesto es tal quey=[y1⋯yn]T{\displaystyle y=[y_{1}\quad \cdots \quad y_{n}]^{T}} tenemos que


Q^(y)=∑i=1nλiyi2{\displaystyle {\hat {Q}}(y)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}


A este tipo de forma cuadrática se la llama "forma cuadrática sin productos cruzados".

Sean,λ1≥⋯≥λn{\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n}\,} losautovalores deA{\displaystyle A\,} ordenados de forma decreciente. Es decir,λmax=λ1∧λmin=λn{\displaystyle \lambda _{\rm {max}}=\lambda _{1}\quad \wedge \quad \lambda _{\rm {min}}=\lambda _{n}}. Entonces tenemos que


Q^(y)=∑i=1nλiyi2≤λmax∑i=1nyi2{\displaystyle {\hat {Q}}(y)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}\quad \leq \quad \lambda _{\rm {max}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}

Q^(y)=∑i=1nλiyi2≥λmin∑i=1nyi2{\displaystyle {\hat {Q}}(y)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}\quad \geq \quad \lambda _{\rm {min}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}


Por otro lado, observando bien el siguiente término, nos damos cuenta de que∑i=1nyi2=‖y‖2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}=\|y\|^{2}\,}. Por lo tanto,


λmin‖y‖2≤Q^(y)≤λmax‖y‖2{\displaystyle \lambda _{\rm {min}}\|y\|^{2}\quad \leq \quad {\hat {Q}}(y)\quad \leq \quad \lambda _{\rm {max}}\|y\|^{2}}


Pero una de las propiedades fundamentales de lasmatrices ortogonales es que conservan elproducto interno, pues en particular‖y‖2=(y,y)=(PTx,PTx)=(PTx)TPTx=xTPPTx=xTx=‖x‖2{\displaystyle \|y\|^{2}=(y,y)=\left(P^{T}x,P^{T}x\right)=\left(P^{T}x\right)^{T}P^{T}x=x^{T}PP^{T}x=x^{T}x=\|x\|^{2}}. Entonces, finalmente tenemos que


λmin‖x‖2≤Q(x)≤λmax‖x‖2{\displaystyle \lambda _{\rm {min}}\|x\|^{2}\quad \leq \quad Q(x)\quad \leq \quad \lambda _{\rm {max}}\|x\|^{2}}


Y ocurre queQ(x)=λmin‖x‖2{\displaystyle Q(x)=\lambda _{\rm {min}}\|x\|^{2}\,} cuando el vectorx∈Sλmin{\displaystyle x\in S_{\lambda _{\rm {min}}}} y tambiénQ(x)=λmax‖x‖2{\displaystyle Q(x)=\lambda _{\rm {max}}\|x\|^{2}\,} cuando el vectorx∈Sλmax{\displaystyle x\in S_{\lambda _{\rm {max}}}}, siendoSλmax{\displaystyle S_{\lambda _{\rm {max}}}} ySλmin{\displaystyle S_{\lambda _{\rm {min}}}} losautoespacios asociados a losautovalores máximo y mínimo respectivamente.

Referencias

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