Engeometría, unafigura de vértice, en términos generales, es la figura que queda a la vista cuando se corta una esquina de unpoliedro opolitopo.
Elíjase una esquina ovértice de unpoliedro. Márquese un punto en algún lugar en cada arista conectada con el vértice, y a continuación dibújense líneas a través de las caras conectadas, uniendo los puntos adyacentes alrededor de la cara. Una vez terminado este proceso, estas líneas forman un circuito completo, es decir, un polígono situado alrededor del vértice. Este polígono es la figura del vértice.
Las definiciones formales más precisas pueden variar bastante según las circunstancias. Por ejemplo,Harold Scott MacDonald Coxeter (por ejemplo, entre 1948 y 1954) varió su definición según fue conveniente para el área de investigación que estuvo abordando. La mayoría de las siguientes definiciones de una figura de vértice se aplican igualmente bien ateselados planos infinitos o, por extensión, ateselados espaciales medianteceldaspolitópicas y otrospolitopos de dimensiones superiores.
El enfoque más común y el más fácil de entender es realizar un corte plano seccionando la esquina de un poliedro, cortando todas las aristas conectadas al vértice. La superficie de corte es la figura del vértice. Distintos autores localizan el corte en diferentes lugares. Wenninger (2003) corta cada arista a una unidad de distancia del vértice, al igual que Coxeter (1948). Para poliedros uniformes, la construccióndual implica cortar por su punto medio cada una de las aristas conectadas a cada vértice. Otros autores realizan el corte por el vértice en el extremo contrario de cada arista.[1][2]
Para un poliedro irregular, cortar todas las aristas incidentes en un vértice dado a distancias iguales del vértice puede producir una figura que no se encuentra en un plano. Un enfoque más general, válido para poliedros convexos arbitrarios, es realizar el corte en cualquier plano que separe el vértice dado de todos los demás vértices, pero que por lo demás sea arbitrario. Esta construcción determina la estructura combinatoria de la figura de vértice, similar a un conjunto de vértices conectados (véase más abajo), pero no su geometría precisa. Este criterio se puede generalizar a lospolitopos convexos en cualquier dimensión. Sin embargo, para poliedros no convexos, puede que no exista un plano cerca del vértice que corte todas las caras incidentes en él.
Cromwell (1999) forma la figura de vértice intersecando el poliedro con una esfera centrada en el vértice, lo suficientemente pequeña como para cruzar solo las aristas y las caras incidentes en el vértice. Esto se puede visualizar como si se hiciera un corte esférico centrado en el vértice. La superficie de corte o figura de vértice es, por lo tanto, un polígono esférico marcado en esta esfera. Una ventaja de este método es que la forma de la figura del vértice es fija (si se prescinde de la escala de la esfera), mientras que el método de intersección con un plano puede producir diferentes formas dependiendo del ángulo del plano. Además, este método funciona para poliedros no convexos.
Muchos enfoques combinatorios y computacionales (por ejemplo, Skilling, 1975) tratan una figura de vértice como el conjunto ordenado (o parcialmente ordenado) de puntos de todos los vértices vecinos (conectados mediante una arista) al vértice dado.
En la teoría depolitopos abstractos, la figura de vértice en un vértice dadoV comprende todos los elementos que inciden en el propio vértice (como aristas, caras u otros elementos de dimensiones superiores). Más formalmente es la sección (n−1)Fn/ V, dondeFn es lacara mayor (de mayor dimensión) del politopo.
Este conjunto de elementos se conoce en otros textos comoestrella de vértice. La figura geométrica de vértice y la estrella de vértice pueden entenderse comorealizaciones distintas de la misma sección abstracta.
Una figura de vértice de unn-politopo es un (n−1)-politopo. Por ejemplo, la figura de vértice de unpoliedro es unpolígono; y la figura de vértice de unpolícoro es un poliedro.
En general, una figura de vértice no tiene por qué ser plana.
Para poliedros no convexos, la figura del vértice también puede ser no convexa. Los politopos uniformes, por ejemplo, pueden tenerpolígonos estrellados como caras y/o figuras de vértices.
Las figuras de vértice son especialmente significativas para lospolitopos uniformes y para otros politoposisogonales (vértice-transitivos), dado que una figura de vértice puede definir todo el politopo.
Para los poliedros con caras regulares, una figura de vértice se puede representar mediante una notación deconfiguración de vértices, enumerando las caras en secuencia alrededor de cada vértice. Por ejemplo, 3.4.4.4 es un vértice con un triángulo y tres cuadrados, y define elrombicuboctaedro uniforme.
Si el politopo es isogonal, la figura de vértice existirá en una superficie (hiperplano) deln-espacio.
Al considerar la conectividad de los vértices vecinos con uno dado, se puede construir una figura de vértice para cada vértice de un politopo:
Para un poliedro uniforme, la cara delpoliedro conjugado se puede encontrar a partir de la figura de vértice del poliedro original usando laconstrucción deDorman Luke.
Si un politopo es regular, se puede representar mediante unsímbolo de Schläfli y tanto lacelda como la figura de vértice se pueden extraer trivialmente de esta notación.
En general, unpolitopo regular con símbolo de Schläfli {a,b,c,...,y,z}, tiene celdas caracterizadas como {a,b,c,...,y} yfiguras de vértice como {b,c,... ,y,z}.
Dado que el politopo dual de un politopo regular también es regular y está representado por los índices del símbolo de Schläfli invertidos, es fácil ver que el dual de la figura de vértice es la celda del politopo dual. Para poliedros regulares, este es un caso especial de laconstrucción de Dorman Luke.
La figura de vértice de unpanal cúbico truncado es unapirámide cuadrada no uniforme. Un octaedro y cuatro cubos truncados convergen en cada vértice y forman unteselado querellena el espacio.
| Figura de vértice: Unapirámide cuadrada no uniforme |  Diagrama de Schlegel |  Perspectiva |
| creada como uncuadrado base de unoctaedro |  (3.3.3.3) | |
| y cuatrotriángulos isósceles, lados decubos truncados |  (3.8.8) |
En relación con lafigura de vértice, unafigura de arista es lafigura de vértice de unafigura de vértice. Las figuras de arista[3] son útiles para expresar relaciones entre los elementos dentro de politopos regulares y uniformes.
Unafigura de arista será un (n−2)-politopo, que representa la disposición defacetas alrededor de una arista dada. Los politopos uniformes y los politopos regulares condiagrama de Coxeter-Dynkin de un solo anillo tendrán un tipo de arista único. En general, un politopo uniforme puede tener tantos tipos de aristas como espejos activos intervienen en su construcción, ya que cada espejo activo produce una arista en el dominio fundamental.
Los politopos regulares (y panales) tienen una únicafigura de arista' que también es regular. Para un politopo regular {p,q,r,s,...,z}, lafigura de arista es {r,s,...,z}.
En cuatro dimensiones, lafigura de arista de unpolícoro o3-panal es un polígono que representa la disposición de un conjunto de facetas alrededor de una arista. Por ejemplo, lafigura de arista de unpanal cúbico regular {4,3,4} es uncuadrado, y para un 4-politopo regular {p,q,r} es el polígono {r}.
De manera menos trivial, elpanal cúbico truncado t0,1{4,3,4} tiene una figura de vértice con forma depirámide cuadrada, con celdas en forma decubo truncado y deoctaedro. Aquí hay dos tipos defiguras de arista. Una de ellas es una figura de arista cuadrada asociada a la cúspide de la pirámide, que representa los cuatrocubos truncados alrededor de una arista. Las otras cuatro figuras de arista son triángulos isósceles en los vértices de la base de la pirámide, que representan la disposición de dos cubos truncados y un octaedro alrededor de las otras aristas.
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