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Función exponencial

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Este artículo trata sobre función exponencial natural e^x. Para la exponenciación general a^x en cualquier basea, véaseExponenciación.

Funciones exponenciales
Gráfica de Funciones exponenciales
Definición	$e^{x},\exp(x)\,$
Tipo	Función real
Dominio	$(-\infty ,+\infty )$
Codominio	$(0,+\infty )$
Imagen	$(0,+\infty )$
Propiedades	Biyectiva Convexa Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	$e^{x}\,$
Función primitiva	$e^{x}\,$
Función inversa	$\ln(x)\,$
Límites	$\lim _{x\to -\infty }\exp(x)=0\,$ $\lim _{x\to +\infty }\exp(x)=+\infty \,$
Funciones relacionadas	Logaritmo
[editar datos en Wikidata]

Enmatemáticas, unafunción exponencial es una función de la forma $f(x)=ab^{x}$ en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma $f(x)=ab^{cx+d}$ también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como:

ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}

Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, suderivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es ellogaritmo natural de la baseb: ${\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.$ La constantee = 2.71828... es la base única para la cual la constante de proporcionalidad es 1, de modo que la derivada de la función es ella misma: ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}$ . Dado que el cambio de la base de la función exponencial simplemente da como resultado la aparición de un factor constante adicional, es computacionalmente conveniente reducir el estudio de las funciones exponenciales en el análisis matemático al estudio de esta función particular, llamada convencionalmente la "función exponencial natural",^[1]^[2] o simplemente, "la función exponencial" y denotada por $x\mapsto e^{x}$ o bien $x\mapsto \exp(x)$ . Si bien ambas notaciones son comunes, la primera se usa generalmente para los exponentes más simples, mientras que la segunda tiende a usarse cuando el exponente es una expresión complicada.

La función exponencial satisface la identidad multiplicativa fundamental $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ para todo $x,y\in \mathbb {R}$ . Esta identidad se extiende a los exponentes devalores complejos. Se puede mostrar que cada solución continua, distinta de cero, de la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$ es una función exponencial, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto b^{x}$ con la identidad multiplicativa fundamental, junto con la definición del númeroe comoe¹, muestra que $e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ términos}}}$ para enteros positivosn y relaciona la función exponencial con la noción elemental de exponenciación.

El argumento de la función exponencial puede ser cualquiernúmero real o complejo o incluso un tipo deobjeto matemático completamente diferente (por ejemplo, una matriz).

Su omnipresente aparición en matemáticas puras y aplicadas ha llevado al matemáticoW. Rudin a opinar que la función exponencial es "la función más importante en matemáticas".^[3] En los ajustes aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente proporciona el mismo cambio proporcional (es decir, aumento o disminución de porcentaje) en la variable dependiente. Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales; por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de lafísica, laquímica, la ingeniería, la biología matemática y la economía.

Lagráfica de $y=e^{x}$ está inclinada hacia arriba, y aumenta más rápido a medida quex aumenta. El gráfico siempre se encuentra por encima del ejex, pero puede estar arbitrariamente cerca de él parax negativo; Así, el ejex es unaasíntota horizontal. La pendiente de la tangente a la gráfica en cada punto es igual a su coordenada y en ese punto, como lo indica su función derivada. Sufunción inversa es ellogaritmo natural, denotado $\log$ ,^[4] $\ln$ ,^[5] o $\log _{e}$ ; debido a esto, algunos textos antiguos se refieren a la función exponencial como elantilogaritmo.^[6]

Definición formal

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La función exponencial (en azul) y la suma de los primeros n + 1 términos de sus series de potencias (en rojo).

La función exponencial real $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ se puede caracterizar de varias maneras equivalentes. Más comúnmente, se define por las siguientesseries de potencias:^[3]

\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots

Como elradio de convergencia de esta serie de potencias es infinito, esta definición es, de hecho, aplicable a todos los números complejos $z\in \mathbb {C}$ .

La diferenciación término por término de esta serie de potencias revela que $(d/dx)(\exp x)=\exp x$ para todas lasx reales, lo que lleva a otra caracterización común de $\exp(x)$ como la única solución de la ecuación diferencial

y'(x)=y(x),

satisfaciendo la condición inicial $y(0)=1.$

Basándose en esta caracterización, la regla de la cadena muestra que su función inversa, el logaritmo natural, satisface $(d/dy)(\log _{e}y)=1/y$ para $y>0,$ o ${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$ Esta relación lleva a una definición menos común de la función exponencial real $\exp(x)$ como la solución $y {\displaystyle y}$ a la ecuación

x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.

Por medio delteorema del binomio y la definición de la serie de potencias, la función exponencial también se puede definir como el siguiente límite:^[7]

e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.

Visión general

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La curva roja es la función exponencial. Las líneas horizontales negras muestran donde cruza las líneas verticales verdes.

La función exponencial surge cuando una cantidad crece o decae a una tasa proporcional a su valor actual. Una de esas situaciones es el interés continuamente compuesto, y de hecho, fue esta observación la que llevó aJacob Bernoulli en 1683^[8] al número

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

ahora conocido comoe. Más tarde, en 1697,Johann Bernoulli estudió el cálculo de la función exponencial.^[8]

Si una cantidad principal de 1 gana intereses a una tasa anual dex capitalización mensual, entonces el interés ganado cada mes esx/12 veces el valor actual, por lo que cada mes el valor total se multiplica por(1 +x/12), y el valor al final del año es(1 +x/12)¹². Si, en cambio, el interés se agrava diariamente, esto se convierte en(1 +x/365)³⁶⁵. Dejar que el número de intervalos de tiempo por año crezca sin límite lleva a la definición límite de la función exponencial,

\exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

primero dado porLeonhard Euler.^[7] Esta es una de varias caracterizaciones de la función exponencial; Otros implican series o ecuaciones diferenciales.

De cualquiera de estas definiciones se puede mostrar que la función exponencial obedece a la identidad de exponenciación básica,

\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)

lo que justifica la notacióne^x.

La derivada (tasa de cambio) de la función exponencial es la función exponencial en sí misma. Más generalmente, una función con una tasa de cambio proporcional a la función en sí misma (en lugar de ser igual a ella) es expresable en términos de la función exponencial. Esta propiedad de función conduce a uncrecimiento exponencial odecaimiento exponencial.

La función exponencial se extiende a una función completa en el plano complejo. Lafórmula de Euler relaciona sus valores en argumentos puramente imaginarios confunciones trigonométricas. La función exponencial también tiene análogos para los cuales el argumento es una matriz, o incluso un elemento de unálgebra de Banach o unálgebra de Lie.

Derivadas y ecuaciones diferenciales

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La derivada de la función exponencial es igual al valor de la función. Desde cualquier puntoP en la curva (azul), dibuje una línea tangente (roja) y una línea vertical (verde) con alturah, formando un triángulo rectángulo con una base b en el ejex. Dado que la pendiente de la línea tangente roja (la derivada) enP es igual a la relación entre la altura del triángulo y la base del triángulo (aumento sobre la ejecución), y la derivada es igual al valor de la función,h debe ser igual a la relación deh ab. Por lo tanto, la baseb siempre debe ser 1.

La importancia de la función exponencial en matemáticas y ciencias proviene principalmente de su definición como función única que es igual a su derivada y es igual a 1 cuandox = 0. Es decir,

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{y}}\quad e^{0}=1.

Las funciones de la formace^x para la constantec son las únicas funciones que son iguales a su derivada (por elteorema de Picard-Lindelöf). Otras formas de decir lo mismo incluyen:

La pendiente de la gráfica en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La tasa de aumento de la función enx es igual al valor de la función enx.
La función resuelve laecuación diferencialy′ =y.
exp es unpunto fijo de derivado como funcional.

Si la tasa de crecimiento o decaimiento de una variable es proporcional a su tamaño, como es el caso del crecimiento poblacional ilimitado (vercatástrofe maltusiana), interés compuesto continuamente o decaimiento radiactivo, entonces la variable puede escribirse como una función exponencial por el tiempo. Explícitamente para cualquier constante real k, una funciónf:R →R satisfacef′ =kf si y solo si f (x) = cekx para alguna constante c.k, a function satisfies if and only iff(x) =ce^kx for some constantc.

Además, para cualquier función diferenciablef(x), encontramos, por laregla de la cadena:

{\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.

Fracciones continuas parae^x

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Unafracción continua parae^x puede obtenerse a través de unaidentidad de Euler:

e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}

La siguientefracción continua generalizada parae^z converge más rápidamente:^[9]

e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}

o bien, aplicando la sustitución.z =x/y:

e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}

con un caso especial paraz = 2:

e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}

Esta fórmula también converge, aunque más lentamente, para z> 2. Por ejemplo:

e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}

Plano complejo

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Como en el caso real, la función exponencial se puede definir en elplano complejo en varias formas equivalentes. La definición más común de la función exponencial compleja es paralela a la definición de la serie de potencias para los argumentos reales, donde la variable real se reemplaza por una compleja:

\exp(z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}

La multiplicación de dos copias de estas series de potencias en el sentido deCauchy, permitida por elteorema de Mertens, muestra que la propiedad multiplicativa definitoria de las funciones exponenciales sigue siendo válida para todos los argumentos complejos:

\exp(w+z)=\exp(w)\exp(z)

para todo

w,z\in \mathbb {C}

La definición de la función exponencial compleja a su vez conduce a las definiciones apropiadas que extienden lasfunciones trigonométricas a argumentos complejos.

En particular, cuando $z=it$ ( $t {\displaystyle t}$ real), la definición de la serie produce la expansión

\exp(it)={\Big (}1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots {\Big )}+i{\Big (}t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots {\Big )}

En esta expansión, la reorganización de los términos en partes reales e imaginarias se justifica por la convergencia absoluta de la serie. Las partes reales e imaginarias de la expresión anterior de hecho corresponden a las expansiones de la serie de $\cos t$ y $\sin t$ , respectivamente.

Esta correspondencia proporciona motivación para definir el coseno y el seno para todos los argumentos complejos en términos de $\exp(\pm iz)$ y la serie de potencias equivalentes:^[10]

\cos z:={\frac {1}{2}}{\Big [}\exp(iz)+\exp(-iz){\Big ]}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}

\operatorname {sen} z:={\frac {1}{2i}}{\Big [}\exp(iz)-\exp(-iz){\Big ]}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}

para todo

z\in \mathbb {C}

Las funciones exp, cos y sin, así definidas, tienen un radio infinito de convergencia por la prueba de relación y, por lo tanto, son funciones completas (es decir, holomorfas en $\mathbb {C}$ ). El rango de la función exponencial es $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ , mientras que los rangos de las funciones complejas de seno y coseno son $\mathbb {C}$ en su totalidad, de acuerdo con elteorema de Picard, que afirma que el rango de una función completa no constante es $\mathbb {C}$ o $\mathbb {C}$ excluyendo unvalor lacunario.

Estas definiciones para las funciones exponenciales y trigonométricas conducen trivialmente a lafórmula de Euler:

\exp(iz)=\cos z+i\operatorname {sen} z

para todo

z\in \mathbb {C}

Alternativamente, podríamos definir la función exponencial compleja basada en esta relación. Si $z=x+iy$ , donde $x {\displaystyle x}$ y $y {\displaystyle y}$ son reales, podríamos definir su exponencial como

\exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\operatorname {sen} y)

donde exp, cos y sen en el lado derecho del signo de definición deben interpretarse como funciones de una variable real, previamente definida por otros medios.^[11]

Para $t\in \mathbb {R}$ , la relación ${\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)$ se mantiene, por lo que $|\exp(it)|=1$ para real $t {\displaystyle t}$ y $t\mapsto \exp(it)$ mapea la línea real (mod $2\pi$ ) al círculo unitario. Sobre la base de la relación entre $\exp(it)$ y el círculo unitario, es fácil ver que, restringido a argumentos reales, las definiciones de seno y coseno dadas anteriormente coinciden con sus definiciones más elementales basadas en nociones geométricas.

La función exponencial compleja es periódica con el período $2\pi i$ y $\exp(z+2\pi ik)=\exp z$ para todos $z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z}$ .

Cuando su dominio se extiende desde la línea real al plano complejo, la función exponencial conserva las siguientes propiedades:

$e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,$
$e^{0}=1\,$
$e^{z}\neq 0$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}e^{z}=e^{z}$
$\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z}$

Extender el logaritmo natural a argumentos complejos produce ellogaritmo complejologz, que es unafunción multivalor.

Podemos definir una exponenciación más general:

z^{w}=e^{w\log z}

para todos los números complejosz y w. Esta es también una función multivalor, incluso cuandoz es real. Esta distinción es problemática, ya que las funciones multivalorlogz yz^w se confunden fácilmente con sus equivalentes de un solo valor al sustituir un número real porz. La regla sobre la multiplicación de exponentes para el caso de números reales positivos debe modificarse en un contexto multivalor:

(e^z)^w ≠ ezw, sino más bien (e^z)^w = e^{(z + 2πin) w} multivalor sobre enterosn

La función exponencial mapea cualquier línea en el plano complejo a unaespiral logarítmica en el plano complejo con el centro en el origen. Cabe señalar dos casos especiales: cuando la línea original es paralela al eje real, la espiral resultante nunca se cierra sobre sí misma; cuando la línea original es paralela al eje imaginario, la espiral resultante es un círculo de algún radio.

Gráficos en 3D de la parte real, la parte imaginaria y el módulo de la función exponencial
z = Re(e^{x +iy})
z = Im(e^{x +iy})
z = abs(e^x^+iy)

Considerando la función exponencial compleja como una función que involucra cuatro variables reales:

v+iw=\exp(x+iy)

La gráfica de la función exponencial es una superficie bidimensional que se curva a través de cuatro dimensiones.

Comenzando con una parte codificada por colores del dominio $x y {\displaystyle xy}$ , las siguientes son representaciones de la gráfica como se proyecta de manera diversa en dos o tres dimensiones.

Gráficos de la función exponencial compleja
Clave:
$x>0:\;{\text{verde}}$
$x<0:\;{\text{rojo}}$
$y>0:\;{\text{amarillo}}$
$y<0:\;{\text{azul}}$
Proyección sobre el plano complejo de rango (V/W). Compare con la siguiente imagen en perspectiva.
Proyección en las dimensiones $x {\displaystyle x}$ , $v {\displaystyle v}$ y $w {\displaystyle w}$ , produciendo una forma de bocina o embudo acampanado (concebida como una imagen en perspectiva 2-D).
Proyección en las dimensiones $y {\displaystyle y}$ , $v {\displaystyle v}$ y $w {\displaystyle w}$ , produciendo una forma espiral. ( $y {\displaystyle y}$ rango extendido a ± 2π, nuevamente como imagen en perspectiva 2-D).

La segunda imagen muestra cómo se mapea el plano complejo de dominio en el plano complejo de rango:

cero se asigna a 1
el eje real $x {\displaystyle x}$ se asigna al eje real $v {\displaystyle v}$ positivo
el eje imaginario $y {\displaystyle y}$ se envuelve alrededor del círculo unitario a unavelocidad angular constante
los valores con partes reales negativas se asignan dentro del círculo unitario
los valores con partes reales positivas se asignan fuera del círculo unitario
los valores con una parte real constante se asignan a círculos centrados en cero
los valores con una parte imaginaria constante se asignan a rayos que se extienden desde cero

La tercera y cuarta imágenes muestran cómo el gráfico en la segunda imagen se extiende en una de las otras dos dimensiones que no se muestran en la segunda imagen.

La tercera imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje real $x {\displaystyle x}$ . Muestra que la gráfica es una superficie de revolución sobre el eje $x {\displaystyle x}$ de la gráfica de la función exponencial real, que produce una forma de bocina o embudo.

La cuarta imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje imaginario $y {\displaystyle y}$ . Muestra que la superficie del gráfico para valores $y {\displaystyle y}$ positivos y negativos realmente no coinciden con el eje real $v {\displaystyle v}$ negativo, sino que forma una superficie en espiral alrededor del eje $y {\displaystyle y}$ . Debido a que sus valores $y {\displaystyle y}$ se han extendido a ± 2π, esta imagen también representa mejor la periodicidad 2π en el valor imaginario $y {\displaystyle y}$ .

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos $z=\operatorname {Re} \left(\exp \left(x+iy\right)\right)$

{\displaystyle z=\operatorname {Re} \left(\exp \left(x+iy\right)\right)} — Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos $z=\operatorname {Re} \left(\exp \left(x+iy\right)\right)$

Cálculo dea^b donde tantoa comob son complejos

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Artículo principal: Potenciación

La exponenciación complejaa^b se puede definir convirtiendoa coordenadas polares y usando la identidad(e^ln(a))b
=a^b:

a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{\ln(r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left(\ln(r)+\theta i\right)b}

Sin embargo, cuandob no es unnúmero entero, esta función es multivalor, porqueθ no es única.

Función exponencial general

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Si se toma como base el número complejoa diferente dee, y como variable el exponentez, se tiene que lafunción exponencial generalw = f(z)= $a^{z}$ , se define como:^[12]:

$w=a^{z}=e^{z\operatorname {Log} a}=e^{z\ln |a|}\cdot e^{zi\operatorname {Arg} a}$

Es una familia de funciones unívocas, no ligadas entre sí, que se distinguen por los factores exp(2kπiz), siendok cualquier número entero.^[13]

Matrices y álgebras de Banach

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La definición de la serie de potencias de la función exponencial tiene sentido para las matrices cuadradas (para las cuales la función se denominamatriz exponencial) y más generalmente en cualquier álgebraB de Banach. En esta configuración,e⁰ = 1, ye^x es invertible con e inversae^−x para cualquier x enB. Sixy =yx, entoncese^{x +y} =e^xe^y, pero esta identidad puede fallar para no conmutarx e y.

Algunas definiciones alternativas llevan a la misma función. Por ejemplo,e^x puede definirse como:

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.

Oe^x puede definirse comof(1), dondef:R→B es la solución a la ecuación diferencialf ′(t) =xf(t) con condición inicialf(0) = 1.

Álgebras de Lie

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Dado unGrupo de LieG y suálgebra de Lie asociada ${\mathfrak {g}}$ , el mapa exponencial es un mapa ${\mathfrak {g}}$ ↦G que satisface propiedades similares. De hecho, dado queR es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todos los números reales positivos bajo multiplicación, la función exponencial ordinaria para los argumentos reales es un caso especial de la situación del álgebra de Lie. De manera similar, como el grupo de LieGL(n,R) de matrices invertiblesn ×n tiene como álgebra de LieM(n,R), el espacio de todas las matricesn ×n, la función exponencial para matrices cuadradas es un caso especial de Mapa exponencial de álgebra de Lie.

La identidadexp(x +y) = exp(x)exp(y) puede fallar para los elementos del álgebra de Liex yy que no conmutan; La fórmula de Baker – Campbell – Hausdorff proporciona los términos de corrección necesarios.

Transcendencia

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La funcióne^z no está enC(z) (es decir, no es el cociente de dos polinomios con coeficientes complejos).

Paran números complejos distintos{a₁, …,a_n}, el conjunto{e^a₁z, …,e^a_nz} es linealmente independiente sobreC(z).

La funcióne^z es trascendental sobreC(z)

Computación

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Al computar (una aproximación de) la función exponencial, si el argumento está cerca de 0, el resultado será cercano a 1, y computar la diferencia $\exp(x)-1$ puede producir una pérdida de precisión.

Siguiendo una propuesta deWilliam Kahan, puede ser útil tener una rutina dedicada, a menudo llamadaexpm1, para calculare^x − 1 directamente, sin pasar por el cálculo dee^x. Por ejemplo, si la exponencial se calcula utilizando suserie de Taylor

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,

uno puede usar la serie de Taylor $e^{x}-1:$

e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .

Esto se implementó por primera vez en 1979 en la calculadoraHewlett-Packard HP-41C, y fue proporcionado por varias calculadoras,^[14]^[15] sistemas deálgebra computacional y lenguajes de programación (por ejemplo, C99).^[16]

Se ha utilizado un enfoque similar para el logaritmo.(verlnp1).^{[nb 1]}

Una identidad en términos de latangente hiperbólica,

\operatorname {expm1} (x)=\exp(x)-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},

proporciona un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementanexpm1(x).

Véase también

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Función trigonométrica

Función exponencial

Logaritmo

Bibliografía

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Abramowitz, M. y Stegun, I. A..Exponential Function. §4.2 enHandbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 69-71, 1972.
Courant, Richard y Fritz, John.Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol.I. Editorial Limusa,1999.ISBN 968-18-0639-5.
Apostol, T. M.,Calculus. Tomo I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra lineal. Editorial reverte, 2005ISBN 84-291-5002-1.
Ahlfors, Lars.Complex Analysis: an Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (1953, 1966, 1979) (ISBN 0-07-000657-1)

Notas

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↑A similar approach to reduceround-off errors of calculations for certain input values oftrigonometric functions consists of using the less common trigonometric functionsversine,vercosine,coversine,covercosine,haversine,havercosine,hacoversine,hacovercosine,exsecant andexcosecant.

Referencias

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↑Goldstein, Lay; Schneider, Asmar (2006).Brief calculus and its applications (11th edición). Prentice–Hall.ISBN 0-13-191965-2.
↑Courant; Robbins (1996). Stewart, ed.What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd revised edición). Oxford University Press. p. 448.ISBN 0-13-191965-2. «This natural exponential function is identical with its derivative. This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications…».
↑^a ^bRudin, Walter (1987).Real and complex analysis (3rd edición). New York: McGraw-Hill. p. 1.ISBN 978-0-07-054234-1.
↑In pure mathematics, the notationlogx generally refers to the natural logarithm ofx or a logarithm in general if the base is immaterial.
↑The notationlnx is the ISO standard and is prevalent in the natural sciences and secondary education (US). However, some mathematicians (e.g.,Paul Halmos) have criticized this notation and prefer to uselogx for the natural logarithm ofx.
↑Converse; Durrell (1911).Plane and spherical trigonometry. C. E. Merrill Co. p. 12. «Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm) ...»
↑^a ^bEli Maor,e: the Story of a Number, p.156.
↑^a ^bJohn J O'Connor; Edmund F Robertson.«The number e».School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. Consultado el 13 de junio de 2011.
↑"A.2.2 The exponential function." L. Lorentzen and H. Waadeland,Continued Fractions, Atlantis Studies in Mathematics, page 268.
↑Rudin, Walter (1976).Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. p. 182.ISBN 9780070542358.
↑Apostol, Tom M. (1974).Mathematical Analysis (2nd edición). Reading, Mass.: Addison Wesley. pp. 19.ISBN 978-0201002881.
↑M. A. Lavréntiev/ B. V. Shabat "Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja, Editorial Mir Moscú (1991)ISBN 5-03-0011552-3 pág 32
↑Lavréntiev et al: obra citada
↑HP 48G Series – Advanced User's Reference Manual (AUR) (4 edición).Hewlett-Packard. December 1994.HP 00048-90136, 0-88698-01574-2. Consultado el 6 de septiembre de 2015.
↑HP 50g / 49g+ / 48gII graphing calculator advanced user’s reference manual (AUR) (2 edición).Hewlett-Packard. 14 de julio de 2009.HP F2228-90010. Consultado el 10 de octubre de 2015. Searchable PDF
↑Beebe, Nelson H. F. (9 de julio de 2002).«Computation of expm1 = exp(x)−1». Salt Lake City, Utah, USA: Department of Mathematics, Center for Scientific Computing, University of Utah. Consultado el 2 de noviembre de 2015.

Enlaces externos

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Hazewinkel, Michiel, ed. (2001),«Función exponencial»,Encyclopaedia of Mathematics(en inglés), Springer,ISBN 978-1556080104 .
Complex exponential function enPlanetMath.
Derivative of exponential function enPlanetMath.
Weisstein, Eric W.«Exponential Function». En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research.

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