Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ir al contenido
WikipediaLa enciclopedia libre
Buscar

Estadística de Bose-Einstein

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Laestadística de Bose-Einstein es un tipo demecánica estadística aplicable a la determinación de las propiedadesestadísticas de conjuntos grandes de partículas indistinguibles capaces de coexistir en el mismoestado cuántico (bosones) enequilibrio térmico.[1]​[2]​ A bajas temperaturas, losbosones tienden a tener un comportamiento cuántico similar que puede llegar a ser idéntico a temperaturas cercanas alcero absoluto en un estado de la materia conocido comocondensado de Bose-Einstein y producido por primera vez en laboratorio en el año 1995. El condensador Bose-Einstein funciona a temperaturas cercanas al cero absoluto, -273,15 °C (0 kelvin).La estadística de Bose-Einstein fue introducida para estudiar las propiedades estadísticas de losfotones en 1920 por el físico indioSatyendra Nath Bose y generalizada paraátomos y otros bosones porAlbert Einstein en 1924. Este tipo de estadística está íntimamente relacionada con laestadística de Maxwell-Boltzmann (derivada inicialmente paragases) y a lasestadísticas de Fermi-Dirac (aplicables a partículas denominadasfermiones sobre las que rige elprincipio de exclusión de Pauli que impide que dos fermiones compartan el mismo estado cuántico).

La estadística de Bose-Einstein se reduce a la estadística de Maxwell-Boltzmann para energías suficientemente elevadas.

Formulación matemática

[editar]

Elnúmero de partículas en un estado de energíai es:

ni(εi, T)=gie(εi−μ)/kBT−1{\displaystyle n_{i}\left(\varepsilon _{i}{\text{, }}T\right)={\frac {g_{i}}{e^{{\left(\varepsilon _{i}-\mu \right)}/{k_{B}T}\;}-1}}}

donde:

La estadística de Bose-Einstein se reduce a la estadística de Maxwell-Boltzmann para energías:

(ϵi−μ)>>kBT{\displaystyle (\epsilon _{i}-\mu )>>k_{B}T}

Derivación

[editar]

Dado que los sistemas bosónicos son sistemas de partículas indistinguibles, los estados cuya única diferencia es la permutación de estados de dos partículas son idénticos. De este modo, un estado del sistema estará unívocamente definido por el número de partículas que se encuentren en un determinado estado energético. Se denotará porϵr{\displaystyle \epsilon _{r}} el estado energético r-ésimo, pornr{\displaystyle n_{r}} el número de partículas en el estado r-ésimo y R cada una de las posibles combinaciones de números de ocupación. La función de partición resulta:

Z=∑le−β(El−μnl)=∑Re−β∑r(ϵrnr−μnr)=∑R∏re−β(ϵrnr−μnr){\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{l}e^{-\beta (E_{l}-\mu n_{l})}=\sum _{R}e^{-\beta \sum _{r}(\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}=\sum _{R}\prod _{r}e^{-\beta (\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}}

La anterior expresión contiene todas las combinaciones posibles denr{\displaystyle n_{r}} entre 0 e∞{\displaystyle \infty } (puesto que en un sistema bosónico el número de partículas por estado cuántico no está limitado) de forma que puede ser reescrita de la siguiente forma:

Z=∏r∑nr=0∞e−β(ϵrnr−μnr)=∏r11−e−β(ϵr−μ){\displaystyle {\mathcal {Z}}=\prod _{r}\sum _{n_{r}=0}^{\infty }e^{-\beta (\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}=\prod _{r}{\frac {1}{1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}}}

Aplicando que:

Φ=kBTlnZy∂Φ∂μ=−N{\displaystyle \Phi =k_{B}Tln{\mathcal {Z}}\quad y\quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}=-N}

Se tiene que:

Φ=kBTlnZ=−kBT∑rln(1−e−β(ϵr−μ)){\displaystyle \Phi =k_{B}Tln{\mathcal {Z}}=-k_{B}T\sum _{r}ln(1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )})}

⇒∂Φ∂μ=−N=−∑rnr=−∑re−β(ϵr−μ)1−e−β(ϵr−μ){\displaystyle \quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}=-N=-\sum _{r}n_{r}=-\sum _{r}{\frac {e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}{1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}}}

De modo que:

nr=1eβ(ϵr−μ)−1{\displaystyle n_{r}={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{r}-\mu )}-1}}}

Debido a que pueden existir diferentes estados cuánticos con una misma energía el número de partículas con una determinada energía vendrá dado por:

nϵ=gϵeβ(ϵ−μ)−1{\displaystyle n_{\epsilon }={\frac {g_{\epsilon }}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}}

siendogϵ{\displaystyle g_{\epsilon }} la degeneración de tal energía.

En la anterior expresión se observa que el potencial químico ha de ser menor que todas las energías, de lo contrario el número medio de partículas en un estado podría ser negativo. Este hecho también se pudo haber observado al sumar la serie geométrica, ye que la anterior condición es la condición para su convergencia.

Aplicaciones

[editar]
  • La distribución de energía de la radiación delcuerpo negro se deduce de la aplicación de la estadística de Bose-Einstein a losfotones que componen la radiación electromagnética.
  • Lacapacidad calorífica de los sólidos tanto a altas como a bajas temperaturas puede ser deducida a partir de la estadística de Bose-Einstein aplicada a losfonones,cuasipartículas que dan cuenta de las excitaciones de la red cristalina. En particular laley de Dulong-Petit puede ser deducida de la estadística de Bose-Einstein.
  • La estadística de Bose-Einstein predice el fenómeno de la condensación de Bose-Einstein, también conocido como el quinto estado de la materia.

Véase también

[editar]

Referencias

[editar]
  1. ↑Dirac, Paul Adrien Maurice (1 de enero de 1981).The Principles of Quantum Mechanics(en inglés). Clarendon Press. p. 149.ISBN 9780198520115. 
  2. ↑Pauli, Wolfgang (1 de enero de 1980).General principles of quantum mechanics(en inglés). Springer-Verlag.ISBN 9783540098423. 

Bibliografía

[editar]
  • Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1980).Statistical Physics. Pergamon Press Ltd.0-08-023039-3. 
  • Pathria R. K. (2001).Statistical Mechanics. Butterworth Heinemann.0 7506 2469 8. 
Control de autoridades
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estadística_de_Bose-Einstein&oldid=164862836»
Categorías:
Categoría oculta:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp