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Espacio tangente

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Engeometría diferencial, llamamosespacio tangente al conjunto asociado a cada punto de unavariedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto (véasefig.1). Es unespacio vectorial de la mismadimensión que ladimensión de la variedad.

El plano que toca a laesfera en un solo punto es llamadoplano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntosantipodales tiene planos tangente paralelos.

El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente topologizado, forma el llamadofibrado tangente. Resulta ser en sí mismo otra variedad de dimensión doble de la dimensión de la variedad de entrada.

**fig.1** Las cartas que cumplan esta condición formarán parte de dicha estructura. Ilustración del espacio tangente $\scriptstyle T_{x}M$ y un vector tangente $\scriptstyle v\in T_{x}M$ obtenido utilizando una curva que pasa por un punto $\scriptstyle x\in M$ .

{\displaystyle \scriptstyle T_{x}M} — **fig.1** Las cartas que cumplan esta condición formarán parte de dicha estructura. Ilustración del espacio tangente $\scriptstyle T_{x}M$ y un vector tangente $\scriptstyle v\in T_{x}M$ obtenido utilizando una curva que pasa por un punto $\scriptstyle x\in M$ .

Definiciones

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Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de lafig.1. Empecemos suponiendo que tenemos una curva $\scriptstyle \gamma$ en la variedadM que pasa por alguna posición elegida cualquiera: $\scriptstyle x\in M$ . Es decir unaaplicación $\scriptstyle \gamma \ :\ [-\varepsilon ,\varepsilon ]\to M$ diferenciable que satisface $\scriptstyle \gamma (0)=x$ y $\scriptstyle \gamma '(0)=v$ . Resulta que el conjunto de todos estos vectores tangentes a la curva en el punto x forman el espacio tangente $\scriptstyle T_{x}M$ dex enM.

Espacio tangente $\mathbb {R} ^{n}$

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Si se tiene una variedad diferencial inmersa en $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ dada por la ecuación $\scriptstyle \mathbf {f} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0$ entonces el espacio tangente en un punto de dicha variedad $\scriptstyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in {\mathcal {M}}$ viene dado por la ecuación:

${\begin{matrix}D\mathbf {f} (\mathbf {a} )(\mathbf {x-a} )=0\Rightarrow \\\\{\begin{bmatrix}\partial _{x_{1}}f_{1}(\mathbf {a} )&\dots &\partial _{x_{n}}f_{1}(\mathbf {a} )\\\dots &\dots &\dots \\\partial _{x_{1}}f_{n}(\mathbf {a} )&\dots &\partial _{x_{n}}f_{n}(\mathbf {a} )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}-a_{1}\\\dots \\x_{n}-a_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} \end{matrix}}$