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Esfera

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Para otros usos de este término, véaseEsfera (desambiguación).
Proyección en dos dimensiones de una esfera definida medianteparalelos ymeridianos.
Modelo 3D de una esfera

Engeometría, unasuperficie esférica es unasuperficie de revolución formada por el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado ''centro''.

Para los puntos cuya distancia es menor que lalongitud delradio, se dice que forman elinterior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llamabola cerrada entopología, oesfera, como en geometría elemental del espacio.[1]​ La esfera es un sólido geométrico.

La esfera, comosólido de revolución, se genera haciendo girar una superficiesemicircular alrededor de sudiámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Esfera proviene del términogriego σφαῖρα,sphaîra, que significa pelota (para jugar).Coloquialmente hablando, se emplea la palabrabola, para describir al cuerpo delimitado por una esfera.

Geometría esférica

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Como superficie

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La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominadocentro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denominaradio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia, usando como eje de rotación su diámetro.[2]​ Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio.

Como sólido

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La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de su radio. Este concepto coincide con la definición debola cerrada en el análisis real de ℝ3. Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro.[3]​

En esta situación, topológicamente, se puede hablar defrontera (Fr) el conjunto de puntos de la esfera de distancia igual al radio;interior (Int), el conjunto de puntos de distancia menor que el radio;exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia mayor que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el mismo espacio.[4]​

  • Cualquier segmento que contiene el centro de la esfera y sus extremos están en la superficie esférica, es un diámetro.[5]​
  • Cualquier sección plana de una esfera es un círculo.
  • Cualquier sección que pasa por el centro de una esfera es uncírculo mayor, y si la sección no pasa por el centro es uncírculo menor.
  • Si se da un círculo de una esfera, los extremos del diámetro perpendicular a aquel se llaman polos de dicho círculo.[6]​
Datos para hallar el área y volumen de la esfera respecto del cilindro circunscrito.

Elvolumen,V{\displaystyle V\,}, de una esfera se expresa en función de su radior{\displaystyle r\,} como:

V=4πr33{\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}

Se puede considerar el volumen de una esfera como 2/3 del volumen delcilindro circunscrito a la esfera. Su base es uncírculo del mismodiámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:

V=23(πr2⋅2r){\displaystyle V={\frac {2}{3}}(\pi r^{2}\cdot 2r)}

Esta relación de volúmenes se atribuye aArquímedes.

Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.03% sin utilizar el valor deπ:

V=6716r3{\displaystyle V={\frac {67}{16}}r^{3}}

Área

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El área es 4 vecesπ{\displaystyle \pi \,} por su radio al cuadrado.

 A=4πr2{\displaystyle \ A=4\pi r^{2}}
Demostración
  • Arquímedes demostró que elárea de la esfera es dos tercios respecto al del cilindro, usando esta definición:
A=23(2r⋅2πr+2⋅πr2){\displaystyle A={\frac {2}{3}}(2r\cdot 2\pi r+2\cdot \pi r^{2})}
A=23(4πr2+2πr2){\displaystyle A={\frac {2}{3}}(4\pi r^{2}+2\pi r^{2})}
A=23(6πr2){\displaystyle A={\frac {2}{3}}(6\pi r^{2})}
A=4πr2{\displaystyle A=4\pi r^{2}}
Demostración
  • El área de la esfera es también igual a la derivada de su volumen con respecto ar{\displaystyle r\,}.
V=43πr3=∫0rA(r)dr{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)dr}
dVdr=A(r)=4πr2{\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=A(r)=4\pi r^{2}}

Ecuaciones de la esfera

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Ecuación cartesiana

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En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano tridimensional, la ecuación de laesfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

x2+y2+z2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,}

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normalOM es igual a 1.

Generalizando, la esfera de radior, de centroΩ (a, b, c) tiene como ecuación:

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\,}

La ecuación del plano tangente en el puntoM (x', y', z') se obtiene mediante eldesdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

x⋅x′+y⋅y′+z⋅z′=0{\displaystyle x\cdot x'+y\cdot y'+z\cdot z'=0\,}

y en el segundo ejemplo:

(x−a)⋅x′+(y−b)⋅y′+(z−c)⋅z′=0{\displaystyle (x-a)\cdot x'+(y-b)\cdot y'+(z-c)\cdot z'=0\,}

En un espacio euclidiano tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden serparametrizados de la siguiente manera:

x=x0+rcos⁡θsen⁡φ{\displaystyle \,x=x_{0}+r\cos \theta \;\operatorname {sen} \varphi }
y=y0+rsen⁡θsen⁡φ(0≤θ≤2π , 0≤φ≤π){\displaystyle \,y=y_{0}+r\operatorname {sen} \theta \;\operatorname {sen} \varphi \qquad (0\leq \theta \leq 2\pi {\mbox{ , }}0\leq \varphi \leq \pi )\,}
z=z0+rcos⁡φ{\displaystyle \,z=z_{0}+r\cos \varphi \,}


donder es el radio, (x0,y0,z0) son las coordenadas del centro y (θ,φ) son los parámetros angulares de la ecuación.

Secciones

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Un círculo máximo divide la esfera en doshemisferios iguales.
Sección de una esfera por un plano.

La intersección de un plano y una esfera siempre es unacircunferencia. La esfera es el único cuerpo que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera,r. En este caso, la circunferencia puede llamarseecuador ocírculo máximo.

Si la distanciad, entre el plano y el centro, es inferior al radior de la esfera, aplicando elteorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

r′=r2−d2{\displaystyle r'={\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}
Intersección de esferas.

Por otra parte, dos esferas se intersecan si:

d≤r+r′{\displaystyle d\leq r+r'}

y

r−r′≤d{\displaystyle r-r'\leq d}

(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midanr,r' yd, donded es la distancia entre los centros de las esferas,r yr' sus radios.

En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.

En general, el radio es:

2dm(m−r)(m−r′)(m−d) con m=r+r′+d2{\displaystyle {\frac {2}{d}}{\sqrt {m(m-r)(m-r')(m-d)}}\quad {\mbox{ con }}\quad m={\frac {r+r'+d}{2}}} el medio perímetro.

Planos en un punto de la superficie esférica

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Plano tangente

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El plano que toca a laesfera en un solo punto es llamadoplano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera lospuntos antipodales tiene planos tangente paralelos.

Es el plano cuya distancia al centro de la esfera es igual a la longitud del radio. O bien la posición límite de los planos secantes de la esfera cuando su distancia al centro tiende a la longitud del radio. Dicho plano es único y siempre existe, dado un puntoP=(x0,y0,z0){\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})} de una esfera de radio de radioR el plano tangente viene dado por:

x0(x−x0)+y0(y−y0)+z0(z−z0)=0{\displaystyle x_{0}(x-x_{0})+y_{0}(y-y_{0})+z_{0}(z-z_{0})=0\,}

Plano normal

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Sin información.

Plano binormal

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Es el plano perpendicular tanto al plano tangente como al plano normal.

Coordenadas sobre la esfera

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Para localizar un punto de la superficie esférica, lascoordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que lascoordenadas ortogonales.

Coordenadas esféricas.
Coordenadas esféricas.
Los dos orígenes ortogonales de las coordenadas esféricas

Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamadospolos– para definir el signo del ángulo θ

Determinación de los puntos mediante ángulos

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.

Engeometría, normalmente, se expresan estos ángulos enradianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que engeografía se usan losgrados sexagesimales ocentesimales: en este caso, θ es lalatitud del punto y φ sulongitud si se toma un origen en el punto del ecuador delmeridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y las longitudes positivas al hemisferio Este.

Introducir un tercer parámetror permite localizar cualquier punto del espacio con lascoordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en unintervalo semiabierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical, donde sirve cualquier valor de φ.

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas esféricas (r, φ, θ) serán:

{x=rsen⁡θcos⁡φy=rsen⁡θsen⁡φz=rcos⁡θcon−π2<φ≤π2,y0<θ≤2π{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}x&=&r\operatorname {sen} \theta \;\cos \varphi \\y&=&r\operatorname {sen} \theta \;\operatorname {sen} \varphi \\z&=&r\cos \theta \end{array}}\right.\qquad {\text{con}}\;-{\cfrac {\pi }{2}}<\varphi \leq {\cfrac {\pi }{2}}\;,\;{\text{y}}\quad 0<\theta \leq 2\pi }

Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las coordenadas esféricas:

{r=x2+y2+z2≠0θ=arccos⁡zr=arccos⁡zx2+y2+z2φ=arcsin⁡yrcos⁡θ=2arcsin⁡yx2+y2+x{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\neq 0\\\theta =\arccos {\cfrac {z}{r}}=\arccos {\cfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\varphi =\arcsin {\cfrac {y}{r\cos \theta }}=2\arcsin {\cfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\end{array}}\right.}

Extremos de sólidos en la esfera

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  • Dada una esfera, de radio = R, un cilindro inscrito en ella, tiene los siguientes datos, r= radio y h= altura, cuando su superficie lateral es máxima:
r=22×R{\displaystyle r={\cfrac {\sqrt {2}}{2}}\times R}
h=2×R{\displaystyle h={\sqrt {2}}\times R}.[7]​
  • Un cilindro de radio = r y altura = h, inscrito en una esfera de radio = R, alcanza volumen máximo si se tiene los siguientes resultados:
r=23×R{\displaystyle r={\sqrt {\cfrac {2}{3}}}\times R}
h=233×R{\displaystyle h={\cfrac {2{\sqrt {3}}}{3}}\times R}.[7]​
  • Un cono de radio r y altura h, inscrito en una esfera de radio R, alcanza volumen máximo, si ocurre que:
h=43×R{\displaystyle h={\cfrac {4}{3}}\times R}
r=223×R{\displaystyle r={\cfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}\times R}.[7]​

Generalizaciones de la esfera

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Esferas en dimensiones superiores

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Se puede generalizar la noción de esfera enespacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclidiano de cuatro dimensiones, usando un sistema decoordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:

x2+y2+z2+t2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1}

dondet es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclidiano den dimensiones:

x12+x22+x32+⋯+xn2=1{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}

Y para una esfera de radior, y centro (c1, c2, ..., cn):

(x1−c1)2+(x2−c2)2+(x3−c3)2+⋯+(xn−cn)2=r2{\displaystyle (x_{1}-c_{1})^{2}+(x_{2}-c_{2})^{2}+(x_{3}-c_{3})^{2}+\cdots +(x_{n}-c_{n})^{2}=r^{2}}

El volumen de la esfera contenida en la superficie anterior, en dimensiónn se calcula porinducción sobren. Aquí están los diez primeros valores de Vn(r) y las superficies correspondientes:

Dimensión12345678910
Volumen2rπr24πr3
3		π2r4
2		8π2r5
15		π3r6
6		16π3r7
105		π4r8
24		32π4r9
945		π5r10
120
Superficie22πr4πr22π2r38π2r4
3		π3r516π3r6
15		π4r7
3		32π4r8
105		π5r9
12

El volumen de la bola de radio 1 alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera de radio 1 lo alcanza en dimensión 7.

Derivación de la fórmula deln-volumen
Las ecuaciones de volumen pueden ser probadas porinducción matemática. En efecto, si llamamosVn el volumen de la esfera unitaria (r = 1) en dimensiónn. Entonces la integral de Wallis:

Vn+1=In+1Vn  con  In=2∫0π2senn t dt{\displaystyle V_{n+1}=I_{n+1}V_{n}\ {\mbox{ con }}\ I_{n}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mbox{sen}}^{n}\ t\ dt}

Por una integración por partes, se obtiene la relación:

In=n−1nIn−2{\displaystyle I_{n}={\frac {n-1}{n}}I_{n-2}}

lo que permite calcular los In también por inducción, conociendo I0 e I1.

Lafunción gamma Γ íntimamente relacionada con losfactoriales permite expresar sin inducción el volumen de una esfera de radior en dimensiónn.

Vn(r)=πn2rnΓ(n2+1){\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}

Existe la posibilidad de representar unan-esfera o hiperesfera den dimensiones comofibrado de otra hiperesfera de dimensión inferior. Esto solo sucede en tres casos:

Para dimensión superior no existen otros casos en que esto sea posible.[8]​

Esferas en otras métricas

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"Esfera" con la norma 1
"Esfera" con la norma 1

La noción de esfera se generaliza a cualquierespacio métrico(E,d){\displaystyle \scriptstyle (E,d)} así: la esfera de centroa y de radior es el conjunto de puntos de ese espacio que distanr del puntoa, es decir:

S(a,r)={x∈E,d(a,x)=r}{\displaystyle S(a,r)=\{x\in E,d(a,x)=r\}}

y la bola correspondiente es:

B(a,r)={x∈E,d(a,x)≤r}{\displaystyle B(a,r)=\{x\in E,d(a,x)\leq r\}}
"Esfera" con la norma 3
"Esfera" con la norma 3

Para no ser demasiado general, restrinjámonos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias.

Para un vectoru(x, y, z) cualquiera, se definen las normas siguientes:

||u||1 = |x| + |y| + |z|. S(O,1) es unoctaedro regular (figura a la derecha).

:u2 = √(x² + y² + z²). Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual.:ux|³ + |y|³ + |z|³). S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la izquierda).ux|,|y|,|z|). S(0,1) es un cubo.

Esferas en topología

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Cabe tener presente que el concepto geométrico y el concepto topológico de "n-esfera" no coinciden. Engeometría, la superficie de la esfera es llamada3-esfera, mientras que los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican comoS2{\displaystyle S^{2}\;}.[9]​

Esferas en física

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Una de las esferas más perfectas creadas, refractando la imagen deAlbert Einstein. Se aproxima a la esfera ideal con un error menor que el tamaño de cuarentaátomos alineados.
Laspompas de jabón son una buena representación física de la esfera.

La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico; en una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso, o entre líquidos nosolubles de diferentedensidad, existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior.

Véase también

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Referencias

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  1. ↑Bruño, G. M.Elementos de geometría.
  2. ↑García Arenas- Bertran Infante.Geometría y experiencias ISBN 968-441-0-29
  3. ↑García Arenas y Bertran Infante.Op cit.
  4. ↑García y otros.Topología 84-205-0557-9.
  5. ↑G. M. Bruño.Elementos de Geometría
  6. ↑Bruño.Op. cit.
  7. ↑abcI.P. Natansón.Problemas elementales de máximo y mínimo Suma de cantidades infinitamente pequeñas. Editorial Mir, Moscú (1977)
  8. ↑Penrose, R.:El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464,ISBN 84-8306-681-5.
  9. ↑Weisstein, Eric W.«Esfera». En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research. 

Bibliografía

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  • Roger Penrose (2005):The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe.
  • William Dunham. "Pages 28, 226",The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities,ISBN 0-471-17661-3.
  • Yann Rocher (ed.),Globes. Architecture et sciences explorent le monde, Norma/Cité de l'architecture, Paris, 2017.

Enlaces externos

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Control de autoridades
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