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Epicicloide

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La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radior = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radioR = 3).

Laepicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a unacircunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo deruleta cicloidal.

Ecuación

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Considerando la figura podemos escribir:

(1)x=(r1+r2)sen α −r2 cosγ{\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma }

(2)y=(r1+r2)cos α +r2 senγ{\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma }

conγ=α+β−π/2{\displaystyle \gamma =\alpha +\beta -\pi /2} y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e:r1 α=l1=l2=r2 β{\displaystyle r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta }. De aquí se tiene queβ=r1r2α{\displaystyle \beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha }

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide:x=(r1+r2)sen α −r2 sen [α(1+r1r2)]{\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}

y=(r1+r2)cos α −r2 cos [α(1+r1r2)]{\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}

Casos particulares

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Cuandor1r2{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}} es un número racional, i.e.,k=r1r2=pq{\displaystyle k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}}, siendop yq números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=r2, i.e,k=1{\displaystyle k=1} obtenemos unacardioide.

Cuando r1=2r2, i.e,k=2{\displaystyle k=2} obtenemos unanefroide.

Ejemplos

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  • ejemplos de epicicloides
  • k=1
    k=1
  • k=2
    k=2
  • k=3
    k=3
  • k=4
    k=4
  • k=2,1=21/10
    k=2,1=21/10
  • k=3,8=19/5
    k=3,8=19/5
  • k=5,5=11/2
    k=5,5=11/2
  • k=7,2=36/5
    k=7,2=36/5

Curvas cíclicas

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Curva cíclica

La directriz es unarecta
d = rd < rd > r
cicloidetrocoide
cicloide normalcicloide acortadacicloide alargada
La directriz es unacircunferencia
d = rd < rd > r
La generatriz es exterior a al directrizepicicloideepitrocoide
epicicloide normalepicicloide acortadaepicicloide alargada
La generatriz es interior a al directrizhipocicloidehipotrocoide
hipocicloide normalhipocicloide acortadahipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatrizpericicloideperitrocoide
pericicloide normalpericicloide acortadapericicloide alargada

Véase también

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Referencias en la Web

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