Unnúmero entero es un elemento delconjunto numérico que contiene losnúmeros naturales; que son[1] o; dependiendo de cómo se definan, sus opuestos, y en la segunda definición, además elcero.[2] Los enteros negativos, como −1 o −13 (se leen «menos uno», «menos trece», etc.), son menores que cero y también son menores que todos los enterospositivos. Para resaltar la diferencia entrepositivos ynegativos, se puede escribir un signo «menos» delante de los negativos: -1, -5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra letra inicial del vocabloalemánZahlen («números», pronunciado[ˈtsaːlən]).[3]
En la recta numérica los números negativos se encuentran a la izquierda del cero y los positivos a su derecha.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron aeducación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
Ciertas magnitudes, como latemperatura o laaltura, usan valores por debajo del cero. La altura delEverest es 8848metros por encima delnivel del mar, y por el contrario, la orilla delmar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
La palabra entero procede dellatíninteger que significa "entero" o (literalmente) "intacto", dein ("no") mástangere ("tocar"). "Entire" deriva del mismo origen a través de la palabraFrenchentier, que significa tantoentero comoentero.[4] Históricamente el término se utilizaba para unnúmero que era múltiplo de 1,[5][6] o a la parte entera de unnúmero mixto.[7][8] Sólo se consideraban enteros positivos, lo que convertía el término en sinónimo denúmero naturals. La definición de número entero se amplió con el tiempo para incluirnúmero negativos a medida que se reconoció su utilidad.[9] Por ejemploLeonhard Euler en su 1765Elementos de Álgebra definió los números enteros para incluir tanto los números positivos como los negativos.[10] Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos hasta mediados del siglo XIX.[9]
El uso de la letra Z para denotar el conjunto de los números enteros proviene de la palabraalemánZahlen ("números")[11][12] y se ha atribuido aDavid Hilbert.[13] El uso más antiguo conocido de la notación en un libro de texto se produce enAlgébre escrito por el colectivoNicolas Bourbaki, que data de 1947.[11][14] La notación no se adoptó inmediatamente, por ejemplo otro libro de texto utilizaba la letra J[15] y en un artículo de 1960 se utilizó Z para designar los enteros no negativos.[16] Pero en 1961, Z se utilizaba generalmente en los textos modernos de álgebra para designar los enteros positivos y negativos.[17]
El símbolo es a menudo anotado para denotar varios conjuntos, con uso variable entre diferentes autores:, o para los enteros positivos, o para los enteros no negativos, y para los enteros distintos de cero. Algunos autores usan para enteros no nulos, mientras que otros lo usan para enteros no negativos, o para-1, 1 (elgrupo de unidades de). Además, se utiliza para denotar ya sea el conjunto deintegros de módulop (es decir, el conjunto declases de congruencia de enteros), o el conjunto dep-ádicos.[18][19]
Los números enteros fueron sinónimos de los enteros hasta principios de la década de 1950.[20][21][22] A finales de la década de 1950, como parte del movimientoMatemática moderna,[23] Los profesores de primaria estadounidenses empezaron a enseñar que los "números enteros" se referían a losnúmeros naturaless, excluyendo los números negativos, mientras que los "enteros" incluían los números negativos.[24][25]"Número entero" sigue siendo ambiguo en la actualidad.[26]
Cuando elminuendo es más pequeño que elsustraendo, laresta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombreganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice queperdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso:ganó en total operdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es unaganancia negativa.
Losnúmeros naturales 0, 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan paracontar. Al añadirles un signomenos («−») delante se obtienen los números negativos:
Unnúmero entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signomenos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...
Además, para diferenciarlos mejor, a los números naturales se les añade un signomás («+») delante y se les llama números positivos.
Unnúmero entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signomás. «+».
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signomás omenos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
Losnúmeros enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letraZ, también escrita en «negrita de pizarra» comoℤ :
Los números enteros negativos son menores que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza larecta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama elvalor absoluto:
Elvalor absoluto de un número entero es la distancia que hay del origen (cero) hasta un punto dado. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».
Ejemplos. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
Elorden de los números enteros se define como:
Dados dos números enteros de signos distintos,+a y−b, el negativo es menor que el positivo:−b < +a.
Dados dos números enteros con el mismo signo, elmenor de los dos números es:
El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
En esta figura, elvalor absoluto y elsigno de un número se representan por el tamaño delcírculo y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado elsigno y elvalor absoluto del resultado.
Parasumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo:
El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
↑Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier, eds.Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 14.ISBN9788421659854.|fechaacceso= requiere|url= (ayuda)
↑Smedley, Edward; Rose, Hugh James; Rose, Henry John (1845).Encyclopædia Metropolitana. B. Fellowes. p. 537. «Un número entero es múltiplo de la unidad».
↑Pisano, Leonardo; Boncompagni, Baldassarre (transliteración) (1202).Incipit liber Abbaci compositus a Lionardo filio Bonaccii Pisano en el año Mccij (Manuscrito). Museo Galileo. p. 30. «Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant. [Y las fracciones se ponen siempre después del entero, por lo que primero se escribe el entero y luego la fracción]»
↑abMartinez, Alberto (2014).Negative Math. Princeton University Press. pp. 80-109.
↑Euler, Leonhard (1771).Vollstandige Anleitung Zur Algebra [Introducción Completa al Álgebra]1. p. 10. «Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden. [Todos estos números, tanto positivos como negativos, se llaman números enteros, que son mayores o menores que nada. Los llamamos números enteros, para distinguirlos de las fracciones, y de varios otros tipos de números de los que hablaremos en adelante.]»
↑The University of Leeds Review(en inglés). 31-32. University of Leeds. 1989. p. 46. «Incidentalmente, Z viene de "Zahl": la notación fue creada por Hilbert.»
↑Bourbaki, Nicolas (1951).Algèbre, Capítulo 1(en francés) (2nd edición). Paris: Hermann. p. 27. «Le symétrisé deN se noteZ; ses éléments sont appelés entiers rationnels. [El grupo de diferencias deN' se denota porZ; sus elementos se llaman los enteros racionales.]»
↑Birkhoff, Garrett (1948).Teoría de redes (Revised edición). American Mathematical Society. p. 63. «el conjuntoJ de todos los enteros».
↑Society, Canadian Mathematical (1960).Canadian Journal of Mathematics. Canadian Mathematical Society. p. 374. «Consideremos el conjuntoZ de enteros no negativos».
↑Keith Pledger y Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
↑LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
↑Mathews, George Ballard (1892).Theory of Numbers. Deighton, Bell and Company. p. 2.
↑Betz, William (1934).Matemáticas juveniles para hoy. Ginn. «Los números enteros, o enteros, cuando se disponen en su orden natural, como 1, 2, 3, se llaman enteros consecutivos.»
↑Peck, Lyman C. (1950).Elementos de Álgebra. McGraw-Hill. p. 3. «Los números que surgen de este modo se llaman números enteros positivos, o enteros positivos.»
