Unaelipse es una curva plana, simple[1] ycerrada con dosejes de simetría que resulta al cortar la superficie de uncono recto o de revolución por un plano oblicuo al eje de simetría, que no contiene al vértice, con ángulo mayor que el de lageneratriz respecto del eje de revolución.[2] Suexcentricidad es inferior a la unidad, no tiene puntos impropios por lo que nos encontramos ante una curva cerrada.
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera unesferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también laimagen afín de una circunferencia.[3]
Laelipse es ellugar geométrico de todos lospuntos de unplano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamadosfocos, es constante.
Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro deTebas (Egipto)
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada porMenecmo, investigada porEuclides, y su nombre se atribuye aApolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602,Kepler creía que la órbita deMarte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con elSol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609.Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba unaórbita elíptica alrededor del Sol.[4]
Losfocos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro,F1 yF2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier puntoP de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud deldiámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.
SiF1 yF2 son dos puntos de un plano, y2a es una constante mayor que la distanciaF1F2, un puntoP pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
donde es la medida del semieje mayor de la elipse.
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse.El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor.El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse.Los ejes de la elipse sonperpendiculares entre sí.
Laexcentricidadε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letrac, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con
Dado que , también vale la relación:
o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.[5]La designación tradicional de la excentricidad es la letra griegaε llamadaépsilon.
(No se debe usar la letrae para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales. Véase:número e).
En la figura de la derecha se muestran los dosradio vectores correspondientes a cada puntoP de una elipse, losvectores que van de los focosF1 yF2 aP. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno sonPF1 (azul) yPF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntosP de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntosP de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radios vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
La rectadD es una de las 2 directrices de la elipse
Cada focoF de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamadadirectriz(ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier puntoP de la elipse hasta el focoF es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese puntoP a la directriz que resulta en la igualdad:
La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramientaesferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.
Unaelipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
Además de la bien conocida relación, también es cierto que , también es útil la fórmula .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centroO es-d, la cual además es paralela a la directriz anterior. Vermás adelante cómo se dibuja la directriz.
La descripción corresponde a las imágenes de la derecha.
Losdiámetros principales oejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombradosA-B el mayor yD-C el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, comoA-A'el mayor yB-B' el menor.
El centro de la elipse se suele nombrarO (origen). En la circunferencia los focos coinciden con el centro.
Losfocos se suelen nombrar con la letraF acompañada de algún medio de diferenciarlos,F1 - F2, oF′ - F″.
Eldiámetro mayor de la elipse se suele designar 2a, siendoa el semieje mayor. El semieje menor se denominab y eldiámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se denominac.
Los segmentos que van de cadafoco a un punto de la elipse se denominanradios vectores; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.
En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse.
Lacircunferencia principal (c. p., en verde) tiene como centro el de la elipse, y como radioa. Se puede definir comoellugar geométrico de todos los pies de las tangentes a la elipse (como se ve en el ejemplo).
Lascircunferencias focales (c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a. Las circunferencias focales y la principal cumplen unahomotecia derazón = 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria).
La rectat en colorcian es unatangente por un punto cualquiera. Alpunto de tangencia se lo suele nombrarT,T1, T2, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen prolongar hasta lacircunferencia focal del foco opuesto. No coinciden con la normal a la tangente salvo en los extremos de los ejes principales.
Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son lospies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto. Está forma un círculo oblicuo que toma 2 puntos en cualquier parte de la recta
Se denominandiámetros conjugados a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de la izquierda).
Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la derecha).
Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existen varios métodos para hallar los diámetros principales a partir de los conjugados.
La definición de lasrectas directrices está en una sección anterior (véase), y también la definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de laexcentricidad de la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la imagen de la derecha.
Trazamos una perpendicular aldiámetro mayor por unfoco hasta lacircunferencia principal, dibujamos por el punto de corte unatangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.
El método se basa en la definición más corriente de la elipse, comolugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Los clavos o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.
Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos. Ver en la sección siguiente el modo de determinar los focos a partir de los ejes.
El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un eje a partir de otro y los focos, se basa en la definición. Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compás la medidaa de la mitad del eje mayor. Haciendo centro en un extremo del eje menor, el compás cruza por el eje mayor en los focos.
Focos de la elipse, y dimensiones principales
Dado el eje mayor con los focos, la medidaa aplicada a cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos del eje menor.
Dado un eje menor y la distancia de los focos, primero debemos hallar la recta sobre la que está el eje mayor, luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellos tomar la distancia a los extremos del eje menor, que es la mitad del eje mayor.
También denominado «por puntos»; con este método dibujamos un número suficiente de puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos losradios vectores y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la medida del eje mayor.
Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente cerca del foco por comodidad del dibujo.
Tomamos con el compás la distancia de un extremo del eje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Haciendo centro en cada foco trazamos arcos con esa medida. A continuación tomamos el resto de la medida del eje mayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esa medida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamos los arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos que pertenecen a la elipse.
Repitiendo la operación tantas veces como sea necesario obtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo a mano o medianteplantillas de curvas.
Se puede dibujar la elipse mediante unaregla de medir, un juego de escuadra y cartabón y un lápiz. Dibujamos los ejes principales con sus medidas, y determinamos los focos. Tomamos con la regla graduada, desde el 0, la distancia del centro al extremo del eje mayor, y después desde la marca del extremo del eje mayor, restamos la mitad del eje menor (ver dibujo). Apoyando el 0 de la regla en cualquier punto del eje menor y la diferencia calculada en el eje mayor, marcamos la medida del eje mayor. Para más claridad véase el dibujo.
Esta misma operación se puede hacer con una tarjeta, y de ahí su nombre tradicional, haciendo marcas en el borde con las medidas dadas.
Para construirla con reglas y compás marcamos puntos arbitrarios en el eje menor. Tomando con el compás la medida de la mitad de la diferencia entre el eje mayor y el menor, hacemos centro en los puntos y señalamos puntos correspondientes en el eje mayor, a ambos lados. Dibujamos rectas desde los puntos del eje menor a sus correspondientes del eje mayor, prolongándolas. Sobre esas rectas, con el compás y desde cada punto del eje mayor, tomamos la medida de la mitad del eje menor, marcándola sobre la línea, lo que nos da los puntos de la elipse.
Existe una máquina sencilla (unelipsógrafo) hecha a base de guías o raíles y barras y llamadacompás de Arquímedes, que se basa en este principio.
Partimos de las rectas de los ejes principales. Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros sean los de la elipse. Para hallar un punto trazamos un radio cualquiera de la circunferencia mayor fuera de los ejes. Desde el extremo del radio trazamos una recta auxiliar, paralela al eje menor, hacia dentro de la circunferencia. Desde el punto donde el radio corta la circunferencia menor trazamos una recta auxiliar paralela al eje mayor, que cruce la línea auxiliar que acabamos de hacer. El punto donde se cortan las dos auxiliares pertenece a la elipse.
Repitiendo la operación se obtienen todos los puntos que sean necesarios; la elipse se completa a mano o con plantillas. Normalmente por comodidad el dibujo se sistematiza; en lugar de los radios dibujamos diámetros completos, los trazos auxiliares verticales y horizontales se hacen de una vez mediante paralelas a los ejes.
En este método se puede considerar una de las circunferencias como una doble transformaciónafín de la otra, y los puntos unidos por el mismo radio serían entonces afines. Una de las líneas auxiliares es la recta de afinidad de dos puntos (uno en la circunferencia, otro en la elipse), mientras la otra línea auxiliar da la reducción que corresponde
También se puede considerar la relación de las dos circunferencias unahomología en la que el centro de homología coincide con el centro de una circunferencia, mientras su homóloga pertenece a un plano paralelo y también es concéntrica; estas homologías conrectas límiteimpropias sonhomotecias.
A partir de dos diámetros conjugados (A-B y C-D) se puede realizar la siguiente construcción, en la que hacemos afines los extremos del diámetro conjugado menor (C y C', la línea de afinidad en azul) con el de una circunferencia auxiliar de diámetro igual al mayor y perpendicular a él (en rojo), mientras el diámetro mayor es el eje de afinidad. Cada punto de la circunferencia es afín a otro de la elipse.
Una construcción corriente para dibujar una elipse o un arco de elipse en unparalelogramo es hacerlo afín a otro ortogonal en el que podamos trazar un arco de circunferencia o una circunferencia completa. Esto es útil en particular para elipses proyectadas enaxonométrica u otraproyección cilíndrica.
Como se ve en el dibujo hacemos que dos puntos sean afines, así como dos rectas que se corten en otra que hará de eje de afinidad. El resto consiste en ir trasportando puntos y rectas mediante otras rectas afines conocidas, normalmente los lados de los paralelogramos o sus diagonales (véase el dibujo).
En el cubo de la derecha se aprecia el principio que se aplica. Es importante señalar que en axonométrica este procedimiento no equivale en general a unabatimiento.
Construcción por haces proyectivos, o del paralelogramo. En la variante tradicional ponemos tantos puntos en el eje menor como en los lados delrectángulo paralelos al eje menor; unimos estos desde los extremos del eje menor (C y D). Luego pasamos rectas desde esos extremos hasta los puntos del eje mayor, hasta cortar la recta correspondiente. Los puntos de cruce pertenecen a la elipse.
En la segunda imagen vemos el mismo procedimiento aplicado a dos diámetros conjugados; el rectángulo se hace romboide, pero sigue funcionando la construcción como una proyección afín de la otra.
En otra variante (ver imagen animada) dibujamos puntos a distancias iguales, proporcionales lado a lado, en un rectángulo exterior tangente a la elipse, que tiene los lados paralelos al eje menor de doble tamaño. Vamos uniendo en orden cada punto correspondiente como se ve en la imagen,desde los extremos el eje mayor. Los puntos que se cortan de las rectas correspondientes pertenecen a la elipse.
Construcción de la elipse según el método del paralelogramo
La elipse es un caso particular dehipotrocoide, dondeR =2r, siendoR el radio de la circunferencia directriz, yr el radio de la circunferenciageneratriz.
En una curva hipotrocoide, lacircunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferenciadirectriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.
Determinada trasformación delplano (al deformar elplano cartesiano), se denominaanamorfosis. El término anamorfosis proviene del idioma griego y significa trasformar.
Al transformar una circunferencia o una elipse mediante unaafinidad o unahomología el resultado es otra elipse (o una circunferencia como caso especial de elipse).
Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante unaanamorfosis, donde el eje Y se ha contraído o el X se ha dilatado.
Otra modificación del plano contenedor; los ejes no se deforman ortogonalmente, sino que cada punto corresponde a otro según una homología de centro impropio (afinidad).
Otra modificación del plano (homología)
Otra modificación del plano (libre, sobre un elipsoide)
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en una red de cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos. Este procedimiento era muy utilizado para realizar perspectivas ilusionistas, anamórficas, llamadastrampantojos.
dondea > 0 yb > 0 son los semiejes de la elipse, donde sia corresponde al eje x (abscisa) yb al eje de y (ordenada) la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es el punto medio del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF'se llama distancia focal y vale2c = 2εa, siendoε laexcentricidad ya elsemieje mayor.
El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamadaanomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamadosemi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado. Elsemi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.
Laecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje mayor y el menor, es:
conno es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino laanomalía excéntrica de la elipse. La relación entre y θ es
.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado es:
con. El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en.
Sin embargo, el matemáticoRamanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:
La elipse es la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la rectageneratriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva simple cerrada. En otro caso la intersección pudiera ser un círculo, unahipérbola o unaparábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales o curvas planas se las llamasecciones cónicas o simplementecónicas.
Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian solo en el tamaño (pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Física[8] acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas.
Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud.
Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, medianteanamorfosis, podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporción. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la misma longitud, la tenían ya al principio.
No deben confundirse las elipses semejantes con laselipses cofocales.
Enmecánica celesteclásica, dosmasas puntuales sometidas exclusivamente ainteracción gravitatoria describen unaórbita elíptica (o circular[9]) la una en torno a la otra cuando la órbita es cerrada. Un observador situado en cualquiera de las masas verá que la otra describe una elipse uno de cuyos focos (o centro) está ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parámetros de la trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades relativas. Los planetas y el Sol satisfacen la condición de masas puntuales con gran precisión porque sus dimensiones son mucho más pequeñas que las distancias entre ellos. Lacinemática de la órbita se rige por lasleyes de Kepler.
En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" está más cerca de la "estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio,[10] pero de tal manera que suvelocidad areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales y sus arcost0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo iguales,Δt =t1 - t0. La "estrella" está situada enP, uno de los focos de la elipse.
En un vaso de agua con forma de cilindro recto, cuando se inclina, la superficie del agua tiene forma de elipse. En algunas estaciones de metro de planta elíptica la conversación de algunas personas que están cerca de los focos de elipse de la estación se pueden escuchar en otras partes del recinto como si los hablantes estuvieren al lado. Esto ocurre porque las palabras se transmiten por al aire mediante ondas y llegan a algún lugar. Hay una propiedad de la elipse que dice que una línea secante a una elipse rebota en uno de los puntos de corte contra ella y pasa por uno de sus dos focos y eso es lo que pasa en las estaciones de metro.[cita requerida]
↑ Una curva simple es una curva que no se corta a sí misma. Por ejemplo el 8 es una curva plana que no es simple.
↑Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es menor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la intersección será unahipérbola. Será unaparábola si es paralelo al citado eje, y unacircunferencia si es perpendicular dicho eje.
