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Ecuación de Schrödinger

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La famosaecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríacoErwin Schrödinger en 1925 y publicada en el 1926, describe la evolución temporal de unapartícula subatómica cuántica con masa en elcontexto no relativista. Es de importancia central en la teoría de lamecánica cuántica ordinaria, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a lasegunda ley de Newton en lamecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a laspartículas elementales, tales comoelectrones, así como sistemas de partículas, tales comonúcleos atómicos.

Es muy importante en muchas aplicaciones, aunque en contextos relativistas debe ser reemplazada por el tratamiento de lateoría cuántica de campos, ya que la ecuación de Schrödinger no contempla los procesos de creación de pares oaniquilación de partículas.

Ecuación

Ecuación dependiente del tiempo

La forma de la ecuación de Schrödinger depende de la situación física. La forma más general es la ecuación dependiente del tiempo, la cual describe un sistema que evoluciona con el paso del tiempo:^[1]

Unafunción de onda que satisface la ecuación no relativista de Schrödinger conV = 0. Es decir, corresponde a una partícula viajando libremente a través del espacio libre. Este gráfico es laparte real de lafunción de onda.

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo(general)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

dondei es launidad imaginaria,ħ es la «constante de Planck reducida» o «constante de Dirac» (constante de Planck dividida por2π), el símbolo∂/∂t indica unaderivada parcial con respecto al tiempot,Ψ (la letra griegapsi) es lafunción de onda del sistema cuántico, yĤ es eloperador diferencial Hamiltoniano (el cual caracteriza la energía total de cualquier función de onda dada y tiene diferentes formas que dependen de la situación).

Cada una de las tres filas es una función de onda que satisfacen la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para unoscilador armónico cuántico. A la izquierda: La parte real (azul) y la parte imaginaria (rojo) de la función de onda. A la derecha: Ladistribución de probabilidad de hallar una partícula con esta función de onda en una posición determinada. Las dos filas de arriba son ejemplos deestados estacionarios, que corresponden aondas estacionarias. La fila de abajo es un ejemplo de un estado queno es estacionario. La columna de la derecha ilustra por qué el estado puede llamarse "estacionario".

El ejemplo más famoso es la ecuación de Schrödingerno relativista para una partícula simple moviéndose en uncampo eléctrico (pero no en uncampo magnético; ver laecuación de Pauli):^[2]

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo(partícula simpleno relativista)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$

dondeμ es la "masa reducida" de la partícula,V es suenergía potencial,∇² es elLaplaciano (un operador diferencial), yΨ es la función de onda (más precisamente, en este contexto, se la denomina "función de onda posición-espacio"). Es decir, significa que la "energía total es igual a laenergía cinética más laenergía potencial".

Según los operadores diferenciales que se utilizan, se observa que es unaecuación diferencial en derivadas parciales lineal. También es un caso de unaecuación de difusión, pero no como laecuación del calor, ya que también es una ecuación de onda dada porunidad imaginaria presente en el término de transitorio.

El término"ecuación de Schrödinger" puede referirse a la ecuación general (la primera de arriba), o la versión específica no relativista (la segunda y sus variantes). La ecuación general se usa en toda la mecánica cuántica, desde laecuación de Dirac hasta lateoría de campos cuánticos, mediante la utilización de expresiones complicadas para el Hamiltoniano. La versión no relativista específica es una aproximación simplificada a la realidad, la cual tiene bastante precisión en muchas situaciones, pero muy imprecisa en muchas otras (vermecánica cuántica relativista yteoría cuántica de campos relativista).

Para aplicar la ecuación de Schrödinger, se utiliza para el sistema el operador Hamiltoniano, tomado en cuenta las energías cinética y potencial de las partículas que constituyen el sistema, y luego insertadas en la ecuación de Schrödinger. La ecuación en derivadas parciales resultante se resuelve para la función de onda, la cual contiene información acerca del sistema.

Ecuación independiente del tiempo

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo predice que las funciones de onda pueden tener la forma deondas estacionarias, denominadosestados estacionarios (también llamados "orbitales", como en losorbitales atómicos o losorbitales moleculares). Estos estados son importantes, y si los estados estacionarios se clasifican y se pueden comprender, entonces es más fácil de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo paracualquier estado. Laecuación de Schrödinger independiente del tiempo es la ecuación que describe los estados estacionarios. (Solo se utiliza cuando elHamiltoniano no es dependiente del tiempo. Sin embargo, en cada uno de estos casos la función de onda total seguirá dependiente del tiempo.)

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (general)

$E\Psi ={\hat {H}}\Psi$

Es decir, la ecuación dice que:

Cuando el operadorHamiltoniano actúa sobre cierta función de ondaΨ, y el resultado es proporcional a la misma función de ondaΨ, entoncesΨ es unestado estacionario, y la constante de proporcionalidad,E, es la energía del estadoΨ.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en terminología deálgebra lineal, es una ecuación conautovalores.

Una conocida aplicación, es la ecuación de Schrödingerno relativista para una partícula simple moviéndose en un campo eléctrico (pero no en uno magnético):

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (partícula simple norelativista)

$E\Psi (\mathbf {r} )=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} )$

Origen de la ecuación

Contexto histórico

Al comienzo del siglo XX se había comprobado que la luz presentaba unadualidad onda corpúsculo, es decir, la luz podía manifestarse (según las circunstancias) como partícula (fotón en elefecto fotoeléctrico), o comoonda electromagnética en la interferencia luminosa. En 1923Louis-Victor de Broglie propuso generalizar esta dualidad a todas las partículas conocidas. Propuso la hipótesis, paradójica en su momento, de que a toda partícula clásica microscópica se le puede asignar una onda, lo que se comprobó experimentalmente en 1927 cuando se observó ladifracción de electrones. Por analogía con los fotones, De Broglie asocia a cadapartícula libre con energía $E {\displaystyle E}$ ycantidad de movimiento $p {\displaystyle p}$ una frecuencia $\nu$ y una longitud de onda $\lambda$ :

$\left\{{\begin{matrix}E=h\nu \\p=h/\lambda \end{matrix}}\right.$

La comprobación experimental hecha porClinton Davisson yLester Germer mostró que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la difracción según lafórmula de Bragg se correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula deDe Broglie.

Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar de escribir una ecuación para la onda asociada de De Broglie que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es:

$E={p^{2} \over 2m}+V(r)$

El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando elprincipio de correspondencia, fue inmediato por la evaluación de los niveles cuantificados de energía delelectrón en elátomo dehidrógeno, pues ello permitía explicar elespectro de emisión del hidrógeno:series de Lyman,Balmer,Bracket,Paschen,Pfund, etc.

La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 porMax Born. En razón del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre comoAlbert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados» y del propio Schrödinger.

La derivación histórica

El esquema conceptual utilizado por Schrödinger para derivar su ecuación reposa sobre una analogía formal entre la óptica y la mecánica:

En laóptica ondulatoria, la ecuación de propagación en un medio transparente de índice realn variando lentamente a la escala de la longitud de onda conduce —mientras se busca una solución monocromática donde la amplitud varía muy lentamente ante la fase— a una ecuación aproximada denominadaeikonal. Es la aproximación de laóptica geométrica, a la cual está asociada elprincipio variacional de Fermat.
En laformulación hamiltoniana de la mecánica clásica, existe una ecuación de Hamilton-Jacobi (que en última instancia es equivalente a las leyes de Newton). Para una partícula masiva no relativista sometida a una fuerza que deriva de unaenergía potencial, la energía mecánica total es constante y la ecuación de Hamilton-Jacobi para la ”función característica de Hamilton” se parece formalmente a la ecuación de la eikonal (el principio variacional asociado es elprincipio de mínima acción.)

Este paralelismo lo había notado yaHamilton en 1834, pero él no tenía una razón para dudar de la validez de la mecánica clásica. Después de lahipótesis de De Broglie de 1923, Schrödinger dice:^{[n. 1]} la ecuación de la eikonal siendo una aproximación a la ecuación de onda de la óptica ondulatoria, buscamos la ecuación de onda de la "mecánica ondulatoria" (a realizar) donde la aproximación será la ecuación de Hamilton-Jacobi. Lo que falta, primero para una onda estacionaria (E = cte), después para una onda de cualquier tipo.^{[n. 2]}

Schrödinger había en efecto comenzado por tratar el caso de una partícularelativista —como de Broglie antes que él—.^[3] Entonces había obtenido la ecuación conocida hoy día con el nombre deKlein-Gordon, pero su aplicación al caso del potencial eléctrico del átomo de hidrógeno daba unos niveles de energía incompatibles con los resultados experimentales.^{[n. 3]} Ello hará que se concentre sobre el caso no-relativista, con el éxito conocido.

Derivación elemental

Una vez establecida el paralelismo entre la óptica y lamecánica hamiltoniana, la parte no trivial del razonamiento, la derivación de la ecuación es algo relativamente elemental. En efecto, la ecuación de onda satisfecha por la amplitudespacial de una onda monocromática estática de pulsación $\omega$ fija en un medio de índicen que varía lentamente se escribe como:

$(\Delta \ +\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}})\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

Introducimos el número de ondask dentro del medio de índicen, tal como :

$k^{2}\ =\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Se obtiene entonces laecuación de Helmholtz:

$(\Delta \ +\ k^{2})\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

La longitud de onda dentro del medio está definida por : $\lambda =2\pi /k$ . La ecuación de Helmholtz se reescribe :

$\left(\,\Delta \ +\ {\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,\right)\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

Se utiliza entonces la relación de Broglie para una partícula no relativista, para la cual la cantidad de movimientop = m v:

$\lambda \ =\ {\frac {h}{mv}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\ =\ {\frac {m^{2}\,v^{2}}{h^{2}}}$

O, la energía cinética se escribe para una partícula no relativista :

${\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}\ =\ E\ -\ V({\vec {r}})$

de donde laecuación de Schrödinger estacionaria :

$\left[\,\Delta \ +\ {\frac {8\pi ^{2}m}{h^{2}}}\,\left(\,E\ -\ V({\vec {r}})\,\right)\ \right]\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

Introduciendo el cuanto de acción $\hbar =h/2\pi$ , la ponemos en la forma habitual :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}})\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}})\ =\ E\,\psi ({\vec {r}})$

Solo resta reintroducir el tiempot explicitando la dependencia temporal para una onda monocromática, puesto que utilizando la relación de Planck-Einstein $E=\hbar \omega$ :

$\psi ({\vec {r}},t)\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \mathrm {e} ^{-\,i\,\omega \,t}\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \exp \left(-\,{\frac {i\,E\,t}{\hbar }}\right)$

Se obtiene finalmente laecuación de Schrödinger general :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}},t)\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}},t)\ =\ i\,\hbar \ {\frac {\partial \psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}$

Interpretación estadística de la función de onda

A principios de la década de 1930Max Born que había trabajado junto conWerner Heisenberg yPascual Jordan en una versión de la mecánica cuántica basada en el formalismo matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de Schrödinger compleja tiene una integral de movimiento dada por $\scriptstyle \psi ^{*}(x)\psi (x)=|\psi (x)|^{2}$ que podía ser interpretada como unadensidad de probabilidad. Born le dio a la función de onda una interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger le habían dado, y por ese trabajo recibió elpremio Nobel en 1954. Born ya había apreciado en su trabajo mediante el formalismo matricial de la mecánica cuántica que el conjunto de estados cuánticos llevaba de manera natural a construirespacios de Hilbert para representar losestados físicos de un sistema cuántico.

De ese modo se abandonó el enfoque de la función de onda como una onda material, y pasó a interpretarse de modo más abstracto como unaamplitud de probabilidad. En la moderna mecánica cuántica, elconjunto de todos los estados posibles en un sistema se describe por un espacio de Hilbertcomplejo yseparable, y cualquier estado instantáneo de un sistema se describe por un "vector unitario" en ese espacio (o más bien una clase de equivalencia de vectores unitarios). Este "vector unitario" codifica las probabilidades de los resultados de todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del sistema generalmente cambia con el tiempo, el vector estado es una función del tiempo. Sin embargo, debe recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para distintas localizaciones, en otras palabras, también es una función dex (o, tridimensionalmente, der). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambio en el vector estado.

Formulación moderna de la ecuación

Enmecánica cuántica, el estado en el instantet de un sistema se describe por un elemento $\scriptstyle \left|\Psi (t)\right\rangle$ delespacio complejo de Hilbert — usando lanotación bra-ket dePaul Dirac. Las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles de un sistema pueden obtenerse a partir de $\scriptstyle \left|\Psi (t)\right\rangle$ . La evolución temporal de $\scriptstyle \left|\Psi (t)\right\rangle$ se describe por la ecuación de Schrödinger :

\mathbf {\hat {H}} \left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\Psi (t)\right\rangle ={\frac {{\hat {\vec {\mathbf {p} }}}^{2}}{2m}}\left|\Psi (t)\right\rangle +V({\hat {\vec {\mathbf {r} }}},t)\left|\Psi (t)\right\rangle

donde

$i\,$ : es launidad imaginaria;
$\hbar \,$ : es laconstante de Planck normalizada(h/2π);
${\hat {H}}\,$ : es elhamiltoniano, dependiente del tiempo en general, elobservable corresponde a la energía total del sistema;
${\hat {\vec {\mathbf {r} }}}\,$ : es el observable posición;
${\hat {\vec {\mathbf {p} }}}\,$ : es el observableimpulso.
$V\,$ : es la energía potencial

Como con lafuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no da la ecuación de Schrödinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades físicas del sistema cuántico.

Debe notarse que, contrariamente a lasecuaciones de Maxwell que describen la evolución de las ondas electromagnéticas, la ecuación de Schrödinger es norelativista. Nótese también que esta ecuación no se demuestra: es un postulado. Se supone correcta después de que Davisson y Germer confirmaron experimentalmente la hipótesis deLouis de Broglie.

Para más información del papel de los operadores en mecánica cuántica, véase laformulación matemática de la mecánica cuántica.

Limitaciones de la ecuación

La ecuación de Schrödinger es una ecuación no relativista que sólo puede describir partículas cuyomomento lineal sea pequeño comparado con la energía en reposo dividida por lavelocidad de la luz (de no cumplirse esta condición debe acudirse a una ecuación relativista como la deecuación de Dirac o la deKlein-Gordon).
Además, la ecuación de Schrödinger no incorpora el espín de las partículas adecuadamente. Pauli generalizó ligeramente la ecuación de Schrödinger al introducir en ella términos que predecían correctamente el efecto del espín; la ecuación resultante es laecuación de Pauli.
Más tarde,Paul Dirac, proporcionó la ahora llamadaecuación de Dirac que no sólo incorporaba el espín para fermiones de espín 1/2, sino que introducía los efectos relativistas.

Resolución de la ecuación

La ecuación de Schrödinger, al ser una ecuación vectorial, se puede reescribir de manera equivalente en unabase particular delespacio de estados. Si se elige por ejemplo la base generalizada $\left|{\vec {r}}\right\rangle$ correspondiente a larepresentación de posición definida por:

${\hat {\vec {\mathbf {r} }}}\left|{\vec {r}}\right\rangle ={\vec {r}}\left|{\vec {r}}\right\rangle$

Entonces la función de onda $\scriptstyle \Psi (t,{\vec {r}})\equiv \left\langle {\vec {r}}\right|\left.\Psi (t)\right\rangle \,$ satisface la ecuación siguiente:

$i\hbar {\partial \Psi (t,{\vec {r}}) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\overrightarrow {\nabla }}^{2}\Psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}},t)\Psi (t,{\vec {r}})$

Donde ${\overrightarrow {\nabla }}^{2}\,$ es ellaplaciano. De esta forma se ve que la ecuación de Schrödinger es unaecuación en derivadas parciales en la que intervienen operadoreslineales, lo cual permite escribir la solución genérica como suma de soluciones particulares. La ecuación es, en la gran mayoría de los casos, demasiado complicada para admitir una solución analítica de forma que su resolución se hace de manera aproximada y/o numérica.

Nótese que lafunción de onda definida así, para estados ligados siempre puede interpretarse como un elemento delespacio de Hilbert complejo yseparable $\scriptstyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ , aunque paraestados de colisión ono ligados es necesario acudir aespacios de Hilbert equipados para un tratamiento riguroso.

Búsqueda de los estados propios

Los operadores que aparecen en la ecuación de Schrödinger son lineales; de lo que se deduce que toda combinación lineal de soluciones es solución de la ecuación. Esto lleva a favorecer la búsqueda de soluciones que tengan un gran interés teórico y práctico: al saber los estados que son propios del operador hamiltoniano. Estos estados, denominadosestados estacionarios, son las soluciones de la ecuación de estados y valores propios,

${\hat {H}}|\varphi _{n}\rangle =E_{n}|\varphi _{n}\rangle$

denominada habitualmenteecuación de Schrödinger independiente del tiempo. El estado propio $|\varphi _{n}\rangle$ está asociado al valor propio $E_{n}$ , escalar real que corresponde con la energía de la partícula en dicho estado.

Los valores de la energía pueden serdiscretos como las soluciones ligadas a un pozo de potencial (por ejemplo nivel del átomo de hidrógeno); resultando unacuantización de los niveles de energía. Estas pueden corresponder también a un espectro continuo como las soluciones libres de un pozo de potencial (por ejemplo un electrón que tenga la suficiente energía para alejarse al infinito del núcleo de átomo de hidrógeno).

A menudo se obtiene que numerosos estados $|\varphi _{n}\rangle$ corresponden a un mismo valor de la energía: hablamos entonces de niveles de energía degenerados.

De manera general, la determinación de cada uno de los estados propios del hamiltoniano, $|\varphi _{n}\rangle$ , y de la energía asociada, da el estado estacionario correspondiente, solución de la ecuación de Schrödinger :

$|\psi _{n}(t)\rangle \,=\,|\varphi _{n}\rangle \,\exp \left({\frac {-iE_{n}t}{\hbar }}\right)$

Una solución de la ecuación de Schrödinger puede entonces escribirse generalmente como una combinación lineal de tales estados:

$|\psi (t)\rangle \,=\,\sum _{n}\sum _{i}c_{n,i}|\varphi _{n,i}\rangle \exp \left({\frac {-iE_{n}t}{\hbar }}\right)$

Según lospostulados de la mecánica cuántica,

el escalar complejo $c_{n,i}$ es la amplitud del estado $|\psi (t)\rangle$ sobre el estado $|\varphi _{n,i}\rangle$ ;
el real $\Sigma _{i}|c_{n,i}|^{2}$ es la probabilidad (en el caso de un espectro discreto) de encontrar la energía $E_{n}$ mientras se hace una medida de la energía sobre el sistema.

Rareza de una solución analítica exacta

La búsqueda de estados propios del hamiltoniano es en general compleja. Incluso en el caso resoluble analíticamente del átomo de hidrógeno solo es rigurosamente resoluble de forma simple si se descarta elacoplamiento con el campo electromagnético que permite el paso a los estados excitados, soluciones de la ecuación de Schrödinger del átomo, desde el nivel fundamental.

Algunos modelos simples, aunque no del todo conformes con la realidad, pueden ser resueltos analíticamente y son muy útiles. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y en ocasiones son una aproximación razonable al comportamiento de sistemas más complejos (enmecánica estadística se aproximan las vibraciones moleculares comoosciladores armónicos). Ejemplos de modelos:

Lapartícula libre (potencial nulo);
Lapartícula en una caja
Un haz de partícula incidiendo sobre unabarrera de potencial
Lapartícula en un anillo
Lapartícula en un potencial de simetría esférica
Eloscilador armónico cuántico (potencial cuadrático)
Elátomo de hidrógeno (potencial de simetría esférica)
Lapartícula en una red monodimensional (potencial periódico)

En los otros casos, hay que usar técnicas de aproximación :

Lateoría perturbacional da expresiones analíticas en la forma dedesarrollos asintóticos alrededor de un problema sin-perturbaciones que sea resoluble exactamente.
Elanálisis numérico permite explorar casos inaccesibles a la teoría de perturbaciones.
Elmétodo variacional
Las soluciones deHartree-Fock
Los métodos cuánticos deMontecarlo

Límite clásico de la ecuación de Schrödinger

Inicialmente la ecuación de Schrödinger se consideró simplemente como laecuación de movimiento de un campo material que se propagaba en forma de onda. De hecho puede verse que en ellímite clásico, cuando $\hbar \to 0$ la ecuación de Schrödinger se reduce a la ecuación clásica de movimiento en términos de acción oecuación de Hamilton-Jacobi. Para ver esto, trabajaremos con la función de onda típica que satisfaga la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que tenga la forma:

$\psi (x,t)=e^{iS(x,t)/\hbar }$

Donde $S(x,t)/\hbar$ es lafase de la onda si se substituye esta solución en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, tras reordenar los términos convenientemente, se llega a que:

(4) ${\frac {\partial S}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}\right]+V(x)={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S$

Si se toma el límite $\hbar \to 0$ el segundo miembro desaparece y tenemos que la fase de la función de onda coincide con lamagnitud de acción y esta magnitud puede tomarse como real. Igualmente puesto que la magnitud de acción es proporcional a la masa de una partícula $S=ms_{m}\,$ puede verse que para partículas de masa grande el segundo miembro es mucho más pequeño que el primero:

(5) ${\frac {\partial s_{m}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left\Vert {\vec {\nabla }}s_{m}\right\Vert ^{2}+V(x)=\lim _{m\to \infty }{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta s_{m}=0$

Y por tanto para partículas macroscópicas, dada la pequeñez de la constante de Planck, los efectos cuánticos resumidos en el segundo miembro se anulan, lo cual explica porqué los efectos cuánticos sólo son apreciables a escalas subatómicas.

De acuerdo con el principio de correspondencia las partículas clásicas de gran masa, comparada con la escala cuántica, son partículas localizadas describibles mediante unpaquete de ondas altamente localizado que se desplaza por el espacio. La longitud de onda de las ondas que conformaban dicho paquete material están en torno a la longitud de De Broglie para la partícula, y lavelocidad de grupo del paquete coincide con la velocidad del movimiento de la partícula lo que reconcilia la naturaleza corpuscular observada en ciertos experimentos con la naturaleza ondulatoria observada para partículas subatómicas.

Formulación matricial

Existe una formulación matricial de la mecánica cuántica, en dicha formulación existe una ecuación cuya forma es esencialmente la misma que la de las ecuaciones clásicas del movimiento, dicha ecuación es:

(6) ${\frac {{\text{d}}{\hat {A}}}{{\text{d}}t}}\,=\,{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}-{\frac {i}{\hslash }}[{\hat {A}},\,{\hat {H}}]$

De esta ecuación es posible deducir la segunda ley de Newton, resolviendo para el operador ${\hat {p}}$ . En efecto se tiene

(7) ${\frac {{\text{d}}{\hat {p}}}{{\text{d}}t}}\,=\,-{\frac {i}{\hslash }}[{\hat {p}},\,{\hat {H}}]$

evaluando el conmutador se deduce

(8) ${\frac {{\text{d}}{\hat {p}}}{{\text{d}}t}}\,=\,-{\frac {i}{\hslash }}\left({\hat {p}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {p}}\right)\,=\,-{\frac {i}{\hslash }}\left({\frac {{\hat {p}}^{3}}{2m}}+{\hat {p}}V-{\frac {{\hat {p}}^{3}}{2m}}-V{\hat {p}}\right)\,=\,-{\frac {i}{\hslash }}({\hat {p}}V-V{\hat {p}})$

No es difícil demostrar que $V{\hat {p}}=0$ y, por tanto, se obtiene:

(9) ${\frac {{\text{d}}{\hat {p}}}{{\text{d}}t}}\,=\,-{\frac {i}{\hslash }}{\hat {p}}V\,=\,-{\boldsymbol {\nabla }}V$

donde se ha usado ${\hat {p}}=-i\hslash {\boldsymbol {\nabla }}$ . Este resultado es análogo al de la mecánica clásica, para una ecuación parecida que involucra loscorchetes de Poisson, más aún, esta ecuación es justamente la formulación Newtoniana de la mecánica.

Véase también

Gato de Schrödinger

Notas

↑Schrödinger discute en detalle las relaciones entre la mecánica hamiltoniana y la óptica en 1926 (véase bibliografía). Walter Moore;Schrödinger – Life & Thought,Cambridge University Press (1989).
↑Esta derivación se detalla en: Herbert Goldstein;Classical mechanics, Addison-Wesley (2.da edición-1980), párrafo 10.8, pp. 484–492.
↑La fórmula de Balmer obtenida es correcta, pero la estructura fina es incorrecta.

Referencias

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- Sobre la comparación entre la mecánica cuántica de Heisenberg-Born-Jordan y la mía, Annalen der Physik (4)79 (1926) [[3]] (en alemán);
- Cuantificación y valores propios (III) - Teoría de las perturbaciones con aplicación del efecto Stark a las rayas de Balmer, Annalen der Physik (4)80 (1926) [[4](enlace roto disponible enInternet Archive; véase elhistorial, laprimera versión y laúltima).] (en alemán);
- Cuantificación y valores propios (IV), Annalen der Physik (4)81 (1926) [[5](enlace roto disponible enInternet Archive; véase elhistorial, laprimera versión y laúltima).] (en alemán);
- Sobre el efecto Compton, Annalen der Physik (4)82(1927) [[6](enlace roto disponible enInternet Archive; véase elhistorial, laprimera versión y laúltima).] (en alemán);
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