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Número e

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Este artículo trata sobre la constante matemática. Para el código de aditivos alimentarios, véaseNúmero E.
Diez mil primeras cifras decimales del númeroe{\displaystyle {\text{e}}} en formatocartel

Enmatemáticas, la constantee{\displaystyle {\text{e}}\,} es uno de losnúmeros irracionales y losnúmeros trascendentes más importantes.[1]​

Es aproximadamente 2,71828 y aparece en diversas ramas de lasmatemáticas, al ser la base de loslogaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones delinterés compuesto y otros muchos problemas.[2]​

El númeroe{\displaystyle {\text{e}}\,}, conocido en ocasiones comonúmero de Euler oconstante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocésJohn Napier, quien introdujo el concepto delogaritmo en elcálculo matemático.

Juega un papel importante en elcálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática,[3]​ la función exponencial, así comoπ{\displaystyle \pi \,} lo es de lageometría y el númeroi{\displaystyle i\,} delanálisis complejo y del álgebra.

El númeroe{\displaystyle {\text{e}}\,}, al igual que el númeroπ{\displaystyle \pi \,} y elnúmero áureo (φ), es unnúmero irracional, no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también comoπ{\displaystyle \pi \,}, es unnúmero trascendente, es decir, que no puede ser raíz deecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.[4]​El valor dee{\displaystyle {\text{e}}\,} truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:

e =2,718281828459045235360...{\displaystyle {\text{e}}\ =2,718\;281\;828\;459\;045\;235\;360...}
Lista de números –Números irracionales
γ –ζ(3) –√2 –√3 –√5 –φ –α – e –π –δ –τ
Binario10.10110111111000010101…
Decimal2.718281828459045235360…
Hexadecimal2.B7E151628AED2A6B…
Fracción continua1+21+16+110+114+118+⋱{\displaystyle 1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}
Nótese que la fracción continua no es periódica.

Historia

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Leonhard Euler popularizó el uso de la letrae para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

A diferencia deπ{\displaystyle \pi \,}, la introducción del númeroe{\displaystyle {\text{e}}} en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras deEli Maor:[5]​

The story ofπ{\displaystyle \pi \,} has been extensively told, no doubt because its history goes back to ancient times, but also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics. Perhaps no book did better than Petr Beckmann'sA History of Pi, a model of popular yet clear and precise exposition. The number e fared less well. Not only is it of more modern vintage, but its history is closely associated with the calculus, the subject that is traditionally regarded as the gate to "higher" mathematics.
La historia deπ{\displaystyle \pi \,} ha sido extensivamente contada, sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor queHistoria de Pi de Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al númeroe no le fue tan bien. No solo es de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el cálculo, el tema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas "más elevadas".

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos deJohn Napier.[6]​No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta. Se cree que la tabla fue escrita porWilliam Oughtred. Unos años más tarde, en 1624,e{\displaystyle {\text{e}}} se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al númeroe{\displaystyle {\text{e}}} explícitamente en su trabajo.

La siguiente aparición dee{\displaystyle {\text{e}}} es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo lahipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara cone{\displaystyle {\text{e}}} explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curvayx=1{\displaystyle yx=1}. El númeroe{\displaystyle {\text{e}}} es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace quee{\displaystyle {\text{e}}} sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos quee{\displaystyle {\text{e}}} es descubierto, sino del estudio delinterés compuesto, problema abordado porJacob Bernoulli en 1683. Si se invierte unaUnidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo comoUM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414… En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x(1+112)12{\displaystyle (1+\textstyle {1 \over 12})^{12}} = 2,61303…UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor den (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de1n{\displaystyle \textstyle {1 \over n}}, el total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expresión:

limn→∞(1+1n)n.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}.}

Bernoulli utilizó elteorema del binomio para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar que ésta es la primera aproximación encontrada parae{\displaystyle {\text{e}}}. Incluso si aceptamos ésta como una definición dee{\displaystyle {\text{e}}}, sería la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos.De aquí proviene la definición que se da dee{\displaystyle {\text{e}}} en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capitalC y una tasa de interés anualR, proporcionaráCeR{\displaystyle Ce^{R}} UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letrab, fue en una carta deGottfried Leibniz aChristiaan Huygens en 1690 y 1691.Leonhard Euler comenzó a utilizar la letrae para identificar la constante en 1727, y el primer uso dee{\displaystyle {\text{e}}} en una publicación fue enMechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letrac,e{\displaystyle {\text{e}}} fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación cone{\displaystyle {\text{e}}} en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó suIntroductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobree{\displaystyle {\text{e}}}. Allí mostró que

e=1+11+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯{\displaystyle {\text{e}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }

y dio una aproximación parae{\displaystyle {\text{e}}} de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patrón que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir quee{\displaystyle {\text{e}}} es unnúmero irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.

La pasión que guio a mucha gente a calcular más y más cifras decimales deπ{\displaystyle \pi \,} nunca pareció replicarse de la misma manera parae{\displaystyle {\text{e}}}. Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fueWilliam Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales deπ{\displaystyle \pi }.James Whitbread Lee Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo dee{\displaystyle {\text{e}}} eran correctos, pero encontró un error que, tras ser corregido por el propio Shanks, arrojó cifras decimales de e hasta el lugar 205. De hecho, se necesita alrededor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … para obtener 200 decimales.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo dee{\displaystyle {\text{e}}} en base 10 con 272 cifras exactas.

En 1873,Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar quee{\displaystyle {\text{e}}} es trascendente. A dicho logro llegó usando unpolinomio, conseguido con ayuda defracciones continuas empleadas, anteriormente, porLambert.David Hilbert (tambiénKarl Weierstrass y otros), propuso posteriormente variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.[7]​

Definición

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El área entre el ejex{\displaystyle x} y la gráficay=x−1{\displaystyle y=x^{-1}}, entrex=1{\displaystyle x=1} yx=e{\displaystyle x=e} es1{\displaystyle 1}.

La definición más común dee{\displaystyle e} es como el valor límite de la sucesión(1+n−1)n{\displaystyle (1+n^{-1})^{n}}.[8]​ En símbolos,

e:=limn→∞(1+n−1)n{\displaystyle {\text{e}}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+n^{-1}\right)^{n}}

A veces se toma también como punto de partida, resultado deaplicar el teorema del binomio, laserie siguiente:

e=∑n=0∞(n!)−1{\displaystyle {\text{e}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n!)^{-1}}

que se expande como

e=10!+11!+12!+13!+⋯{\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }

Otra definición habitual[9]​ dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación

∫1xdtt=1,{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=1,}

es decir que se definee{\displaystyle {\text{e}}} como el número para el que

∫1edtt=1.{\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1.}

Propiedades matemáticas y aplicaciones

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Análisis matemático

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Función exponencial

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Artículo principal: Función exponencial
e es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).
e es el único númeroa, tal que la derivada de la función exponencialf(x) = ax (curva azul) en el puntox = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).

Para cualquierx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }, lasucesión(1+xn)n{\displaystyle \left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}} converge. Podemos denotar dicho límite conex{\displaystyle {\text{e}}^{x}}:

ex:=limn→∞(1+xn)n.{\displaystyle {\text{e}}^{x}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}

Se llamafunción exponencial a lafunción real cuya variable independiente recorre el conjuntoR{\displaystyle \mathbb {R} } de los números reales, y se define como

f:R→R+x↦ex{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto {\text{e}}^{x}\end{aligned}}}

El rasgo más relevante de lafunción exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) coincide con la propia función, es decir,

ddxex=ex.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Además, es la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para lasecuaciones diferenciales.

El desarrollo en serie de la funciónf(x)=ex{\displaystyle f(x)={\text{e}}^{x}} se realiza mediante lafórmula de Maclaurin. Puesto que

f(x)=f′(x)=f″(x)=...=fn+1(x)=ex,{\displaystyle f(x)=f^{'}(x)=f^{''}(x)=...=f^{n+1}(x)={\text{e}}^{x},}
f(0)=f′(0)=f″(0)=...=fn+1(0)=1,{\displaystyle f(0)=f^{'}(0)=f^{''}(0)=...=f^{n+1}(0)=1,}

la fórmula de Maclaurin se escribe de la siguiente manera:

ex=∑k=0nf(k)(0)k!xk+Rk(x)=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+O(xn+1){\displaystyle {\text{e}}^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}

Suponiendox=1, se obtiene el valor aproximado del número

e≈1+11!+12!+13!+...+1n!{\displaystyle {\text{e}}\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}}

Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.[10]​

Problema de Steiner

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Elmáximo global dexx{\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} ocurre enx=e{\displaystyle x={\text{e}}}.

Este problema plantea encontrar elmáximo absoluto de la función

f(x)=x1/x.{\displaystyle f(x)=x^{1/x}.}

Este máximo se da precisamente ene{\displaystyle {\text{e}}}.[11]​

Asimismo,1/e{\displaystyle 1/{\text{e}}} es elmínimo absoluto de la función

f(x)=xx{\displaystyle f(x)=x^{x}\,}

definida parax>0{\displaystyle x>0}. Más en general, la función

 f(x)=xxn{\displaystyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}

alcanza su máximo global en1/e{\displaystyle 1/{\text{e}}} paran<0{\displaystyle n<0}; y el mínimo global se encuentra ene−1/n{\displaystyle {\text{e}}^{-1/n}} paran>0{\displaystyle n>0}.

Latetración infinita

xxx⋅⋅⋅{\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} o∞x{\displaystyle {^{\infty }}x}

converge si y solo sie−e≤x≤e1/e{\displaystyle {\text{e}}^{-{\text{e}}}\leq x\leq {\text{e}}^{1/{\text{e}}}}, por un teorema deLeonhard Euler.[12]​[13]​

Números complejos

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Representación geométrica de lafórmula de Euler

El númeroe{\displaystyle {\text{e}}} presenta en lafórmula de Euler un papel importante relacionado con losnúmeros complejos:

eix=cos⁡x+isen⁡x,{\displaystyle {\text{e}}^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x,\,\!}

El caso especial conx=π{\displaystyle x=\pi } es conocido comoidentidad de Euler ofórmula mística de Euler

eiπ+1=0.{\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}

de lo que se deduce que:

loge⁡(−1)=iπ.{\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

(cos⁡x+isen⁡x)n=(eix)n=einx=cos⁡(nx)+isen⁡(nx){\displaystyle (\cos x+i\operatorname {sen} x)^{n}=\left({\text{e}}^{ix}\right)^{n}={\text{e}}^{inx}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)}

que es lafórmula de De Moivre.

Esta fórmula llegó como una revelación aBenjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática.[14]​

Probabilidad y estadística

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El número e también aparece en aplicaciones a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de losdesarreglos, descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto conPierre Raymond de Montmort, también conocido comoel problema de los sombreros:[15]​ losn invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo, quien los coloca luego enn compartimentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto. La respuesta es:

P(n)=1−11!+12!−13!+⋯+(−1)nn!=∑k=0n(−1)kk!.{\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}

A medida que el númeron de invitados tiende a infinito,P(n) se aproxima a1/e. Más aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueño esn!/e redondeado al entero más cercano, para cada positivon.[16]​El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera: seaP(n){\displaystyle P(n)} la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, ...,n en sí mismo tenga al menos un punto fijo. Entonces

limn→∞P(n)=1−1e=0.6321205588...{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(n)=1-{\frac {1}{e}}=0.6321205588...}

Otra aparición dee{\displaystyle {\text{e}}} en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita de variables aleatoriasX1,X2…, condistribución uniforme en [0,1]. SeaN el menor enteron tal que la suma de las primerasn observaciones es mayor que 1:

N=min{n∣X1+X2+⋯+Xn>1}.{\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}

Luego,E(N)=e{\displaystyle E(N)={\text{e}}}.[17]​ Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias.[18]​

Sin embargo, el papel más relevante que juega el númeroe{\displaystyle {\text{e}}} en esta rama de la matemática viene dado a través de lafunción de densidad de probabilidad para ladistribución normal conmedia μ ydesviación estándar σ, que depende de laintegral gaussiana:[19]​

ϕ(x)=1σ2πe−(x−μ)2/2σ2.{\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\text{e}}^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}

El rol de esta distribución es central en la teoría y la práctica.

Teoría de números

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Las siguientes dos relaciones son corolarios directos delteorema de los números primos[20]​

e=limn→∞(pn#)pn{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}

dondepn{\displaystyle p_{n}} esn-esimoprimo ypn#{\displaystyle p_{n}\#} es elprimorial deln-esimo primo.

e=limn→∞nπ(n)/n{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}

dondeπ(n){\displaystyle \pi (n)} lafunción contadora de primos.

Geometría

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Espiral equiangular de ángulo α

Al igual queπ{\displaystyle \pi },e{\displaystyle {\text{e}}} puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo deπ/4{\displaystyle \pi /4}radianes (existen instrumentos que permiten trazar curvas con esta característica).[21]​[22]​ Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curvaP1,P2{\displaystyle P_{1},P_{2}} con una separación angular de 1radián, yri=dist⁡(Pi,O),r1<r2,{\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1}<r_{2},} entonces se tiene

r2r1=e.{\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}={\text{e}}.}

Esta construcción puede parecer forzada por el hecho de requerir medir un radián, sin embargo, esto puede conseguirse muy fácilmente si permitimos la operación de deslizar una circunferencia sobre una recta (operación más que usual dentro del conjunto decurvas mecánicas). La curva con la propiedad anteriormente señalada es un caso especial deespiral logarítmica o equiangular, y puede probarse fácilmente que a partir de su condición de «equiangularidad», su ecuación en coordenadas polares(r,θ){\displaystyle (r,\theta )} viene dada por

r(θ)=Aeθ,θ∈R,A>0.{\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}

Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo0<α≤π/2{\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2}, entonces su expresión encoordenadas polares es

r(θ)=Aecot⁡(α)⋅θ.{\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }.}

Otra manifestación relevante de e en la geometría se da con lacatenaria. La catenaria es la curva cuya forma es adoptada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de lagravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud.

Irracionalidad y trascendencia

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Artículo principal: Demostración de que e es irracional

Elnúmero reale{\displaystyle {\text{e}}} esirracional,[23]​ lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostróEuler en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación dee como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a unnúmero racional. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada porFourier, y se basa en el desarrollo en serie del número.

En 1768,J. H. Lambert (1728-1777) probó queep/q{\displaystyle {\text{e}}^{p/q}} es irracional sipq{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} es un racional positivo.

También es untrascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (verteorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con elnúmero de Liouville). La demostración de esto fue dada porCharles Hermite en 1873.[24]​Se cree quee además es unnúmero normal. No se sabe sie es unperíodo algebraico.[25]​

Fórmulas que contienen al número e

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A continuación, se exhiben varias fórmulas que involucran de diversas formas ae{\displaystyle {\text{e}}}:

1e=∑k=0∞1−2k(2k)!.{\displaystyle {\frac {1}{\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}[26]​
e=∑k=0∞4k+322k+1(2k+1)!.{\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}
e+1e−1=2+16+110+114+118+⋱.{\displaystyle {\frac {{\text{e}}+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}
e−1=11+11+11+15+11+11+19+11+11+⋱.{\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}
2=e1e1/2⋅e1/3e1/4⋅e1/5e1/6⋅e1/7e1/8⋯,{\displaystyle 2={\frac {{\text{e}}^{1}}{{\text{e}}^{1/2}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/3}}{{\text{e}}^{1/4}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}}\cdots ,}

la cual se obtiene de la identidadln⁡2=1−12+13−14⋯{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots }

e−1e=2∏k=1∞(1+1k2π2).{\displaystyle {\text{e}}-{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}
e+1e=2∏k=1∞(1+4(2k−1)2π2).{\displaystyle {\text{e}}+{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}

Identidad de Euler ofórmula mística de Euler

eiπ+1=0.{\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}

Fórmula de Stirling:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\text{e}}}\right)^{n}.}

Fórmula de Gosper:

−π212e3=∑k=1∞1k2 cos⁡(9kπ+k2π2−9).{\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12{\text{e}}^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}

Representaciones dee

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El númeroe{\displaystyle {\text{e}}} puede ser representado como unnúmero real en varias formas: comoserie infinita, comoproducto infinito, comofracción continua o comolímite de una sucesión.

Como límite

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La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos decálculo, es la propia definición dee{\displaystyle {\text{e}}}, es decir, el límite:

e=limn→∞(1+1n)n.{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

En 1975, el suizoFelix A. Keller obtuvo el límite simétrico:[27]​[28]​

e=limn→∞[(n+1)n+1nn−nn(n−1)n−1].{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].}

De lafórmula de Stirling se obtiene

e=limn→∞n⋅(2πnn!)1/n{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}} y
e=limn→∞nn!n{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}.[29]​

Se mostró también que

e=limn→∞(pn#)pn{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}

dondepn{\displaystyle p_{n}} es enésimoprimo ypn#{\displaystyle p_{n}\#} es elprimorial del enésimo primo.

e=limn→∞nπ(n)/n{\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}

dondeπ(n){\displaystyle \pi (n)} lafunción contadora de primos.

Como serie o suma infinita

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e=12∑k=0∞k+1k!{\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}
e=2∑k=0∞k+1(2k+1)!{\displaystyle {\text{e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}
e=∑k=0∞3−4k2(2k+1)!{\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}
e=∑k=0∞(3k)2+1(3k)!{\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}
e=∑k=0∞2k+3(k+2)!{\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2k+3}{(k+2)!}}}[30]​
e=∑k=1∞knBn(k!){\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}} dondeBn{\displaystyle B_{n}} es eln{\displaystyle n}-esimonúmero de Bell.

Algunos ejemplos de esta última caracterización:

e=∑k=1∞k22(k!){\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}
e=∑k=1∞k35(k!){\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}
e=∑k=1∞k415(k!){\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}
e=∑k=1∞k552(k!){\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}}
e=∑k=1∞k6203(k!){\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}}
e=∑k=1∞k7877(k!){\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}}

Como producto infinito

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El númeroe{\displaystyle {\text{e}}} puede expresarse también medianteproductos infinitos «del tipo Wallis» de diversas formas,[31]​ incluyendo el producto dePippenger[32]​[33]​

e=2(21)1/2(2343)1/4(45656787)1/8(89109101112111213141314151615)1/16⋯,{\displaystyle {\text{e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac {10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14}{13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,}

el producto de Catalán

e=(21)1/1(41⋅3)1/2(6⋅85⋅7)1/4(10⋅12⋅14⋅169⋅11⋅13⋅15)1/8⋯,{\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,}

y el producto de Guillera[34]​[35]​

e=(21)1/1(221⋅3)1/2(23⋅41⋅33)1/3(24⋅441⋅36⋅5)1/4⋯,{\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}

donde eln-ésimo factor es lan-ésima raíz del producto

∏k=0n(k+1)(−1)k+1(nk),{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}

como también el producto infinito

e=2⋅2(ln⁡(2)−1)2⋯2ln⁡(2)−1⋅2(ln⁡(2)−1)3⋯.{\displaystyle {\text{e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}

Como fracción continua

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El desarrollo decimal dee no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con lasfracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

e=2+11+12+11+11+14+11+11+16+11+⋯,{\displaystyle {\text{e}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}},}

lo que se escribee=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,…,2n,1,1,…]{\displaystyle {\text{e}}=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]}, propiedad descubierta porLeonhard Euler[36]​ (A003417 enOEIS). En fracción continua no normalizada se tiene

e=2+22+33+44+55+66+77+⋯{\displaystyle {\text{e}}=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}}}}}}

En ambos casos,e presenta regularidades no fortuitas.

Dígitos conocidos

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El número de dígitos conocidos dee ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[37]​[38]​ En 1949,J. von Neumann y su grupo utilizaron elENIAC para obtener 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench hallaron hasta 100.265 en 1961 con la fórmula de Euler con un IBM 7090. Se emplearon 2,5 horas. Ya para 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell habían llegado a 10.000.000 de decimales.

En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. Así, porejemplo, en el año 2000, utilizando el programa de cálculo PiFast33 en un ordenadorPentium III 800, se obtuvieron12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesitaron 167 horas.

Número de dígitos decimales conocidos dee{\displaystyle {\text{e}}}
FechaCantidad de cifrasRealizador del cálculo
16901Jacob Bernoulli
171413Roger Cotes[39]​
174823Leonhard Euler[40]​
1853137William Shanks[41]​
1871205William Shanks[42]​
1884346J. Marcus Boorman[43]​
19492,010John von Neumann (en elENIAC)
1961100,265Daniel Shanks yJohn Wrench[44]​
1978116,000Steve Wozniak en elApple II[45]​
199410 000 000Robert Nemiroff y Jerry Bonnell[46]​
Mayo de 199718 199 978Patrick Demichel
Agosto de 199720 000 000Birger Seifert
Septiembre de 199750 000 817Patrick Demichel
Febrero de 1999200 000 579Sebastián Wedeniwski
Octubre de 1999869 894 101Sebastián Wedeniwski
21 de noviembre de 19991 250 000 000Xavier Gourdon
10 de julio de 20002 147 483 648Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 20003 221 225 472Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 20006 442 450 944Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 200012 884 901 000Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 200325 100 000 000Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 200350 100 000 000Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007100 000 000 000Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009200 000 000 000Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
21 de febrero de 2010500 000 000 000Alexander J. Yee[47]​
5 de julio de 20101 000 000 000 000Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
24 de junio de 20151 400 000 000 000Matthew Hebert[48]​

En la época computacional del cálculo de e las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

Primeras cien cifras decimales

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Las cien primeras cifras dee{\displaystyle {\text{e}}} son:

e≈2,7182818284{\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284}5904523536{\displaystyle 5904523536}0287471352{\displaystyle 0287471352}6624977572{\displaystyle 6624977572}4709369995{\displaystyle 4709369995}9574966967{\displaystyle 9574966967}6277240766{\displaystyle 6277240766}3035354759{\displaystyle 3035354759}4571382178{\displaystyle 4571382178}5251664274{\displaystyle 5251664274}

Cuestiones abiertas sobree{\displaystyle {\text{e}}}

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Cultura popular

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A diferencia del número π, el número e no es tan popular como el primero. Sin embargo, hay cientos de entusiastas que memorizan sus dígitos. El récord actual lo posee Sharma, Rahul con 25 000 cifras memorizadas y la plusmarca de la categoría con malabares es de 571.[51]​

Véase también

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Referencias

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  40. ↑Leonhard Euler,Introductio in analysin infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1,page 90.
  41. ↑William Shanks,Contributions to Mathematics, … (London, England: G. Bell, 1853),page 89.
  42. ↑William Shanks (1871)"On the numerical values ofe, loge 2, loge 3, loge 5, and loge 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals,"Proceedings of the Royal Society of London,20 : 27-29.
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  48. ↑A list of notable large computations of e
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Bibliografía

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Enlaces externos

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