Enmatemáticas, unafracción,número fraccionario, (del vocablolatínfrāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado o separado)[1] es la expresión de una cantidaddividida entre otra cantidad, es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llamafracción común,fracción mixta ofracción decimal. Las fracciones comunes se componen de:numerador,denominador y línea divisora entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común el denominador "b" expresa la cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador "a" indica cuántas de ellas se toman.
Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.
Suele utilizarse lafigura geométrica (que representa la unidad) seccionada en una cantidad de partes iguales para mostrar el denominador, y se colorean (u omiten) las que se toman para distinguir la cantidad que indica el numerador.
Notación y convenciones:
En una fracción común, el denominador se lee como númeropartitivo (ejemplos:1/4 se lee «un cuarto»,3/5 se lee «tres quintos»);
Una fracción negativa es la que tiene valor negativo;
Una fracción genéricaa/b representa el producto dea por elrecíproco (multiplicativo) deb, de tal modo que; si tantoa comob son números negativos , el producto es positivo, por lo que se escribe:a/b;
Toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de«fracción».
Unnúmero irracional no admite una escritura en forma denúmero fraccionario, o de razón, su expansión decimal seráinfinita no-periódica, como por ejemplo elnúmero π, elnúmero e, elnúmero áureo y algunas raíces cuadradas y cúbicas.
Unafracción simple (también conocida comofracción común ofracción vulgar) es unnúmero racional de la formaa/b, dondea yb sonnúmeros enteros yb≠0. Puesto que una fracción común representa un número racional, las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales. Ejemplo; 3/4;3/4; (¾); fraccióntres cuartos: numerador3 y denominador4, representa alnúmero decimal 0.75, en porcentaje: 75%.
Las fracciones comunes pueden clasificarse en propias e impropias. Unafracción propia es aquella en la que el numerador y el denominador son positivos y el numerador es menor que el denominador, por ejemplo. Por el contrario, unafracción impropia será la fracción en donde el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo. En general, una fracción común es una fracción propia si elvalor absoluto es estrictamente menor que uno — es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1 —.[2][3]
Unafracción mixta onúmero mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribirunidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.[4]
Toda fracción impropia puede escribirse como número mixto:, en donde denota (donde, es laparte entera). Como ejemplos:
Larazón es la comparación de dos cantidades por sucociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. En el caso de números racionales toda razón se puede expresar en forma de fracción y eventualmente como undecimal. Generalmente se expresa como"a es ab" oa:b, y corresponde a la fraccióna/b.
Unafracción inversa es una fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador, es decir, la fracción inversa de una fraccióna/b esb/a. Como ejemplos, y su fracción inversa, y su fracción inversa.
Un caso especial de fracción inversa es lafracción unitaria, que es una fracción común en la cual el numerador es igual a 1 y el denominador es un entero positivo:, ya que los números enteros pueden escribirse como una fracción con denominador igual a uno. Así, las fracciones unitarias son losrecíprocos multiplicativos de losnúmeros naturales (es decir de losenterospositivos). Lasfracciones egipcias son otro ejemplo de aplicación de las fracciones unitarias.
Unafracción compuesta es aquella cuyo numerador o denominador (o ambos) contienen a su vez fracciones o números mixtos. Por ejemplo, y son fracciones compuestas. Para reducir una fracción compuesta a una simple, se le asigna el orden preferente de la división a la línea divisoria mayor de la fracción. Por ejemplo:
Si, en una fracción compuesta, no hay una vía clara de indicar qué líneas de la fracción toman preferencia, entonces la expresión está formada impropiamente y es ambigua. Así, 5/10/20/40 es una expresión matemática pobremente escrita, con múltiples valores posibles.
Unafracción decimal es una fracción del tipo, es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Por convención, se tomaa positiva. Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, comonúmero decimal exacto (Por ejemplo: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal simplemente multiplicando por una potencia apropiada de (Por ejemplo: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracción decimal no es necesariamente irreducible.
Unporcentaje es una forma de expresar un número como una fracción decimal, concretamente como fracción con denominador 100. Se utiliza para denotarlo el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación. Como ejemplo,
La expresión de un númeropor mil (1.000‰), es una manera de expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un porcentaje; se escribe con el signo ‰.Unaparte por billón (notadoppb) es una unidad de medida para expresar concentraciones extremadamente pequeñas.
Unafracción egipcia es el tipo de representación de fracciones utilizado en elAntiguo Egipto. Una fracción común positiva se escribe por medio de una suma de fracciones unitariasdistintas, es decir que ninguno de los sumandos tiene el mismo denominador, por ejemplo. Todo número racional positivo se puede expresar como suma de fracciones unitarias (es decir, como fracción egipcia), si bien la representación no es única. Por ejemplo puede escribirse como y también como.
Dos o más fracciones sonequivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto. Por ejemplo, las fracciones,, y son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio». Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) el numerador y el denominador por el mismo número, es decir, por uno.
Ejemplo:
en donde.
en donde.
Una forma de saber si dos fracciones y son equivalentes es comprobar si son iguales: las fracciones son equivalentes si (la igualdad se obtiene al operar en).[6]
De esta manera, las fracciones equivalentes son reducibles, puesto que el numerador y el denominador no sonprimos entre sí y pueden ser simplificadas en unafracción irreducible, en la que el numerador y el denominador sonprimos entre sí. El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele representarse por la únicafracción equivalente irreducible del conjunto. Un caso específico es cuando el numerador es unmúltiplo del denominador, entonces, al reducirla se obtiene cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros, por lo que se denominafracción aparente oentera.
Más generalmente, dada unafracción reducible (el numerador y el denominador comparten factores comunes diferentes a la unidad), esta siempre se puede reducir (es decir,simplificar) hasta obtener unafracción equivalente irreducible. La noción defracción irreducible se generaliza alcuerpo de cocientes de cualquierdominio de factorización única: todo elemento de este cuerpo puede escribirse como una fracción en la cual el numerador y el denominador soncoprimos.
La comparación de dos fracciones se utiliza para comprobar cuál es mayor. Existen varios casos, dependiendo de los numeradores y los denominadores de estas. Se dice que las fracciones sonhomogéneas si tienen el mismo denominador y que las fracciones sonheterogéneas si tienen diferentes denominadores.
Si las fracciones son homogéneas — el denominador de las dos fracciones es el mismo —, la fracción con el mayor numerador es mayor que la otra.
puesto que 5>2.
Si el numerador de las dos fracciones positivas es el mismo, la fracción con el menor denominador es mayor que la otra. Esto es bastante natural: si se tienen dos tartas iguales, una para repartir entre más personas que la otra, la que se reparta entre menos personas estará partida en porciones más grandes.
Una manera de comparar fracciones con distintos numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Para comparar y, se convierten en fracciones equivalentes y. Entoncesbd es un común denominador y los numeradoresad ybc pueden ser comparados.
? da que
No es necesario determinar el valor del denominador común para ser comparadas. Este atajo es conocido como «multiplicación cruzada». Se compara únicamentead ybc, sin calcular el denominador.
?
Multiplicando ambas partes de cada fracción por el denominador de la otra, se obtiene un denominador común:
?
Los denominadores ahora son iguales, pero no es necesario calcular su valor – únicamente los numeradores necesitan ser comparados. Puesto que 5×17 (= 85) es mayor que 4×18 (= 72),.
Generalmente, cuando se tiene que calcular el denominador común de fracciones, se utiliza elmínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores de las fracciones originales, que el mínimo denominador común de estas.
Las fracciones pueden ser mayor, menor o igual si se comparan con la unidad.[7] Para compararlas se procede a comparar el numerador y el denominador de la fracción.
Si el numerador esmenor que el denominador, la fracción es menor que la unidad.
Si el numerador esmayor que el denominador, la fracción es mayor que la unidad.
Si el numerador esigual al denominador, la fracción es equivalente a la unidad.
Para sumar o restar fracciones, se distinguen dos casos: si tienen el mismo denominador, entonces se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador común.
Es posible que el resultado se pueda simplificar:
.
O si tienen distinto denominador, hay que obtener fracciones equivalentes a las fracciones dadas, para que tengan denominador común y luego sumar o restar. Por ejemplo
.
Este método se puede expresar de forma algebraica como
En realidad, no hace falta obtener fracciones equivalentes de modo que el denominador resultante sea el producto de los denominadores de las fracciones iniciales. Basta con tomar elmínimo común múltiplo de los denominadores. Al final de la operación, puede que haga falta realizar otra simplificación. Esto se representaría así:
Se toma el mínimo común múltiplo de los denominadores (21) y se procede a dividir este por los mismos denominadores y luego multiplicarlo por sus numeradores correspondientes. Así quedando definido el numerador del resultado (21:7=3, 3*2=6 y 21:3=7, 7*1=7. Entonces 7+6=13). Esta solo es una forma simplificada de la anterior.
Para multiplicar dos fracciones, basta multiplicar los numeradores por una parte y los denominadores por otra. Como ejemplo,
.
Durante la operación, si el numerador de una fracción y el denominador de otra —y viceversa— tienen algúnfactor común, se puede cancelar, puesto que es multiplicar y dividir por dicho factor en la fracción resultante. Este atajo se conoce como «cancelación» y permite reducir los términos a multiplicar. La expresión algebraica de manera general sería
.
En la división de fracciones, el numerador de la fracción resultante es el producto del numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor, mientras que el denominador es igual al denominador de la fracción dividendo multiplicado por el numerador de la fracción divisor. Otra manera de imaginarlo es que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por elinverso de ese número, por lo que la división de dos fracciones es igual a la multiplicación de la primera fracción por el inverso de la segunda:
Una fracción puede contenerradicales en su numerador, denominador o ambos. Si el denominador contiene radicales, puede ser de gran ayudaracionalizar estos, especialmente si se van a realizar operaciones, tales como laadición o la comparación de una fracción con otra. Es también conveniente si ladivisión tiene que realizarse explícitamente. Cuando el denominador es unaraíz cuadrada, esta puede racionalizarse mediante la multiplicación del numerador y el denominador por la raíz del denominador. Como ejemplo,
.
Esto también puede extenderse en el caso de que el numerador sea la raíz de algúnmonomio,binomios u otras estructuras algebraicas de ese tipo.
En álgebra, una fracción algebraica es aquella cuyo numerador y denominador sonexpresiones algebraicas. Por ejemplo es una fracción cuyo numerador es el polinomiox² y denominador es el polinomiox²-9; el valor de la fracción dependerá del valor de la variablex.
Cuando el numerador y el denominador de una fracción algebraica sonpolinomios, se le llamafracción racional. Estas se puedendescomponer en fracciones parciales, que consiste en expresar uncociente depolinomios como suma de fracciones de polinomios de menorgrado, siempre y cuando el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Por el contrario, las fracciones que no son racionales son las que contienen una variable bajo un exponente fraccionario o una raíz como por ejemplo.
Una expansión de Engel es unasucesión de números enteros positivos tales que
Si la sucesión es finita, corresponde a unnúmero racional que es la representación dex en forma defracción egipcia. Esta representación se puede expresar como «variante ascendente» de una fracción continua como
En elAntiguo Egiptose calculaba utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son las primeras fracciones utilizadas para representar las «partes de un entero», por medio del concepto derecíproco de unnúmero entero.[8] Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un cuarto, etc., de ahí que las sumas defracciones unitarias se conozcan comofracción egipcia. Se puede demostrar además, que cualquier número racionalpositivo se puede escribir como fracción egipcia. Eljeroglífico de una boca abierta
denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.
Losbabiloniosutilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60. Elsistema chino denumeración con varillas permitía la representación de fracciones. Losgriegos yromanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.Diofanto de Alejandría (siglo IV) escribía y utilizaba fracciones. Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal» de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó de restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadasfracciones vulgares ocomunes. Finalmente, se introducen las «fracciones decimales», en donde el denominador se escribe como una potencia de diez.
Se cree que las fracciones decimales eran conocidas por los matemáticos chinos en el siglo I, y que de ahí se extendió su uso a medio Oriente y Europa.[9] J. Lennart Berggren nota que un sistema posicional con fracciones decimales fue utilizado por el matemático árabeAbu'l-Hasan al-Uqlidisi en el siglo X.[10]
Khwarizmi introduce lasfracciones en los países islámicos en el siglo IX. La forma de representar las fracciones provenía de la representación tradicional china, con el numerador situado sobre el denominador, pero sin barra separadora. Esta forma de escritura de las fracciones con el numerador arriba y el denominador abajo, sin barra horizontal, fue utilizada también en el siglo X porAbu'l-Hasan al-Uqlidisi y en el siglo XV porJamshīd al-Kāshī en su trabajoLa llave de la aritmética.
Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en suLiber Abaci (Libro del Ábaco), escrito en 1202, expone una teoría de los números fraccionarios. Las fracciones se presentan comofracciones egipcias, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos. Además, describe su uso y las desarrolla dentro del marco moderno de lasseries matemáticas.
El uso moderno fue definitivamente introducido porSimon Stevin en el siglo xvi.[11]
