Lacuadrivelocidad es unamagnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de lateoría de la relatividad, que es tangente a latrayectoria de dicha partícula a través delespacio-tiempocuatridimiensional que generaliza el concepto de velocidad de lamecánica newtoniana.

De la misma manera que la velocidad${\displaystyle \mathbf{v}}$ enmecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría de la relatividad la cuadrivelocidad${\displaystyle \mathbf{V}}$ es la derivada temporal de las coordenadas de posición respecto altiempo propio de la partícula:

(1)${\displaystyle V^i=\frac{d{x}^i}{d\tau }}$

Dada la relación entre el tiempo coordenado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad viene dado por:

${\displaystyle \mathbf{V}=(\gamma c;\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z)=\left(\frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};\frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\in \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^3}$

Donde${\displaystyle \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)}$ es la velocidad newtoniana convencional y${\displaystyle \gamma }$ es elfactor de Lorentz. Es importante notar que el "módulo" de dicha velocidad, es constante debido a que:

${\displaystyle |\mathbf{V}|:=\sqrt{-g(\mathbf{V},\mathbf{V})}=\sqrt{-{\eta }_{\alpha \beta }{V}^{\alpha }{V}^{\beta }}=\sqrt{-{\gamma }^2(-c^2+v_x^2+v_y^2+v_z^2)}=c\sqrt{\frac{1-\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}=c}$

En relatividad las cosas son bastante más complicadas, particularmente si el espacio-tiempo no esestacionario. Ya que la relación entre lavelocidad coordenada y la velocidad física de una partícula es funcionalmente complicada. Si bien el "módulo" la cuadrivelocidad es igual a la constantec, la velocidad coordenada numéricamente puede superar a lavelocidad de la luz (esto pasa porque la velocidad coordenada, por ejemplo, no es un tensor). La cuadrivelocidad o velocidad física puede definirse como la derivada respecto al tiempo propio:

${\displaystyle V^{\alpha }=\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }}$

donde eltiempo propio dependerá del caminoL seguido por la partícula:

${\displaystyle \tau ={\int }_L\left[\sqrt{-g_{00}}dt+\frac{g_{0\alpha }d{x}^{\alpha }}{c\sqrt{-g_{00}}}\right]}$

Si el espacio tiempo es estacionario entonces existe un sistema de coordenadas donde eltensor métrico cumpla que${\displaystyle g_{0\alpha }=0}$ y donde${\displaystyle g_{00}}$ no dependa de la coordenada temporal, y en ese caso puede escogerse unafoliación que define un tiempo universal. Y la integral anterior es más sencilla de evaluar.

En el caso general, la cuadrivelocidad se define como:

${\displaystyle \mathbf{V}=\left(\frac{c}{\sqrt{-g_{00}-⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩}},\frac{\mathbf{v}}{\sqrt{-g_{00}-⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩}}\right)}$

Donde${\displaystyle ⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩={\kappa }_{ab}{v}^a{v}^b}$ siendo${\displaystyle v^a}$ las componentes de la velocidad coordenada,${\displaystyle a,b\in \{1,2,3\}}$ y${\displaystyle {\kappa }_{ab}=g_{ab}-(g_{0a}{g}_{0b}/g_{00})}$.

Análogamente a lo que sucede en mecánica newtoniana, donde lacantidad de movimiento y la velocidad son dos vectores proporcionales, en mecánica relativista sus análogos elcuadrimomento y la cuadrivelocidad son dos vectores que difieren sólo en una constante de proporcionalidad, que se identifica con lamasa en reposo:

${\displaystyle \mathbf{P}=m\mathbf{V}=\left(\frac{E}{c};p_x,p_y,p_z\right)=\left(\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)}$

• Cuadrivector
• Cuadrimomento
• Cuadriaceleración
• Anexo:Glosario de relatividad

• Relatividad