Engeometría del plano euclídeo, uncuadrilátero es unpolígono con cuatroaristas y cuatrovértices o también de forma coloquial, con cuatro lados y cuatro esquinas. A veces se usa el términocuadrángulo por analogía contriángulo, al igual quetetrágono por consistencia conpentágono que tiene cinco lados,hexágono que tiene seis lados y, en general, con los polígonos den lados (en este caso, conn=4 lados).
La palabracuadrilátero se deriva de las palabras latinas "quadri", una variante de cuatro y "latus", que significa "lado".
Los cuadriláteros sonpolígonos simples (no autointersecantes) ocomplejos (autointersecantes), también llamados cruzados. Los cuadriláteros simples también pueden clasificarse comoconvexos ocóncavos.
Es un caso especial de la fórmula de la suma de los ángulos interiores unn-gono, cuyo valor es (n-2)×180°.
Todos los cuadriláteros cuyos lados no se cruzan entre sí, automáticamenterecubren el plano mediante la rotación repetida alrededor de los puntos medios de sus lados.
Cuadrado: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí, tiene una circunferencia inscritas y otra circunscrita, además todos los cuadrados son semejantes entre sí .
Rombo: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita.
Rectángulo: sus lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí y tiene una circunferencia circunscrita.
Romboide: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.
Trapecio: En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados no consecutivos paralelos llamados bases del trapecio, y el segmento perpendicular entre las dos bases y su propia longitud son llamadas altura del trapecio
Trapezoide: En geometría euclídea plana, un trapezoide es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos.
En el gráfico ilustrativo de lataxonomía de los cuadriláteros se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido de lasflechas.
Así se parte de un cuadrilátero definido como unpolígono cerrado de cuatro lados, sin más restricciones, para diferenciar a continuación los cuadriláteros compuestos de los simples.
Cóncavos. En un cuadrilátero cóncavo al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.
Convexos. Un cuadrilátero convexo no tiene ángulos interiores que midan más de 180°. El cuadrilátero convexo general sería eltrapezoide. Los convexos se subdividen en:
Cuadrilátero cíclico, si se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices.
Trapecio isósceles, cuyos lados no paralelos son de igual medida. Este trapecio también es cíclico.
A un cuadrilátero que al mismo tiempo sea cíclico y tangencial se le denominacuadrilátero bicéntrico. Eldeltoide es tangencial con dos pares de lados iguales.
Un caso particular de trapecio isósceles es cuando la longitud de una de las bases es igual que la de sus lados, por lo cual se configura untrapecio de tres lados iguales.
En un cuadrilátero convexo, todos los ángulos interiores son inferiores a 180° y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero.Trapezoide o cuadrilátero irregular: ninguno de sus lados son paralelos entre sí
Trapecio: Al menos un par de lados opuestos sonparalelos. Los trapecios incluyen a los paralelogramos.
Trapecio isósceles: Un par de lados opuestos son paralelos y losángulos de cada base son iguales entre sí. Otras definiciones alternativas son: un cuadrilátero con un eje de simetría que divide un par de lados opuestos; o un trapecio con diagonales de igual longitud.
Paralelogramo: Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Condiciones equivalentes son que los lados opuestos sean de igual longitud; que los ángulos opuestos sean iguales; o que las diagonales se bisequen entre sí (es decir, se corten en sus puntos medios). Al conjunto de los paralelogramos pertenecen los rombos (incluidos los que tienen sus ángulos rectos, es decir, los cuadrados) y los romboides (incluidos los que tienen sus ángulos rectos, los rectángulos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los romboides y todos los rombos, y por lo tanto también incluyen todos los rectángulos y todos los cuadrados.
Rombo: Sus cuatro lados tienen la misma longitud. Una condición equivalente es que las diagonales se bisecan perpendicularmente entre sí. Informalmente: "un cuadrado cizallado" (pero estrictamente, incluyendo un cuadrado también).
Romboide: Un paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen longitudes distintas y algunos de sus ángulos sonoblicuos (equivalentemente, sin ángulos rectos). Informalmente: "un rectángulo cizallado". No todas las referencias están de acuerdo, y en algunas se define un romboide como un paralelogramo que no es un rombo.[4]
Rectángulo: Sus cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que las diagonales se corten entre sí y que los cuatro segmentos resultantes tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen a los cuadrados.
Cuadrado (cuadrilátero regular): Sus cuatro lados tienen la misma longitud (es equilátero) y los cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo), que las diagonales se bisequen perpendicularmente entre sí y que tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si es tanto un rombo como un rectángulo (cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
Oblongo: Es un término que a veces se usa en textos en lengua inglesa para denominar a un rectángulo que tiene lados adyacentes desiguales (es decir, para referirse estrictamente aun rectángulo queno es un cuadrado).[5]
Deltoide: Posee dos pares de lados adyacentes de igual longitud. Esto implica que una diagonal divide el deltoide en dos partescongruentes, por lo que los ángulos comprendidos entre los dos pares de lados desiguales son iguales en medida. También implica que las diagonales son perpendiculares entre sí. Los deltoides también incluyen a los rombos.
Cuadrilátero circunscrito: Los cuatro lados son tangentes a una circunferencia inscrita. Un cuadrilátero convexo es tangencial si y solo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales entre sí.
Un cuadriláteroautointersecante se puede denominar de varias formas:cuadrilátero cruzado,cuadriláteromariposa olazo de pajarita. En un cuadrilátero cruzado, los cuatro ángulosinteriores a cada lado del cruce (dosagudos y dosobtusos, todos a la izquierda o todos a la derecha a medida que se traza la figura) suman 720°.[10]
Untrapecio cruzado[11] es un cuadrilátero autointersecante en el que (como en el caso de untrapecio), un par de lados no adyacentes son paralelos entre sí.
Antiparalelogramo: Es un cuadrilátero cruzado en el que (como en unparalelogramo) cada par de lados no adyacentes tienen la misma longitud.
Rectángulo cruzado: Es un antiparalelogramo cuyos lados son dos lados opuestos y las dos diagonales de unrectángulo, y por lo tanto, tienen un par de lados opuestos paralelos.
Cuadrado cruzado: Se trata de un caso especial de un rectángulo cruzado, donde dos de los lados se cruzan en ángulo recto.
Sea el cuadrilátero inscrito de ladosa,b,c yd; de diagonales perpendiculares que al intersecarse determinan los segmentosm yn en uno de ellos, yp yq en el otro, y cuyo radio de la circunferencia circunscrita se denominaR. En tal caso, son válidas las igualdades siguientes:[12]
Las dosdiagonales de un cuadrilátero convexo son lossegmentos que conectan vértices opuestos.
Las dosbimedianas de un cuadrilátero convexo son los segmentos rectilíneos que conectan los puntos medios de los lados opuestos.[13] Se cruzan en elcentroide de vértices del cuadrilátero.
Las cuatrom-alturas de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado a través del punto medio del lado opuesto.[14]
El área se puede expresar en términos trigonométricos como
donde las longitudes de las diagonales sonp yq y el ángulo entre ellas esθ.[15] En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (por ejemplo, rombo, cuadrado o deltoide), esta fórmula se reduce a ya queθ es 90°.
El área también se puede expresar en términos de las bimedianas como[16]
donde las longitudes de las bimedianas sonm yn y el ángulo entre ellos esφ.
Lafórmula de Bretschneider[17] expresa el área en términos de la longitud de los lados y del valor de dos ángulos opuestos:
donde los lados (denominados consecutivamente) sona,b,c yd, dondes es el semiperímetro, y dondeA yC son dos (de hecho, cualesquiera dos) ángulos opuestos. Esto se reduce a lafórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico cuandoA +C = 180°.
Otra fórmula del área en función de la longitud de los lados y del valor de los ángulos, con el ánguloC entre los ladosb yc, yA entre los ladosa yd, es
En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en
En un paralelogramo, donde ambos pares de lados opuestos y ángulos son iguales, esta fórmula se reduce a
Alternativamente, se puede determinar el área en términos de los lados y el ángulo de intersecciónθ de las diagonales, siempre que este ángulo no sea 90°:[18]
En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en
Otra fórmula del área que incluye los ladosa,b,c yd, es:[16]
dondex es la distancia entre los puntos medios de las diagonales yφ es el ángulo entre las bimedianas.
La última fórmula del área trigonométrica que incluye los ladosa,b,c yd y el ánguloα entrea yb, es:[cita requerida]
que también se puede usar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ánguloα) simplemente cambiando el primer signo + por un -.
De hecho, tres de los cuatro valoresm,n,p yq son suficientes para la determinación del área, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por[23]: p. 126 Las expresiones correspondientes son:[24]
si se dan las longitudes de dos bimedianas y de una diagonal, y[24]
si se dan las longitudes de dos diagonales y de una bimediana.
El área de un cuadriláteroABCD se puede calcular usandovectores. Sean los vectoresAC yBD correspondientes a las diagonales desdeA hastaC y desdeB hastaD. El área del cuadrilátero es entonces
que es la mitad de la magnitud delproducto vectorial de los vectoresAC yBD. En elespacio euclidiano bidimensional, expresando el vectorAC como un vector libre en el espacio cartesiano igual a (x1,y1) yBD como (x2,y2), esto puede reescribirse como:
En la siguiente tabla se enumera si las diagonales en algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales sonperpendiculares y si sus diagonales tienen la misma longitud.[25] La lista se aplica a los casos más generales:
Nota 1: Los trapecios (incluidos los trapecios isósceles), en general no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios (no semejantes entre sí) y de trapecios isósceles, que tienen diagonales perpendiculares y no son ningún otro tipo de cuadrilátero.
Nota 2: En un deltoide, una diagonal divide a la otra. El deltoide más general tiene diagonales desiguales, pero hay un número infinito de deltoides (no similares) en los que las diagonales tienen la misma longitud (y que no se ajustan a la definición de otro cuadrilátero).
Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero convexoABCD se pueden calcular usando elteorema del coseno en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. Así
y
Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son:[26]
y
Generalizaciones de la ley del paralelogramo y del teorema de Ptolomeo
En cualquier cuadrilátero convexoABCD, la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado de la longitud del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales. Así
Esta relación puede considerarse como equivalente alteorema del coseno para un cuadrilátero. En uncuadrilátero cíclico, dondeA+C=180°, se reduce apq=ac+bd. Como cos(A+C)≥−1, también proporciona una prueba de la desigualdad de Ptolomeo.
La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices especificados. Las dos diagonalesp, q y las cuatro longitudes lateralesa, b, c, d de un cuadrilátero están relacionadas[30] por eldeterminante deCayley-Menger, de la siguiente manera:
Lasbimedianas de un cuadrilátero son los segmentos de línea que conectan lospuntos medios de los lados opuestos. La intersección de las bimedianas es elcentroide de los vértices del cuadrilátero.[32]
Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado) son los vértices de unparalelogramo, llamadoparalelogramo de Varignon. Tiene las siguientes propiedades:
Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal en el cuadrilátero original.
Un lado del paralelogramo de Varignon es la mitad de largo que la diagonal del cuadrilátero original a la que es paralelo.
El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto para los cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados, siempre que el área de estos últimos se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos de los que está compuesto.[33]
Elperímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.
Las dos bimedianas de un cuadrilátero y el segmento que une los puntos medios de las diagonales de ese cuadrilátero sonconcurrentes, y todas quedan divididas en dos partes iguales por su punto de intersección.[23]: p.125
En un cuadrilátero convexo con ladosa,b,c yd, la longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los ladosa yc es
dondep yq son las longituded de las diagonales.[34] La longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los ladosb yd es
Las longitudes de las bimedianas también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distanciax entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se usa el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. Entonces[22]
y
Téngase en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas son los dos que no conecta la bimediana.
En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexióndual entre las bimedianas y las diagonales:[28]
Las dos bimedianas tienen la misma longitudsi y solo si cuando las dos diagonales sonperpendiculares entre sí.
Las dos bimedianas son perpendiculares si y solo si las dos diagonales tienen la misma longitud.
(siendo una igualdad solo si las diagonales son perpendiculares e iguales)
(siendo una igualdad solo para un rectángulo)[16]
De lafórmula de Bretschneider se deduce directamente que el área de un cuadrilátero satisface que
dándose la igualdadsi y solo si el cuadrilátero escíclico o degenerado, de tal manera que la longitud de un lado es igual a la suma de los otros tres (es decir, ha colapsado en unsegmento, por lo que su área es cero).
El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad[38]
Denotando el perímetro comoL, se tiene que[38]: p.114
con igualdad solo en el caso de un cuadrado.
El área de un cuadrilátero convexo también satisface que
para longitudes de las diagonalesp yq, verificándose la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.
Seana,b,c yd las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexoABCD con el áreaK y diagonalesAC=p yBD=q. Entonces[39]
cumpliéndose la igualdad solo para un cuadrado.
Seana,b,c yd las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexoABCD con el áreaK. Entonces, se cumple la siguiente desigualdad:[40]
Entre todos los cuadriláteros con unperímetro dado, el que tiene el área más grande es elcuadrado. Esto se llamateorema isoperimétrico para cuadriláteros. Es una consecuencia directa de la desigualdad del área[38]: p.114
dondeK es el área de un cuadrilátero convexo con perímetroL. La igualdad se cumplesí y solo si el cuadrilátero es un cuadrado. El doble teorema establece que de todos los cuadriláteros con un área dada, el cuadrado tiene el perímetro más corto. El cuadrilátero con longitudes laterales dadas que tiene el áreamáxima es elcuadrilátero cíclico.[43] De todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas, elcuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande.[38]: p.119 Esto es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo satisface la condición
dondeθ es el ángulo entre las diagonalesp yq. La igualdad se cumple si y solo siθ=90°. SiP es un punto interior en un cuadrilátero convexoABCD, entonces
De esta desigualdad se deduce que el punto dentro de un cuadrilátero queminimiza la suma de distancias a losvértices es la intersección de las diagonales. Por lo tanto, ese punto es elpunto de Fermat de un cuadrilátero convexo.[44]: p.120
Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo
Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo.
El centro de un cuadrilátero se puede definir de varias maneras diferentes. El "centroide de vértices" proviene de considerar el cuadrilátero como vacío pero con masas iguales en sus vértices. El "centroide lateral" viene de considerar que los lados tienen masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplementecentroide (centro del área), proviene de considerar que la superficie del cuadrilátero tiene una densidad constante. En general, estos tres puntos no son todos el mismo punto.[45] El "centroide de vértices" es la intersección de las dosbimedianas.[46] Como con cualquier polígono, las coordenadasx ey del centroide de vértices son lasmedias aritméticas de las coordenadasx ey de los vértices. El "centroide del área" del cuadriláteroABCD se puede construir de la siguiente manera. SeanGa,Gb,Gc,Gd los centroides de los triángulosBCD,ACD,ABD,ABC respectivamente. Entonces, el "centroide del área" es la intersección de las rectasGaGc yGbGd.[47]
En un cuadrilátero convexo generalABCD, no existen analogías naturales con lacircunferencia circunscrita y laaltura de untriángulo. Pero dos de estos puntos se pueden construir de la siguiente manera. SeanOa,Ob,Oc,Od los circuncentros de los triángulosBCD,ACD,ABD,ABC respectivamente; y seanHa,Hb,Hc yHd los ortocentros de los mismos triángulos. Entonces, la intersección de las líneasOa Oc yOb Od se denominacuasicircuncentro, y la intersección de las líneasHaHc yHbHd se llama elcuasiortocentro del cuadrilátero convexo.[47] Estos puntos se pueden usar para definir unarecta de Euler de un cuadrilátero. En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentroH, el "centroide de área"G y el cuasicircuncentroO soncolineales en este orden, yHG=2GO.[47] También se puede definir uncuasicentro de nueve puntosE como la intersección de las líneasEaEc yEbEd, dondeEa,Eb,Ec,Ed son loscentros de los nueve puntos de los triángulosBCD,ACD,ABD, yABC respectivamente. EntoncesE es elpunto medio deOH.[47] Otra línea notable en un cuadrilátero convexo no paralelogramo es lalínea de Newton, que conecta los puntos medios de las diagonales, el segmento que conecta estos puntos pasa por el centroide de los vértices. Una línea más interesante (en cierto sentido dual a lalínea de Newton) es la recta que conecta el punto de intersección de las diagonales con el centroide de los vértices. La línea es notable por el hecho de que contiene el centroide (área). El centroide de los vértices divide el segmento que conecta la intersección de las diagonales y el centroide (área) en la proporción 3:1.[48]
Para cualquier cuadriláteroABCD con puntosP yQ, construidos como las intersecciones deAD yBC y deAB yCD, respectivamente, los círculos(PAB), (PCD), (QAD), y(QBC) pasan a través de un punto comúnM, llamado punto de Miquel.[49]
Dibújense los cuadrados exteriores en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que conectan loscentros de los cuadrados opuestos son (a) de igual longitud, y (b)perpendiculares. Así, estos centros son los vértices de uncuadrilátero ortodiagonal. Esto se llamateorema de Van Aubel.
Para cualquier cuadrilátero simple con longitudes de lado dadas, hay uncuadrilátero cíclico con las mismas longitudes de lado.[43]
Los cuatro triángulos más pequeños formados por las diagonales y los lados de un cuadrilátero convexo tienen la propiedad de que el producto de las áreas de dos triángulos opuestos es igual al producto de las áreas de los otros dos triángulos.[50]
Los lados de undisfenoide (color rojo) representan un cuadrilátero regular alabeado
Un cuadrilátero no plano se llama "cuadrilátero alabeado". Las fórmulas para calcular sus ángulos diédricos a partir de las longitudes de los lados y el ángulo entre dos lados adyacentes se utilizan para trabajar en las propiedades de moléculas como elciclobutano, que contienen un anillo "alabeado" de cuatro átomos.[51] Históricamente, el términocuadrilátero gauche (término tomado del francés, con el significado deno plano) también se usó para referirse a un cuadrilátero alabeado.[52] Un cuadrilátero alabeado junto con sus diagonales forma untetraedro (posiblemente no regular), y por el contrario, cada cuadrilátero alabeado proviene de un tetraedro al que se le eliminan un par dearistas opuestas.
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Diagrama de Venn cuadrilátero Cuadriláteros expresados en forma de diagrama de Venn, donde las áreas también tienen la forma del cuadrilátero que describen.
