Enteoría de la relatividad, lacuadriaceleración es uncuadrivector que define la tasa de cambio decuadrivelocidad a lo largo deltiempo propio de la partícula.

En lateoría especial la cuadriaceleración se define simplemente como:

${\displaystyle \mathbf{A}=\frac{d\mathbf{U}}{d\tau }=\left({\gamma }_u{\dot{\gamma }}_{u}c,{\gamma }_u^2\mathbf{a}+{\gamma }_u{\dot{\gamma }}_u\mathbf{u}\right)=\left({\gamma }_u^4\frac{(\mathbf{a}\cdot \mathbf{u})}{c},{\gamma }_u^2\mathbf{a}+{\gamma }_u^4\frac{\left(\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}\right)}{c^2}\mathbf{u}\right)}$,

Donde

${\displaystyle \mathbf{a}=\frac{d\mathbf{u}}{dt}}$

${\displaystyle {\dot{\gamma }}_u=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}}{c^2}{\gamma }_u^3}$

${\displaystyle {\gamma }_u=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}$ es elfactor de Lorentz para la velocidad${\displaystyle u}$. Un punto sobre una variable indica una derivada respecto a la coordenada temporal en un determinadosistema de referencia, no el tiempo propio${\displaystyle \tau }$.

En un sistema de referencia comóvil e inercial${\displaystyle \mathbf{u}=0}$,${\displaystyle {\gamma }_u=1}$ y${\displaystyle {\dot{\gamma }}_u=0}$, por lo que en dicho sistema${\displaystyle \mathbf{A}=\left(0,\mathbf{a}\right)}$. Por tanto, la magnitud de la cuadriacleración (que resulta ser un escalar invariante) es igual a la aceleración propia que dicha partida "siente" moviéndose a lo largo de sulínea de universo. Las líneas de universo que tienen una medida constante de la cuadriacleración son los "círculos de Minkowski", es decir, las hipérbolas delmovimiento rectilíneo uniformemente acelerado relativista.

Una propiedad interesante de la cuadriaceleración de una partícula es que el "producto escalar" con la cuadrivelocidad de la partícula es siempre cero:

${\displaystyle \mathbf{A}\cdot \mathbf{U}={\eta }_{\alpha \beta }{A}^{\alpha }{U}^{\beta }=0}$

Otra propiedad que consitituye una ventaja del uso de la cuadriaceleración sobre la aceleración es que incluso a velocidades importantes comparadas con la luz, la cuadriacleración se relaciona con la cuadrifuerza mediante la sencilla relación:

${\displaystyle \mathbf{F}=m\mathbf{A},F^{\mu }=m{A}^{\mu }}$

dondem es lamasa en reposo de la partícula.

Enteoría general la cuadriaceleración se define a partir de laderivada covariante de la cuadrivelocidad:

${\displaystyle A^{\lambda }:=\frac{D{U}^{\lambda }}{D\tau }=\frac{d{U}^{\lambda }}{d\tau }+{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu },U^{\lambda }=\frac{d{x}^{\lambda }}{d\tau }}$

Esta relación se cumple también en la teoría especial, cuando se usan coordenadas curvilíneas y, por tanto, también en el caso desistemas de referencia no inerciales. Cuando la cuadrifuerza es cero como en el caso de unapartícula libre o dentro de un campo gravitatorio sin ninguna otra fuerza, la forma relativista de la segunda ley de Newton se reduce a la ecuación de unageodésica:

${\displaystyle \frac{d^2{x}^{\mu }}{d{s}^2}+\sum _{\sigma ,\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \nu }^{\mu }\frac{d{x}^{\sigma }}{ds}\frac{d{x}^{\nu }}{ds}=0}$

Donde:

${\displaystyle x^{\mu }}$ son las coordenadas de posición de la partícula.

${\displaystyle s=c\tau }$ el parámetro de arco, que es proporcional altiempo propio de la partícula.

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \nu }^{\mu }}$ son lossímbolos de Christoffel correspondientes a lamétrica del espacio-tiempo.

• cuadrivector
• cuadrivelocidad
• cuadrimomento
• cuadrifuerza

• Rindler, Wolfgang (1991).Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford:Oxford University Press.ISBN 0-19-853952-5. 

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