Un cuadrado es una figura geométrica plana que consiste en cuatro puntos unidos por segmentos de igual medida, que encierran una región del plano, formando ángulos rectos.
Si se inscribe un cuadrilátero en un cuadrado, colocando los vértices en los puntos medios de los lados de este, resulta el dual, que es otro cuadrado cuya área es la mitad de la del cuadrado exterior.
Las diagonales de un cuadrado son (aproximadamente 1,414) veces la longitud de un lado del cuadrado. Este valor, conocido comoraíz cuadrada de 2 o constante de Pitágoras,[5] fue el primer número que se demostró que erairracional.
Un cuadrado también puede definirse como unparalelogramo con diagonales iguales que bisecan los ángulos.
Si una figura es a la vez un rectángulo (ángulos rectos) y un rombo (longitudes de arista iguales), entonces es un cuadrado.
Un cuadrado tiene un área mayor que cualquier otro cuadrilátero con el mismo perímetro.[9]
Un cuadrado puede estarinscrito dentro de cualquier polígono regular. El único otro polígono con esta propiedad es eltriángulo equilátero.
Si el círculo inscrito de un cuadradoABCD tiene puntos de tangenciaE enAB,F enBC,G enCD, yH enDA, entonces para cualquier puntoP en el círculo inscrito,[10]
Si es la distancia desde un punto arbitrario del plano al vérticei de un cuadrado y es elcircunradio del cuadrado, entonces[11]
Si y son las distancias desde un punto arbitrario del plano al centroide del cuadrado y a sus cuatro vértices respectivamente, entonces[12]
Las coordenadas de losvértices de un cuadrado de lados verticales y horizontales, centrado en el origen y de lado 2 son (±1, ±1), mientras que el interior de este cuadrado está formado por todos los puntos (xi,yi) con-1 <xi < 1 y-1 <yi < 1. La ecuación
especifica el límite de este cuadrado. Esta ecuación significa "x2 oy2, el que sea mayor, es igual a 1". Elcircunradio de este cuadrado (el radio de una circunferencia trazada a través de los vértices del cuadrado) es la mitad de la diagonal del cuadrado, y es igual a Luego lacircunferencia tiene la ecuación
Alternativamente la ecuación
también se puede utilizar para describir el límite de un cuadrado con centrocoordenadas (a,b), y un radio horizontal o vertical der. El cuadrado tiene, por tanto, la forma de unabola topológica según lamétrica de distancias L1.
Las simetrías diédricas se dividen en función de si pasan por vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares) Las simetrías cíclicas de la columna central se etiquetan comog por sus órdenes de giro centrales. La simetría completa del cuadrado esr8 y la no simetría se etiqueta comoa1.
Elcuadrado tiene simetría Dih4,orden 8. Hay 2 subgrupos diedros: Dih2, Dih1, y 3 subgruposcíclico: Z4, Z2, y Z1.
Un cuadrado es un caso especial de muchos cuadriláteros de simetría inferior:
Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes
Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatroángulos rectos
Un paralelogramo con un ángulo recto y dos lados iguales adyacentes
Un rombo con un ángulo recto
Un rombo con todos los ángulos iguales
Un rombo con diagonales iguales
Estas 6 simetrías expresan 8 simetrías distintas en un cuadrado.John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo.[13]
Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para loscuadriláteros irregulares.r8 es simetría completa del cuadrado, ya1 no tiene simetría.d4 es la simetría de unrectángulo, yp4 es la simetría de unrombo. Estas dos formas sonduales entre sí, y tienen la mitad del orden de simetría del cuadrado.d2 es la simetría de untrapecio isósceles, yp2 es la simetría de unacometa.g2 define la geometría de unparalelogramo.
Sólo el subgrupog4 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un cuadrado con arista dirigida.
Todotriángulo agudo tiene tresinscritos cuadrados (cuadrados en su interior tales que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En untriángulo rectángulo dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo sólo tiene dos cuadrados inscritosdistintos. Untriángulo obtuso sólo tiene un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado mayor del triángulo.
La fracción del área del triángulo que ocupa el cuadrado no es mayor que 1/2.
Engeometría esférica, un cuadrado es un polígono cuyos bordes son grandesarcos de círculo de igual distancia, que se encuentran en ángulos iguales. A diferencia del cuadrado de lageometría plana, losángulos de dicho cuadrado son mayores que un ángulo recto. Los cuadrados esféricos más grandes tienen ángulos más grandes.
Engeometría hiperbólica no existen cuadrados con ángulos rectos. Más bien, los cuadrados en geometría hiperbólica tienen ángulos menores que los ángulos rectos. Los cuadrados hiperbólicos más grandes tienen ángulos más pequeños.
Ejemplos:
Dos cuadrados pueden embaldosar la esfera en 2 cuadrados alrededor de cada vértice y ángulos internos de 180°. Cada cuadrado cubre una semiesfera por completo y sus vértices se encuentran a lo largo de un gran círculo. Ello es denominado undihedro cuadrado esférico. Elsímbolo de Schläfli es {4,2}.
Seis cuadrados pueden cubrir una esfera con 3 de ellos alrededor de cada vértice y conángulos internos de 120 grados. Esto se conoce como un cubo esférico. ElSímbolo de Schläfli es {4,3}.
Squares can tile thehyperbolic plane with 5 around each vertex, with each square having 72-degree internal angles. TheSchläfli symbol is {4,5}. In fact, for any n ≥ 5 there is a hyperbolic tiling with n squares about each vertex.
Uncuadrado cruzado es unafaceta del cuadrado, un polígono auto-intersecante creado eliminando dos aristas opuestas de un cuadrado y volviendo a conectar por sus dos diagonales. Tiene la mitad de simetría que el cuadrado, Dih2, orden 4. Tiene la mismadisposición de vértices que el cuadrado, y es vértice-transitivo. Aparece como dos triángulo 45-45-90 con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.
El interior de un cuadrado cruzado puede tener una densidad de polígonos de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del arrollamiento como sentido horario o antihorario.
Un cuadrado y un cuadrado cruzado tienen las siguientes propiedades en común:
Los lados opuestos son iguales en longitud.
Las dos diagonales son iguales en longitud.
Tiene dos líneas de simetría reflexional y simetría rotacional de orden 2 (por 180°).
↑Real Academia Española.«Cuadrado».Diccionario de la lengua española (23.ª edición).
↑Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999).Diccionario esencial de las ciencias. Espsa.ISBN84-239-7921-0. «Polígono regular de cuatro lados».
↑abWeisstein, Eric W.«Square».mathworld.wolfram.com(en inglés). Consultado el 2 de septiembre de 2020.
↑Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de los cuadriláteros. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59,ISBN1-59311-695-0.
↑«Problem Set 1.3».jwilson.coe.uga.edu. Consultado el 12 de diciembre de 2017.
↑John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Las simetrías de las cosas,ISBN978-1-56881-220-5. (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono pp. 275-278)
↑Wells, Christopher J.«Quadriláteros».www.technologyuk.net(en inglés). Consultado el 12 de diciembre de 2017.
