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Coordenadas polares

Artículo bueno

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Localización de un punto en coordenadas polares

Lascoordenadas polares o sistema de coordenadas polares son unsistema de coordenadas bidimensional en el que cadapunto del plano se determina por unadistancia y unángulo. Este sistema es ampliamente utilizado enfísica ytrigonometría.

De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un puntoO del plano, al que se llamaorigen opolo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmentoOL) que pasa porO, llamadaeje polar (equivalente al ejex del sistema cartesiano). Con este sistema de referencia y unaunidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo puntoP del plano corresponde a unpar ordenado (r, θ) donder es la distancia deP alorigen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigidaOP que va deO aP. El valor θ crece ensentido antihorario y decrece en sentido horario. La distanciar (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso delorigen,5, el valor der es 5, pero el valor de 5 es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (5,9°).

Historia

Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados

Si bien existen testimonios de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de lageometría analítica, cuando se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.

Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomoHiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de unacuerda en función del ángulo. También existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de lasestrellas.^[1] En el tratadoSobre las espirales,Arquímedes describe la llamadaespiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la geometría analítica.

En tiempos modernos,Grégoire de Saint-Vincent yBonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto de coordenada polar a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de unaespiral de Arquímedes.Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud dearcos parabólicos.

Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe asirIsaac Newton, quien en suMétodo de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.^[2]En el periódicoActa EruditorumJacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolospolo yeje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia alpolo y el ángulo respecto aleje polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar elradio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.

El término actual decoordenadas polares se atribuye aGregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez eninglés en la traducción de 1816 efectuada porGeorge Peacock delTratado del cálculo diferencial y del cálculo integral deSylvestre François Lacroix,^[3] mientras queAlexis Clairaut fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

Representación de puntos con coordenadas polares

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (puntoO) y la líneaOL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el ejeOL.

El punto (3, 60°) indica que está a una distancia de 3 unidades desdeO, medidas con un ángulo de 60° sobreOL.
El punto (4, 210°) indica que está a una distancia de 4 unidades desdeO y un ángulo de 210° sobreOL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay unacorrespondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( $r {\displaystyle r}$ , θ) se puede representar como ( $r {\displaystyle r}$ , θ ± $n {\displaystyle n}$ ×360°) o (− $r {\displaystyle r}$ , θ ± (2 $n {\displaystyle n}$ + 1)180°), donde $n {\displaystyle n}$ es unnúmero entero cualquiera.^[4]
El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.^[5] Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar $r {\displaystyle r}$ a números nonegativos $r {\displaystyle r}$ ≥ 0 y θ alintervalo [0, 360°] o [−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π] o [−π, π]).^[6]

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente engrados o enradianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones denavegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicacionesfísicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte delcálculo matemático expresan las medidas en radianes.^[7]

Conversión de coordenadas

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y lascoordenadas cartesianas

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un puntoM del plano, definidas por la distanciar al centro de coordenadas, y el ángulo $\theta$ del vector de posición sobre el ejex.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo $\theta$ sobre el eje x, y su distanciar al centro de coordenadas, se tiene:

x=r\cos \theta \,

y=r\operatorname {sen} \theta \,

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polarr es:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

(aplicando elTeorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

Para $r {\displaystyle r}$ = 0, el ángulo θ puede tomar cualquiervalor real.
Para $r {\displaystyle r}$ ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( $\arctan$ denota la inversa de la funcióntangente):

\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0{\text{ y }}y\geq 0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\text{si }}x>0{\text{ y }}y<0\end{cases}}

Para obtener $\theta$ en el intervalo $(-\pi ,\pi ]$ , se considera que $\arctan {\bigg (}{\frac {y}{x}}{\bigg )}\in {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}$ es una función creciente en su dominio:

\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y<0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y\geq 0\end{cases}}

Muchoslenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la funciónatan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la funciónatan puede recibir como parámetro la coordenadax (como ocurre enLisp).

Ecuaciones polares

Se le llamaecuación polar a la ecuación que define unacurva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo $r {\displaystyle r}$ como unafunción de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( $r {\displaystyle r}$ (θ), θ) y se puede representar como lagráfica de una función $r {\displaystyle r}$ .

Se pueden deducir diferentes formas desimetría de la ecuación de una función polar $r {\displaystyle r}$ . Si $r {\displaystyle r}$ (−θ) = $r {\displaystyle r}$ (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si $r {\displaystyle r}$ (180°−θ) = $r {\displaystyle r}$ (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si $r {\displaystyle r}$ (θ−α°) = $r {\displaystyle r}$ (θ) serásimétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son larosa polar, laespiral de Arquímedes, lalemniscata, elcaracol de Pascal y lacardioide.

Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

Circunferencia

Un círculo con ecuación $r {\displaystyle r}$ (θ) = 1

{\displaystyle r} — Un círculo con ecuación $r {\displaystyle r}$ (θ) = 1

La ecuación general para unacircunferencia con centro en ( $r {\displaystyle r}$ ₀, φ) y radio $a {\displaystyle a}$ es

r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radioa, se obtiene:^[8]

r(\theta )=a\,

Línea

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

\theta =\varphi \,

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan $m {\displaystyle m}$ donde $m {\displaystyle m}$ es lapendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φperpendicularmente al punto ( $r {\displaystyle r}$ ₀, φ) tiene la ecuación

r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,

Rosa polar

Una rosa polar con ecuación $r {\displaystyle r}$ (θ) = 2 sin 4θ

{\displaystyle r} — Una rosa polar con ecuación $r {\displaystyle r}$ (θ) = 2 sin 4θ

Larosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,

para cualquier constante $\phi _{0}$ (incluyendo al 0). Sik es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa dek pétalos cuandok esimpar, o 2k pétalos sik es par. Sik es racional, pero no entero, la gráfica es similar a una rosa, pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc., pétalos. Lavariablea representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si tomamos solo valores positivos parar y valores en el intervalo $[0,2\pi )\,$ para $\theta \,$ , la gráfica de la ecuación:

r(\theta )=\left|a\sin \left({\frac {k}{2}}\theta +\phi _{0}\right)\right|\,

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural $k\,$ . Y si $k=0\,$ , la gráfica es una circunferencia de radio $r=|a\sin(\phi _{0})|\,$

Espiral de Arquímedes

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuaciónr(θ) = θ para 0 < θ < 6π

Laespiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta porArquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

r(\theta )=a+b\theta .

Un cambio en el parámetroa producirá un giro en la espiral, mientras queb controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. Laimagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de lassecciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son laespiral logarítmica y laespiral de Fermat.

Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que elsemieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

r={\ell  \over {1+e\cos \theta }}

dondee es laexcentricidad y $\ell$ es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Sie > 1, esta ecuación define unahipérbola; sie = 1, define unaparábola; y sie < 1, define unaelipse. Para la elipse, el caso especiale = 0 resulta en un círculo de radio $\ell$ .

Números complejos

Ilustración de un número complejoz en el plano complejo

Ilustración de un número complejo en el plano complejo usando lafórmula de Euler

Cadanúmero complejo se puede representar como un punto en elplano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El número complejoz se puede representar en forma rectangular como

z=x+iy\,

dondei es launidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las fórmulas de conversión dadasarriba) como

z=r\cdot (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )

por lo que se deduce que

z=re^{i\theta }\,

dondee es laconstante de Napier.^[9] Esta expresión es equivalente a la mostrada en lafórmula de Euler. (Nótese que en esta fórmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ángulos, se asume que el ángulo θ está expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un número complejo dado se pueden usar las fórmulas de conversión vistasanteriormente.

Para las operaciones demultiplicación,división yexponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:

Multiplicación:
$r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})}\,$
División:
${\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})}\,$
Exponenciación (fórmula de De Moivre):
$(re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }\,$

Cálculo infinitesimal

Elcálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.^[10]^[11]

Cálculo diferencial

Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene

r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,

{\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}.

Para encontrar la pendiente en cartesianas de larecta tangente a una curva polarr(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema deecuaciones paramétricas

x=r(\theta )\cos \theta \,

y=r(\theta )\operatorname {sen} \theta \,

Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta

{\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\operatorname {sen} \theta \,

{\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\operatorname {sen} \theta +r(\theta )\cos \theta .\,

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)):

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\operatorname {sen} \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\operatorname {sen} \theta }}.

Cálculo integral

La regiónR está delimitada por la curvar(θ) y las semirrectas θ =a y θ =b.

SeaR una región del plano delimitada por la curva continuar(θ) y las semirrectas θ =a y θ =b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área deR viene dado por

S={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\,d\theta .

La regiónR se aproxima porn sectores (aquí,n = 5).

Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide enn subintervalos, donden es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual ab − a (la longitud total del intervalo) dividido porn (el número de subintervalos). Para cada subintervaloi = 1, 2, …,n, sea θ_i su punto medio. Se puede construir unsector circular con centro en el polo, radior(θ_i), ángulo central Δθ y longitud de arco $r(\theta _{i})\Delta \theta \,$ . El área de cada sector es entonces igual a

S_{i}={\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\Delta \theta

.

Por lo tanto, el área total de todos los sectores es

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\,\Delta \theta .

Cuanto mayor sean, mejor es la aproximación al área. En el límite, cuandon → ∞, la suma pasa a ser unasuma de Riemann, y por tanto converge en la integral

\lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\mathrm {d} \theta =S

Generalización

Usando lascoordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado comodA =dxdy. El método deintegración por sustitución para lasintegrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta lamatriz de conversión Jacobiana:

J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\operatorname {sen} ^{2}\theta =r.

Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como:

dA=J\,dr\,d\theta =r\,dr\,d\theta .

Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:

\iint _{R}f(r,\theta )\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\theta )}f(r,\theta )\,r\,dr\,d\theta .

dondeR es la región comprendida por una curvar(θ) y las rectas θ =a y θ =b.

La fórmula para el área deR mencionada arriba se obtiene tomandof como unafunción constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas fórmulas es el cálculo de laIntegral de Gauss : $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Cálculo vectorial

Elcálculo vectorial puede aplicarse también a las coordenadas polares. Sea $\mathbf {r}$ el vector de posición $(r\cos \theta ,r\operatorname {sen} \theta )\,$ , conr y $\theta$ dependientes del tiempot.

Sea

{\hat {\mathbf {r} }}=(\cos \theta ,\operatorname {sen} \theta )

unvector unitario en la dirección de $\mathbf {r}$ y

{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\operatorname {sen} \theta ,\cos \theta )

un vector unitario ortogonal a $\mathbf {r}$ . Las derivadas primera y segunda del vector de posición son:

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},

{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\quad {\dot {\overbrace {r^{2}{\dot {\theta }}} }}\quad {\hat {\boldsymbol {\theta }}}

Extensión a más de dos dimensiones

Tres dimensiones

El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.

Coordenadas cilíndricas

Un punto representado en coordenadas cilíndricas

Artículo principal: Coordenadas cilíndricas

Elsistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar porh, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, 5,h).

Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

{\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\operatorname {sen} \theta \\z&=h.\end{aligned}}

Coordenadas esféricas

Un punto representado en coordenadas esféricas

Artículo principal: Coordenadas esféricas

Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0° a 180°), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0° y 360°).Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar laaltitud y lalatitud de un punto en la superficie de laTierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitudl viene dada por θ − 180°.^[12]

Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

{\begin{aligned}x&=\rho \operatorname {sen} \phi \cos \theta \\y&=\rho \operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función, como en el caso de lahélice.

n dimensiones

Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representación para 1 o más dimensiones. Por ejemplo, para 0 dimensiones se obtiene

{\begin{aligned}x&=\rho \operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \phi \cos \theta \\y&=\rho \operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta \\z&=\rho \operatorname {sen} \gamma \cos \phi \\t&=\rho \cos \gamma \end{aligned}}

Aplicaciones

Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio delmovimiento circular y elmovimiento orbital.

Posición y navegación

Las coordenadas polares se usan a menudo ennavegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Lasaeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.

Modelado

Los sistemas que representansimetría radial poseen unas características adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por unafuerza central son también buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son lasantenas radioeléctricas, o loscampos gravitatorios, que obedecen a laley de la inversa del cuadrado (véase elproblema de los dos cuerpos).

Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo ladirectividad de unmicrófono, que caracteriza la sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de unmicrófono cardioide estándar, el más común de los micrófonos, tiene por ecuaciónr = 0,5 + 0,5 sen θ.^[13]

Campos escalares

Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En elorigen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmentefunciones racionales ologarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y así aplicar el truco.

Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z, …, por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser elseno y elcoseno funciones acotadas y r uninfinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.

Véase también

Referencias

↑Friendly, Michael.«Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization». Archivado desdeel original el 24 de diciembre de 2008. Consultado el 10 de noviembre de 2008.
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↑Smith, David Eugene (1925).History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. pp. 324.
↑«Polar Coordinates and Graphing»(PDF). 13 de abril de 2006. Archivado desdeel original el 15 de febrero de 2012. Consultado el 11 de enero de 2009.
↑David Cohen, Theodore Lee; David Sklar (2005). Thomson Brooks/Cole, ed.Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (Cuarta Edición edición).ISBN 0534402305.
↑Ian Stewart; David Tall (1983).Cambridge University Press, ed.Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane).ISBN 0521287634.
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↑Claeys, Johan.«Polar coordinates». Archivado desdeel original el 27 de abril de 2006. Consultado el 11 de enero de 2009.
↑Smith, Julius O.«Euler's Identity».Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing.ISBN 0-9745607-0-7. Archivado desdeel original el 15 de septiembre de 2006. Consultado el 11 de enero de 2009.
↑Husch, Lawrence S.«Areas Bounded by Polar Curves». Archivado desdeel original el 1 de marzo de 2000. Consultado el 11 de enero de 2009.
↑Lawrence S. Husch.«Tangent Lines to Polar Graphs». Archivado desdeel original el 21 de noviembre de 2019. Consultado el 11 de enero de 2009.
↑Wattenberg, Frank (1997).«Coordenadas esféricas». Archivado desdeel original el 22 de diciembre de 2008. Consultado el 26 de noviembre de 2008.
↑Eargle, John (2005). Springer, ed.Handbook of Recording Engineering (Fourth Edition edición).ISBN 0387284702.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobreCoordenadas polares.

Datos:Q62494
Multimedia:Polar coordinate system /Q62494

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