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Circuito RC

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Circuito RC en configuración filtro paso bajo

Uncircuito RC es uncircuito eléctrico compuesto deresistencias ycondensadores. La forma más simple de circuito RC es elcircuito RC de primer orden, compuesto por una resistencia y un condensador. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal alterna, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras. Los filtros RC más comunes son elfiltro paso alto,filtro paso bajo,filtro paso banda, y elfiltro de rechazo de banda. Entre las características de los circuitos RC está la de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

El circuito RC de la figura se encuentra alimentado por una tensión de entradaUe. Está en configuración de filtro paso bajo, dado que la tensión de salida del circuitoUa se obtiene en bornes del condensador. Si la tensión de salida fuese la de la resistencia, nos encontraríamos ante una configuración de filtro paso alto.

Este mismo circuito tiene además una utilidad de regulación de tensión, y en tal caso se encuentran configuraciones en paralelo de ambos, la resistencia y el condensador, o alternativamente, como limitador de subidas y bajas bruscas de tensión con una configuración de ambos componentes en serie. Un ejemplo de esto es el circuito Snubber.

Comportamiento en el dominio del tiempo

Carga

El sistema reaccionará de distinta manera de acuerdo a las excitaciones entrantes, como ejemplo, podemos representar la respuesta a la función escalón o la función de salto. La tensión originalmente desde el tiempo 0 subirá hasta que tenga la misma que la fuente, es decir, $U_{\rm {max}}$ .La corriente entrará en el condensador hasta que entre las placas ya no puedan almacenar más carga por estar en equilibrio electrostático (es decir que tengan la misma tensión que la fuente). De esta forma una placa quedará con carga positiva y la otra con carga negativa, pues esta última tendrá un exceso de electrones.

El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia eléctricaR y la capacidadC del condensador. El producto de la resistencia por la capacidad se llamaconstante de tiempo del circuito ( $\tau$ ) y tiene un papel muy importante en el comportamiento de este.

\tau =R\cdot C\,

Teóricamente este proceso es infinitamente largo, hasta queU(t)=U_max. En la práctica se considera que el tiempo de cargat_L se mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensión a cargar (más del 99% de ésta), es decir, aproximadamente 5 veces su constante de tiempo.

t_{L}=5\cdot \tau \,

La constante de tiempo $\tau$ marca el tiempo en el que la curva tangente en el inicio de la carga marca en intersección con la línea de máxima tensión. Este tiempo sería el tiempo en el que el condensador alcanzaría su tensión máxima si es que la corriente entrante fuera constante. En la realidad, la corriente con una fuente de tensión constante tendrá un carácter exponencial inverso (1/e^kt), igual que la tensión en el condensador.

La máxima corriente $I_{\rm {max}}$ fluye cuando el tiempo es inicial (es decir t=0). Esto es debido que el condensador está descargado, y la corriente que fluye se calcula fácilmente a través de la ley de Ohm, con:

I_{\rm {max}}={\frac {U_{\rm {max}}}{R}}\,

Respuesta natural

Circuito RC (en serie)

El circuito RC más simple que existe consiste en un condensador y una resistencia enserie. Cuando un circuito consiste solo de uncondensador cargado y unaresistencia, el condensador descargará su energía almacenada a través de la resistencia. La tensión o diferencia de potencial eléctrico a través del condensador, que depende del tiempo, puede hallarse utilizando laley de Kirchhoff de corriente, donde la corriente a través del condensador debe ser igual a la corriente a través de la resistencia. Esto resulta en laecuación diferencial lineal:

C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0

.

Resolviendo esta ecuación paraV se obtiene la fórmula de decaimientoexponencial:

V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\ ,

dondeV₀ es la tensión o diferencia de potencial eléctrico entre las placas delcondensador en el tiempot = 0.

El tiempo requerido para que el voltaje caiga hasta ${\frac {V_{0}}{e}}$ es denominado "constante de tiempo RC" y es dado por

\tau =RC\

Impedancia

La impedancia,Z_C (enohmios) de un condensador concapacidadC (enfaradios) es

Z_{C}={\frac {1}{sC}}

La frecuencia complejas es, en general, unnúmero complejo,

s\ =\ \sigma +j\omega

donde

j representa launidad imaginaria:

j^{2}=-1

$\sigma \$ es el decrecimientoexponencial constante (enradianes por segundo), y
$\omega \$ es lafrecuencia angular sinusoidal (también en radianes por segundo).

Circuito en serie

Circuito en serie RC

Viendo el circuito comodivisor de tensión, elvoltaje a través del condensador es:

V_{C}(s)={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{in}(s)

y el voltaje a través de laresistencia es:

V_{R}(s)={\frac {R}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{in}(s)

.

Funciones de transferencia

Lafunción de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje a través delcondensador es

H_{C}(s)={V_{C}(s) \over V_{in}(s)}={1 \over 1+RCs}

.

De forma similar, la función de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje de la resistencia es

H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={RCs \over 1+RCs}

.

Polos y ceros

Ambas funciones de transferencia tienen un únicopolo localizado en

s=-{1 \over RC}

.

Además, la función de transferencia de laresistencia tiene uncero localizado en elorigen.

Ganancia y fase

La magnitud de las ganancias a través de los dos componentes son:

G_{C}=|H_{C}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}

y

G_{R}=|H_{R}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}

,

y los ángulos de fase son:

\phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)

y

\phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)

.

Estas expresiones conjuntamente pueden ser sustituidas en la usual expresión para la representación porfasores:

V_{C}\ =\ G_{C}V_{in}e^{j\phi _{C}}

V_{R}\ =\ G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}

.

Corriente

La corriente en el circuito es la misma en todos los puntos del circuito ya que el circuito está en serie:

I(s)={\frac {V_{in}(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}={Cs \over 1+RCs}V_{in}(s)

Respuesta a impulso

Larespuesta a impulso para cada voltaje es la inversa de latransformada de Laplace de la correspondiente función de transferencia. Esta representa la respuesta del circuito a una entrada de voltaje consistente en un impulso o funcióndelta de Dirac.

La respuesta impulso para el voltaje del condensador es

h_{C}(t)={1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)

dondeu(t) es lafunción escalón de Heaviside y

\tau \ =\ RC

es laconstante de tiempo.

De forma similar, la respuesta impulso para el voltaje de laresistencia es

h_{R}(t)=\delta (t)-{1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)

dondeδ(t) es la funcióndelta de Dirac

Análisis de frecuencia

Lugar de Bode de $H_{C}$

{\displaystyle H_{C}} — Lugar de Bode de $H_{C}$

Un análisis de frecuencia del montaje permite determinar cuáles son lasfrecuencias que el filtro rechaza y cuáles las que acepta. Para bajas frecuencias, $H_{C}$ tiene un módulo cercano a 1 y una fase próxima a 0. Cuando la frecuencia aumenta, su módulo disminuye para tender a 0 mientras que la fase tiende a $-\pi /2$ . Por el contrario, $H_{R}$ posee un módulo cercano a 0 a bajas frecuencias y una fase próxima a $\pi /2$ y cuando la frecuencia aumenta, el módulo tiende a 1 y su fase tiende a 0.

Cuando $\omega \to 0$ :

G_{C}\to 1

y

\varphi _{C}\to 0

.

G_{R}\to 0

y

\varphi _{R}\to 90^{\circ }=\pi /2

.

Cuando $\omega \to \infty$ :

G_{C}\to 0

y

\varphi _{C}\to -90^{\circ }=-\pi /2

G_{R}\to 1

y

\varphi _{R}\to 0

.

Así, cuando la salida del filtro está tomada sobre el condensador el comportamiento es de tipofiltro paso bajo: las altas frecuencias son atenuadas y las bajas frecuencias pasan. Si la salida está tomada sobre la resistencia, se produce el proceso inverso y el circuito se comporta como unfiltro paso alto.

Lafrecuencia de corte $f_{c}$ del circuito que define el límite tiene 3 dB entre las frecuencias atenuadas y aquellas que no lo son; es igual a:

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}

(enHz)

Análisis temporal

Por razones de simplicidad, el análisis temporal se efectuará utilizando latransformada de Laplacep. Suponiendo que el circuito está sometido a unaescalón de tensión de amplitudV de entrada ( $V_{in}=0\,$ para $t=0\,$ y $V_{in}=V\,$ sinon) :

V_{in}(p)={\frac {V}{p}}

V_{C}(p)=H_{C}(p)V_{in}(p)={\frac {1}{1+pRC}}{\frac {V}{p}}

V_{R}(p)=H_{R}(p)V_{in}(p)={\frac {pRC}{1+pRC}}{\frac {V}{p}}

.

La transformada de Laplace inversa de estas expresiones resulta:

V_{C}(t)=V\left(1-e^{-t/RC}\right)

V_{R}(t)=Ve^{-t/RC}\,

.

En este caso, el condensador se carga y la tensión en los bornes tiende a V, mientras que en los bornes de laresistencia tiende a 0.

Determinación gráfica de $\tau$ para la observación de $V_{C}(t)$

{\displaystyle \tau } — Determinación gráfica de $\tau$ para la observación de $V_{C}(t)$

El circuito RC posee unaconstante de tiempo, generalmente expresado como $\tau =RC\,$ , que representa el tiempo que toma la tensión para efectuar el 63% ( $1-e^{-1}$ ) de la variación necesaria para pasar del valor inicial al final.

Igualmente es posible derivar estas expresiones de lasecuaciones diferenciales que describen el circuito:

{\frac {V_{in}-V_{C}}{R}}=C{\frac {dV_{C}}{dt}}

V_{R}=V_{in}-V_{C}\,

.

Las soluciones son exactamente las mismas que aquellas obtenidas mediante la transformada de Laplace.

Integrador

A alta frecuencia, es decir cuando $\omega >>{\frac {1}{RC}}$ , el condensador no tiene tiempo suficiente para cargarse y la tensión en los bornes permanece pequeña.

Así:

V_{R}\approx V_{in}

y la intensidad en el circuito vale por tanto:

I\approx {\frac {V_{in}}{R}}

.

Como,

V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}Idt

se obtiene:

V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{in}dt

.

La tensión en los bornes del condensador integrado se comporta como un filtro de paso-bajo.

Derivador

A baja frecuencia, es decir cuando $\omega <<{\frac {1}{RC}}$ , el condensador tiene el tiempo de cargarse casi completamente.

Entonces,

I\approx {\frac {V_{in}}{1/j\omega C}}

V_{in}\approx {\frac {I}{j\omega C}}\approx V_{C}

Ahora,

V_{R}=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R

V_{R}\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}

.

La tensión en los bornes de laresistencia derivado se comporta como un filtro de paso-alto.

Circuito en paralelo

Un circuito RC en paralelo

El circuito RC enparalelo generalmente es de menor interés que el circuito en serie. Esto es en gran parte debido a que la tensión de salida $V_{out}$ es igual a la tensión de entrada $V_{in}$ — como resultado, el circuito no actúa como filtro de la señal de entrada si no es alimentado por unafuente de corriente.

Con impedancias complejas:

I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}\,

y

I_{C}=j\omega CV_{in}\,

.

Esto muestra que la corriente en elcondensador está desfasada 90° de fase con laresistencia (y la fuente de corriente). Alternativamente, las ecuaciones diferenciales de gobierno que pueden usarse son:

I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}

y

I_{C}=C{\frac {dV_{in}}{dt}}

.

Cuando es alimentado por una fuente de corriente, la función de transferencia de un circuito RC en paralelo es:

{\frac {V_{out}}{I_{in}}}={\frac {R}{1+sRC}}

.

Véase también

Circuito RL

Enlaces externos

RC-Glied Berechnung Übergangsfrequenz und Zeitkonstante

Datos:Q939318
Multimedia:RC filters /Q939318
Recursos didácticos:Circuito RC

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