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Acción (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Enmatemáticas, y en particular enálgebra abstracta, unaacción de ungrupo $(G,*)$ sobre unconjunto $X {\displaystyle X}$ es una aplicación $\phi :G\times X\to X$ que cumple las dos condiciones siguientes:^[1]

$\forall x\in X:\ \phi (e,x)=x$ , donde $e {\displaystyle e}$ es elelemento neutro del grupo.
$\forall x\in X:\,g,h\in G,\ \phi (g*h,x)=\phi (g,\phi (h,x))$ .

En tal caso se dice que el grupo $G {\displaystyle G}$ actúa sobre $X {\displaystyle X}$ , y que el conjunto $X {\displaystyle X}$ es un $G {\displaystyle G}$ -conjunto.^[2]

Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento $g {\displaystyle g}$ de $G {\displaystyle G}$ , la aplicación $\phi _{g}=\phi (g,\cdot ):X\to X$ es unafunción biyectiva definida sobre $X {\displaystyle X}$ . En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es unhomomorfismo entre el grupo $G {\displaystyle G}$ y el grupo $S_{X}$

\theta :G\to S_{X}\ :g\mapsto \phi _{g}

donde $S_{X}$ denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de $X {\displaystyle X}$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominadogrupo simétrico de $X {\displaystyle X}$ . Se dice que el homomorfismo $\theta$ es unarepresentación del grupo $G {\displaystyle G}$ porpermutación.^[3]

Notación alternativa

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Otra notación utilizada para las acciones es $(g,x)\mapsto g\cdot x$ . Así los axiomas de acción se reescriben:

$e\cdot x=x$ .
$(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$ .

Es frecuente denominarpuntos a los elementos del conjunto $X {\displaystyle X}$ , para no causar confusión con los elementos del grupo $G {\displaystyle G}$ .

Ejemplos

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El ejemplo más sencillo es laacción trivial: para cualquier $g\in G$ y $x\in X$ , $\phi (g,x)=x$ . Cuando la acción es trivial, cada biyección $\phi _{g}$ es laaplicación identidad del conjunto $X {\displaystyle X}$ , que lleva cada elemento en sí mismo.

Elgrupo de tres elementos $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{0,1,2\}$ actúa sobre elplano complejo $\mathbb {C}$ de la siguiente manera:

$\phi (0,z)=z$ .
$\phi (1,z)=wz$ .
$\phi (2,z)=w^{2}z$ .

donde $w {\displaystyle w}$ es unaraíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz $w=1$ la acción sería trivial). Geométricamente, esta acción representarotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.

Un tipo importante de acción es aquella en la que $X {\displaystyle X}$ es unespacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de lateoría de la representación.

El núcleo de la acción y los puntos fijos

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Se define elnúcleo de una acción $\phi :G\times X\to X$ como el conjunto de todos los elementos del grupo $G {\displaystyle G}$ que actúan trivialmente sobre todo punto de $X {\displaystyle X}$ :^[4]

ker\ \phi =\{g\in G\ |\ g\cdot x=x,\ \forall x\in X\}

Para cada elemento $g {\displaystyle g}$ del núcleo, la biyección asociada $\phi _{g}$ es la identidad de $X {\displaystyle X}$ . Es por tanto elnúcleo del homomorfismo $\theta :G\to S(X)$ , y como tal es unsubgrupo normal del $G {\displaystyle G}$ .

En contraste, se denominanpuntos fijos de la acción a los elementos de $X {\displaystyle X}$ sobre los que todos los elemento de $G {\displaystyle G}$ actúan trivialmente, es decir:

x\in X

es un punto fijo si

g\cdot x=x

para todo

g\in G

Estabilizador y órbita de un punto

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Para cada elemento $x {\displaystyle x}$ de un conjunto $X {\displaystyle X}$ sobre el que actúa un grupo $G {\displaystyle G}$ , podemos definir dos subconjuntos de interés.^[5]

Subgrupos estabilizadores

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Elestabilizador de un punto $x\in X$ se compone de todos los elementos de $G {\displaystyle G}$ que actúan trivialmente sobre $x {\displaystyle x}$

G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\subset G

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo quedejan fijo $x {\displaystyle x}$ . En consecuencia, cuando $x {\displaystyle x}$ es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: $G_{x}=G$ . El núcleo de la acción es precisamente laintersección de los estabilizadores de todos los puntos de $X {\displaystyle X}$ :

ker\ \phi =\cap _{x\in X}\ G_{x}

$G_{x}$ es unsubgrupo de $G {\displaystyle G}$ , no necesariamentenormal. También es llamadosubgrupo de isotropía de $x {\displaystyle x}$ .^[6]

Órbitas de la acción

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Laórbita de $x {\displaystyle x}$ se compone de todos los elementos de $X {\displaystyle X}$ que sonimagen de $x {\displaystyle x}$ por la acción de algún elemento de $G {\displaystyle G}$ :^[7]

O_{x}=\{y\in X\ |\ \exists g\in G:\ g\cdot x=y\}\subset X

La órbita de $x {\displaystyle x}$ contiene a los elementos del conjunto $X {\displaystyle X}$ que se alcanzan desde $x {\displaystyle x}$ por la acción de $G {\displaystyle G}$ . Cuando $x {\displaystyle x}$ es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio $x {\displaystyle x}$ , esto es: $O_{x}=\{x\}$ , y viceversa.

Larelación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es unarelación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de $G {\displaystyle G}$ forman unapartición del conjunto $X {\displaystyle X}$ , lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien sondisjuntas.

Relación entre órbitas y estabilizadores

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Dado un punto arbitrario $x\in X$ , existe una biyección entre su órbita y lasclases laterales derechas (o izquierdas) en $G {\displaystyle G}$ de su estabilizador $G_{x}$ , es decir

O_{x}\leftrightarrow G/G_{x}

.^{[nota 1]}

En particular, si $G_{x}$ es un subgrupo deíndice finito en $G {\displaystyle G}$ , la órbita de $x {\displaystyle x}$ es unconjunto finito y sucardinalidad es

|O_{x}|=[G:G_{x}]

.^[8]

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadoresconjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

y\in O_{x}

entonces

G_{y}=gG_{x}g^{-1}\,

, donde

\ g\cdot x=y

Lo anterior se deriva de que si $h {\displaystyle h}$ es un elemento que deja fijo el punto $x {\displaystyle x}$ , entonces

ghg^{-1}\cdot y=gh\cdot x=g\cdot x=y

Tipos de acciones

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Una acción se llamatransitiva, o se dice que el grupoactúa transitivamente sobre un conjunto $X {\displaystyle X}$ , si dados dos elementos $x {\displaystyle x}$ e $y {\displaystyle y}$ cualesquiera de $X {\displaystyle X}$ , existe un elemento $g {\displaystyle g}$ del grupo que aplica $x {\displaystyle x}$ en $y {\displaystyle y}$ , es decir:

\forall x,y\in X\ \implies \ \exists g\in G:\phi (g,x)=y

.^[9]

Cuando la acción de un grupo

G {\displaystyle G}

es transitiva sobre unespacio topológico

X {\displaystyle X}

se dice que éste es unespacio homogéneo para el grupo

G {\displaystyle G}

.^[10]

Una acción se llaman-transitiva si dadas dos $n {\displaystyle n}$ -tuplas de elementos del conjunto $X {\displaystyle X}$ , $\langle x_{1},...,x_{n}\rangle$ e $\langle y_{1},...,y_{n}\rangle$ diferentes dos a dos (esto es, $x_{i}\neq x_{j}$ e $y_{i}\neq y_{j}$ para todo $i\neq j$ ), existe un elemento $g {\displaystyle g}$ del grupo que aplica $x_{i}$ en $y_{i}$ para cada $i=1,...,n$ . Las acciones 2-transitivas se denominan también accionesdoblemente transitivas, las 3-transitivastriplemente transitivas, etc.

Una accióndoblemente transitiva satisface la siguiente definición equivalente: una acción es doblemente transitiva si dado cualquier punto $x\in X$ , el estabilizador $G_{x}$ actúa transitivamente sobre los puntos restantes (es decir, es transitiva sobre $X\setminus \{x\}$ ).^[11]

Una acción esfiel oefectiva si el núcleo de la acción estrivial, es decir, elelemento identidad de $G {\displaystyle G}$ es el único que actúa trivialmente sobre todo punto de $X {\displaystyle X}$ . Esta condición es equivalente a que el homomorfismo $\theta :G\to S_{X}$ seainyectivo, y por tanto cada biyección $\phi _{g}$ sea distinta.^[12]

Una acción eslibre, o se dice que el grupoactúa libremente, si el único elemento de $G {\displaystyle G}$ con puntos fijos es la identidad, es decir

\exists x\in X:g\cdot x=x\implies g=1_{G}

(donde

1_{G}

denota la identidad de

G {\displaystyle G}

Acción de un grupo sobre sí mismo

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Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo $G {\displaystyle G}$ es el propio grupo, es decir $X=G$ , entonces se dice que el grupoactúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo sonpor multiplicación ypor conjugación.

Acción por multiplicación

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Todo grupo $G {\displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo por multiplicación^{[nota 2]} por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por^[13]

\varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto gh

(respectivamente

(g,h)\mapsto hg

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo $G {\displaystyle G}$ . Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo $G {\displaystyle G}$ esabeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

\theta :G\to S_{G}

es inyectivo. Por el primerteorema de isomorfía, esto significa que el grupo $G {\displaystyle G}$ esisomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si $G {\displaystyle G}$ es finito de orden $n {\displaystyle n}$ , entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo depermutaciones de n elementos, $S_{n}$ . Este resultado se conoce con el nombre deteorema de Cayley.^[14]

Acción por conjugación

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Por otro lado, todo grupo $G {\displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo porconjugación mediante la acción definida por^[15]

\varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto ghg^{-1}

El estabilizador de cada punto $g {\displaystyle g}$ está formado por los elementos de $G {\displaystyle G}$ queconmutan con $g {\displaystyle g}$ , es decir, el centralizador de $g {\displaystyle g}$ :

G_{x}=C_{G}(x)

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

\forall g,\ h\in G:\ ghg^{-1}=gg^{-1}h=h

Las órbitas bajo esta acción se denominanclases de conjugación. Los elementos delcentro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por $Z(G)$ ) forman cada uno de ellos unaclase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento $g {\displaystyle g}$ solo contiene a ese elemento entonces $g {\displaystyle g}$ pertenece al centro de $G {\displaystyle G}$ , esto es:

x\in Z(G)\iff O_{x}=\{x\}

Ecuación de clases

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La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener ladescomposición orbital degrupos finitos:

G=\bigcup _{i\in I}{\mathcal {K}}_{i}

que es launión disjunta de todas las clases de conjugación ${\mathcal {K}}_{i}$ . En consecuencia

|G|=\sum _{i\in I}|{\mathcal {K}}_{i}|

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad 1.
Para el resto de clases de conjugación, si $g_{i}$ es un representante de la clase ${\mathcal {K}}_{i}$ se tiene que

{\mathcal {K}}_{i}=O_{g_{i}}\implies |{\mathcal {K}}_{i}|=[G:G_{g_{i}}]=[G:C_{G}(g_{i})]

Uniendo ambos resultados se obtiene laecuación de clases para elorden de $G {\displaystyle G}$ :^[16]

|G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}[G:C_{G}(g_{i})]

donde $g_{1},...,g_{r}$ es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de $G {\displaystyle G}$ . La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como elteorema de Cauchy y losteoremas de Sylow.

Notas

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↑Aquí se debe entender el símbolo $/$ como elconjunto cociente de $G {\displaystyle G}$ bajo la relación de equivalencia determinada por las clases laterales, bien sean derechas o izquierdas, pues no se puede asegurar que $G_{x}$ sea un subgrupo normal.
↑Aunque es habitual utilizar la palabramultiplicación oproducto, en realidad se hace referencia a la operación del grupo, sea cual sea.

Referencias

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Bibliografía referenciada

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tom Dieck, Tammo (1987).Transformation groups. de Gruyter Studies in Mathematics8. Berlin: Walter de Gruyter & Co.ISBN 978-3-11-009745-0.MR 889050.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).Abstract Algebra (3ª edición). Wiley.ISBN 978-81-265-3228-5.
Eie; Chang (2010).A Course on Abstract Algebra.
Procesi, Claudio (2007).Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations(en inglés). Springer Science & Business Media.ISBN 9780387289298. Consultado el 10 de febrero de 2018.
Reid, Miles (2005).Geometry and topology(en inglés). Cambridge, UK New York: Cambridge University Press.ISBN 9780521613255.
Rotman, Joseph J. (1999).An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer.
Smith (2008).Introduction to abstract algebra.
Thurston, William (1980).The geometry and topology of three-manifolds. Princeton lecture notes(en inglés). Archivado desdeel original el 27 de julio de 2020. Consultado el 10 de febrero de 2018.

Bibliografía adicional

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Herstein, I. N. (1975).Topics in Algebra(en inglés) (2ª edición).
Lang, Serge (2005).Algebra (3ª edición).
Hall, Marshall (1999).The Theory of Groups.AMS.
Burnside, W. (1897).Theory of Groups of Finite Order. Cambidge University Press.
Kurosch, A. G. (1956).The Theory of Groups(en inglés). Traducido de la 2ª edición en ruso (2ª edición). Chelsea.
Gallian, Joseph A. (2012).Contemporary Abstract Algebra (9ª edición). Cengage. p. 656.ISBN 9781305657960.
Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996).Números, grupos y anillos. Addison-Wesley.ISBN 9788478290093.

Enlaces externos

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Weisstein, Eric W.«Acción de grupos». En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research.

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