Movatterモバイル変換

Saltu al enhavo

Simbolo de Legendre

Redakti ligilojn

El Vikipedio, la libera enciklopedio

Lasímbolo de Legendre, $\left({\frac {a}{p}}\right)$ , estasmultiplika funkcio uzata ennombroteorio, pri kiuargumentoj estasentjera nombro $a {\displaystyle a}$ kajprima nombro $p {\displaystyle p}$ , kaj valoras 1, -1 aŭ 0, dependante ĉu $a {\displaystyle a}$ estas, aŭ ne,kvadrata restaĵo module $p {\displaystyle p}$ , ĉi tiu difinita per lakongrua rilato intera kaj estanta, aŭ ne, nombrox, tielmaniere ke:

x^{2}\equiv a{\pmod {p}}

.

Tiu simbolo estis kreita deAdrien-Marie Legendre en1798^[1].

LaJakobia simbolo estas ĝeneraligo de simbolo de Legendre, pri kiup estas iu ajn pozitivanepara nombro.

Difino

[redakti |redakti fonton]

Konsiderante ĉiujentjerojn $a {\displaystyle a}$ kaj ĉiuj neparajprimojn $p {\displaystyle p}$ ,simbolo de Legendre $({\frac {a}{p}})$ estas difinita per:

\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,1{\text{ se }}a{\text{ estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p{\text{ kaj }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}\\-1{\text{ se }}a{\text{ ne estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p\\\;\;\,0{\text{ se }}a\equiv 0{\pmod {p}}{\text{ , t.e. }}a{\text{ estas oblo de}}\ p.\end{cases}}

La origina difino de Legendre estis per la eksplicita formulado:

\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}\;\;{\text{  kaj }}\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}\ .

Laŭ lakriterio deEŭlero, kiu estis eltrovita antaŭe kaj estis konita de Legendre, tiuj du supraj difinoj estas ekvivalentaj^[2].

Ekzemploj

[redakti |redakti fonton]

* 2 estas kvadrata restaĵo modulo 7, ĉar

2\equiv 3^{2}{\pmod {7}}

, kaj la kalkulo laŭ la difino de Legendre kondukas al :

\left({\frac {2}{7}}\right)\equiv 2^{\frac {7-1}{2}}=2^{3}\equiv 1\mod 7\ .

* 5 ne estas kvadrata restaĵo modulo 7 :

\left({\frac {5}{7}}\right)\equiv 5^{\frac {7-1}{2}}=5^{3}\equiv 6\equiv -1\mod 7\ .

* 14 estas dividebla per 7 :

\left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{\frac {7-1}{2}}=14^{3}\equiv 0\mod 7\ .

Proprecoj

[redakti |redakti fonton]

$\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ (la simbolo de Legendre estas domultiplika funkcio rilate al sia supera argumento);

fakte, $\left({\frac {ab}{p}}\right)=(ab)^{\frac {p-1}{2}}=a^{\frac {p-1}{2}}b^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ .

Se $a\equiv b{\pmod {p}}$ , do $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$ .
$\left({\frac {1}{p}}\right)=1$ , ĉar 1 estas kvadrato si mem.
$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}={\begin{cases}~~1{\text{ se }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1{\text{ se }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}$ (aparta kazo de -1).

$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}~~1{\text{ se }}p\equiv 1{\text{ ou }}7{\pmod {8}}\\-1{\text{ se }}p\equiv 3{\text{ ou }}5{\pmod {8}}.\end{cases}}$ (aparta kazo de 2).

$\left({\frac {a}{2}}\right)=1$ se $a {\displaystyle a}$ estas nepara nombro, kaj $0 {\displaystyle 0}$ se para.
Se $q {\displaystyle q}$ estas nepara primo, do $\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)};$

la lasta propreco estas konata sub la nomo deleĝo de kvadrata reciprokeco.

Referencoj

[redakti |redakti fonton]

↑A. M. LegendreEssai sur la theorie des nombres (Eseo pri la nombroteorio) Parizo 1798, p 186
↑Hardy & Wright, Thm. 83.

Eksteraj ligiloj

[redakti |redakti fonton]

(angle)Eric W. Weisstein,Legendre Symbol enMathWorld.
(angle)Kalkulo de Jakobia simbolo kun ekzemploj Arkivigite je 2008-07-20 per la retarkivoWayback Machine

Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=Simbolo_de_Legendre&oldid=8396105"

Modula aritmetiko

Kaŝita kategorio:

Listo de arkivitaj paĝoj de Retarkivo

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp