Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltu al enhavo
Vikipedio
Serĉi

RLC-cirkvito

El Vikipedio, la libera enciklopedio

Enelektra inĝenierarto,RLC-cirkvito estas lineara cirkvito konsistanta elrezistilo,induktilo kajkondensilo, kiuj estas serie aŭ paralele konektitaj. La partoRLC de la termino originas de la simbolojR derezistanco,L deinduktanco kajC dekapacitanco. Tiu cirkvito formasharmonan oscililon porelektra kurento, kaj ĝiresonancas. Kontraste kunLC-cirkvito, en kiu oscilado povas daŭri infinite, la rezistilo de RLC-cirkvito amortizas la oscilojn de elektraj vibroj dumfiniatempo. Fakte, oni ne povas eviti rezistancojn en realaj cirkvitoj, eĉ se rezistilo ne estas volonte inkluzivita. Pura LC-cirkvito ekzistas nur teorie, same pura induktilo (L) aŭ kondensilo (C) ne ekzistas sen rezistanco.

Seria RLC-cirkvito

[redakti |redakti fonton]

Ladiferenciala ekvacio kiu regas la serian cirkviton estas la sekvanta:

Figure 1. Seria RLC-cirkvito.
V - tensio de elektra fonto,
I - kurento en la cirkvito,
R - rezistanco de rezistilo,
L - induktanco de induktilo,
C - kapacitanco de kondensilo.
V(t)=Ri(t)+Ldidt+1C∫−∞τ=ti(τ)dτ,{\displaystyle V(t)=Ri(t)+L{{\mathrm {d} i} \over {\mathrm {d} t}}+{1 \over C}\int _{-\infty }^{\tau =t}i(\tau )\,\mathrm {d} \tau \;,}

aliskribante:

1LdV(t)dt=i(t)LC+RLdi(t)dt+d2i(t)dt2.{\displaystyle {\frac {1}{L}}{\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {i(t)}{LC}}+{\frac {R}{L}}{\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}i(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\;.}

kie :

-Pri kontinua fonto,V(t)=V0{\displaystyle V(t)=V_{0}}, konstanta valoro, do:

dV(t)dt=0,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=0\,,}

tial sekvas ke

d2i(t)dt2+RLdi(t)dt+1LCi(t)=0.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}i(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0\;.}

Post longa tempo,di(t)dt=0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}=0\ } , kaj la kurento ĉesas

ipermanenta=0,{\displaystyle i_{\text{permanenta}}=0\,,}

ĉar la tensio de la kondensilo atingis la valoron de la fonto.

-Pri nedaŭra solvo, oni konsideras homogenan ekvacio kunV(t)=0{\displaystyle V(t)=0}.

Difinanteα{\displaystyle \alpha } kajω0{\displaystyle \omega _{0}} en sama unuo deangula frekvenco, oni povas skribi:

d2i(t)dt2+2αdi(t)dt+ω02i(t)=0,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}i(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\alpha {\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}i(t)=0\;,}

kieα{\displaystyle \alpha } estas la "konstanto de amortizo", kiu permesas mezuri la progresan malpliiĝon laŭ tempo de la kurento, malantaŭ la malapero de altruda fonto,kajω0{\displaystyle \omega _{0}} estas la propra angula frekvenco deresonanco, laŭ sekvanta priskribo.

Pri seriaj RLC-cirkvitoj:

α=R2Lkajω0=1LC.{\displaystyle \alpha ={\frac {R}{2L}}\quad {\text{kaj}}\quad \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\;.}

Utila parametro estas la "rilatumo de amortizo"ζ{\displaystyle \zeta }, kiu difiniĝas per la kvociento de tiuj du parametroj:

ζ= αω0= R2CL .{\displaystyle \zeta =\ {\frac {\alpha }{\omega _{0}}}=\ {\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}\ .}

Tiu valoro de la "rilatumo de amortizo" determinas la tipon de nedaŭra kurento (aŭ de pasema tensio) tra la cirkvito.

La solvo de laordinara diferenciala ekvacio malsamas laŭ la valoroj deζ{\displaystyle \zeta }:ζ>1{\displaystyle \zeta >1} (granda amortizo),ζ=1{\displaystyle \zeta =1} (kriza amortizo, t.e. la minimuma lima amortizo, kiu tamen evitas osciladon), aŭζ<1{\displaystyle \zeta <1} (malgranda amortizo).

La ĝenerala solvaĵo de laODE estas sumo de nedaŭra solvo de la homogena ODE (kie dependas de komencoj kondicoj), kaj de la daŭra solvo (kiu dependas de la dua termo en la nehomogena ODE).

Oni povas skribi la solvaĵon per sumo deeksponentaj funkcioj kun reelaj (ζ>1{\displaystyle \zeta >1}) aŭ imaginaraj (ζ<1{\displaystyle \zeta <1}) eksponentoj.

i(t)=A1es1t+A2es2t{\displaystyle i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}}

La koeficientojA1 kajA2 estas determinataj per la komencaj kurentoj kaj tensioj, kaj iliaj supozataj valoroj post infinita tempo.

Prigranda amortizo (ζ>1{\displaystyle \zeta >1}):

i(t)=A1e−ω0(ζ+ζ2−1)t+A2e−ω0(ζ−ζ2−1)t ,{\displaystyle i(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\ ,}

tio estas kadukiĝo de la nedaŭra kurento sen oscilado.

Prikriza amortizo (ζ=1{\displaystyle \zeta =1}):

i(t)=D1te−αt+D2e−αt ,{\displaystyle i(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\ ,}

tio korespondas al kiel eble plej rapida malkresko de signalo sen oscilo, kaj sen superpasi la stabilan valoron. Tiu propreco estas grava enregado deprocezoj, pri kiuj necesas atingi dezideritan staton kiel eble plej rapide sen supertensio. osenestas kadukiĝo de la nedaŭra kurento sen oscilado.D1 kajD2 estas konstantoj determinataj per komencaj kondiĉoj.

Primalgranda amortizo (ζ<1{\displaystyle \zeta <1}):

i(t)=B1e−αtcos⁡(ωdt)+B2e−αtsin⁡(ωdt) ,{\displaystyle i(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{d}t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t)\ ,}

tio estas malgrandiĝo de la nedaŭra kurento per , laŭ frekvenco donata per:

ωd=ω01−ζ2 .{\displaystyle \omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\ .}

Aplikante latrigonometriaj identoj, la dutrigonometriaj funkcioj povas esti anstataŭataj per unu sinusa funkcio kun aldonata fazo:

i(t)=B3e−αtsin⁡(ωdt+ϕ) .{\displaystyle i(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{d}t+\phi )\ .}

La eksponento (α{\displaystyle \alpha } priskribas laeksponentan malkreskon de la amplitudoj.B1 kajB2 (aŭB3, kaj la fazo de delokiĝo, laŭ la dua formo de la formulado) estas determinataj per komencaj kondiĉoj.

ωd{\displaystyle \omega _{d}} estas la angula frekvenco de resonanco en la amortizita cirkvito, aŭ ankoraŭ la frekvenco de la cirkvito laŭ ĝi nature oscilas, sen gvidanta ekstera fonto;

ω0{\displaystyle \omega _{0}} estas la angula frekvenco laŭ kiu la cirkvito resonancas, kiam gvidata per ekstera fonto; ĝi estas ankaŭ la propra angula frekvenco de resonanco sen amortizo, t.e. kiamR=0{\displaystyle R=0} .

Figure 2.Sinusa daŭra analizo
Kurbo Iampl = f(ω{\displaystyle \omega }/ω0{\displaystyle {\omega _{0}}}) normigita perR = 1omo,C = 1farado,L = 1henro, andV = 1.0volto maksimumas kiamω{\displaystyle \omega }/ω0{\displaystyle {\omega _{0}}}=1.

-Pri alterna fonto,V(t)=V0cos⁡(ωt+ϕ){\displaystyle V(t)=V_{0}\cos(\omega t+\phi )} , oni konsideras kompleksanimpedancon por kalkuli la kurenton:

i(t)= V(t)Z(ω) ,{\displaystyle i(t)=\ {\frac {V(t)}{Z(\omega )}}\ ,}

kie:

Z(ω)=R+jLω−jCω{\displaystyle Z(\omega )=R+jL\omega -{\frac {j}{C\omega }}}

kiesabsoluta valoro estas

|Z(ω)|=R2+(Lω−1Cω)2 .{\displaystyle |Z(\omega )|={\sqrt {R^{2}+\left(L\omega -{\frac {1}{C\omega }}\right)^{2}}}\ .}

Laamplitudo de la kurento do estas:

|I| = V0R2+(Lω−1Cω)2 .{\displaystyle |I|\ =\ {\frac {V_{0}}{\sqrt {R^{2}+\left(L\omega -{\frac {1}{C\omega }}\right)^{2}}}}\ .}

Kiam la angula frekvencoω{\displaystyle \omega } de la generatoro estas

ω=ω0= 1LC ,{\displaystyle \omega =\omega _{0}=\ {\frac {1}{\sqrt {LC}}}\ ,}

ĝi korespondas al la frekvenco de resonanco

f0= ω02π ,{\displaystyle f_{0}=\ {\frac {\omega _{0}}{2\pi }}\ ,}

tiel la oscilcirkvito montras nuroman rezistancon:

V(t)=Vrezistilo=Ri(t) ,{\displaystyle V(t)=V_{\text{rezistilo}}=Ri(t)\ ,}

la kurento maksimumas:

Imaks=V0R .{\displaystyle I_{\text{maks}}={\frac {V_{0}}{R}}\ .}

Plie la tensioj de la kondensilo kaj de la induktilo oponas:

vinduktilo=−vkondensilo=jRLCV(t) ,{\displaystyle v_{\text{induktilo}}=-v_{\text{kondensilo}}={\frac {j}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}V(t)\ ,}

ĉar estas interŝanĝo de elektra energio inter induktilo kaj kondensilo.

Oni difinas lakoeficienton de supertensioQ (Q-faktoro), kiu estas la kvociento inter la tensio de la induktilo (aŭ de la kondensilo) kaj la tensio de la fonto (aŭ de la rezistilo):

Q= 1RLC .{\displaystyle Q=\ {\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\ .}

Ju pli la rezistancoR estas malgranda (malgranda oma perdado), des pli la koeficiento de supertensio estas granda.

Paralela RLC-cirkvito

[redakti |redakti fonton]
Paralela RLC-cirkvito
Paralela RLC-cirkvito
Figure 3. Paralela RLC-cirkvito.
V - tensio de elektra fonto,
I - kurento en la cirkvito,
R - rezistanco de rezistilo,
L - induktanco de induktilo,
C - kapacitanco de kondensilo.

Dum la tensioj de la elementoj de seria cirkvito adicias, estas la kurentoj de la elementoj de paralela cirkvito kiuj adicias.

Pro la kondensilo, oni ne povas apliki rekte kontinuan tension sen pero de protekta rezistilo inter la fonto kaj la paralela cirkvito. Taŭgas pli bone uzi kurento-fonton kielgeneratoron.

La diferenciala ekvacio (ODE), kiu regas la paralelan cirkviton estas la sekvanta:

I(t)=v(t)R+C⋅dv(t)dt+1L∫−∞τ=tv(τ)dτ,{\displaystyle I(t)={\frac {v(t)}{R}}+C\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {1}{L}}\int _{-\infty }^{\tau =t}v(\tau )\,\mathrm {d} \tau \;,}

aliskribante:

1CdI(t)dt=v(t)LC+1RCdv(t)dt+d2v(t)dt2.{\displaystyle {\frac {1}{C}}{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(t)}{LC}}+{\frac {1}{RC}}{\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}v(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\;.}

kie :

Pri fonto de kontinua kurento,I(t)=I0{\displaystyle I(t)=I_{0}}, konstanta valoro, do:

dI(t)dt=0,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}=0\,,}

tial sekvas ke

d2v(t)dt2+1RCdv(t)dt+1LCv(t)=0.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}v(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{RC}}{\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{LC}}v(t)=0\;.}

Fare de la induktilo, pro la kurento-fonto, la tensio de la montaĵo nuliĝas post longa tempo, ĉar tiamdibobenodt=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i_{\text{bobeno}}}{\mathrm {d} t}}=0}.

Por eviti tion, la generatoro devas ŝanĝi sian signon, ekzemple per livero de triangulaalterna kurento.

Same kiel la seria cirkvito, oni povas difini lakonstanton de amortizoα{\displaystyle \alpha } :

α=12RC;{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2RC}}\;;} kaj larilatumon de amortizoζ{\displaystyle \zeta } :
ζ= 12RLC .{\displaystyle \zeta =\ {\frac {1}{2R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\ .}

Pri la nedaŭra analizo, la komencaj kondiĉoj estas:

Pri fonto de alterna kurento

I(t)=I0cos⁡(ωt+ϕ) {\displaystyle I(t)=I_{0}\cos(\omega t+\phi )\ }
I(t)=Y(ω)v(t) ,{\displaystyle I(t)={Y(\omega )}{v(t)}\ ,}

kie

Y(ω)=1R+jCω−jLω {\displaystyle Y(\omega )={\frac {1}{R}}+jC\omega -{\frac {j}{L\omega }}\ }

estas la kompleksaadmitanco (inverso de la impedanco) de tiu montaĵo.

Kiam la angula frekvencoω{\displaystyle \omega } de la generatoro estas

ω=ω0= 1LC ,{\displaystyle \omega =\omega _{0}=\ {\frac {1}{\sqrt {LC}}}\ ,}

ĝi korespondas al la frekvenco de resonanco

f0= ω02π ,{\displaystyle f_{0}=\ {\frac {\omega _{0}}{2\pi }}\ ,}

tiel la oscilcirkvito montras nuroman rezistancon:

v(t)=Vrezistilo=RI(t) ;{\displaystyle v(t)=V_{\text{rezistilo}}=RI(t)\ ;}

plie la tensioj de la kondensilo kaj de la induktilo oponas:

ikondensilo=−iinduktilo=jCLv(t) ,{\displaystyle i_{\text{kondensilo}}=-i_{\text{induktilo}}={j}{\sqrt {\frac {C}{L}}}v(t)\ ,}

ĉar estas interŝanĝo de elektra energio inter induktilo kaj kondensilo.

Same kiel la seria cirkvito, oni difinas lakoeficienton de supertensioQ ( aŭQ-faktoro) (sed laŭ tiu aparta kazo taŭgus pli bone la termino "koeficento de superkurento"), kiu estas la kvociento inter la kurento de la induktilo (aŭ de la kondensilo) kaj la kurento de la fonto (aŭ de la rezistilo):

Q= RCL .{\displaystyle Q=\ {R}{\sqrt {\frac {C}{L}}}\ .}

Ju pli la rezistancoR estas granda (malgranda oma perdado), des pli la koeficiento de supertensio estas granda.

Aplikoj de RLC-cirkvitoj

[redakti |redakti fonton]

La RLC-cirkvitoj estas ĝenerale uzitaj por konstruitelekomunikadajn filtrilojn de frekvenco (ekz. enradioaparatoj). Tiuj cirkvitoj povas enhavi plurajn induktilojn kaj plurajn kondensilojn: oni nomas ilinLC-retoj.

Vidu ankaŭ

[redakti |redakti fonton]

Eksteraj ligiloj

[redakti |redakti fonton]
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=RLC-cirkvito&oldid=8421464"
Kategorioj:
Kaŝita kategorio:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp