Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltu al enhavo
Vikipedio
Serĉi

Leĝo de Hooke

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Risorto

Enmekaniko,leĝo de Hooke deelasteco estas proksimumado, kiu statas ke la vastigaĵo derisorto estas proporcia kun laforto je ĝi kaj havas kontraŭan direkton:

F=-kx

kiex estas la distanco je kiu la risorto estas streĉita, do distanco je kiu moviĝis la punkto de apliko de la forto;

F estas la forto produktita de la risorto;
k estas laforta konstanto aŭrisorta konstanto, la konstanto havasmezurunuon kiu estas mezurunuo de forto dividita per mezurunuo de longo (neŭtono dividita permetro enSI).

La leĝo de Hooke veras nur se la forto ne superas certan valoron kiu estas laproporcia limigo, kaj se la forto ne superas laelastecan limigon. Se leĝo de Hooke veras konduto de la risorto estaslineara. Materialoj por kiuj la leĝo de Hooke estas sufiĉe preciza estas nomataj kiellineare elastaj materialoj.

La leĝo de Hooke estas uzatada por kalkulado de operaciado derisortoj, streĉa analitiko kaj modelado dematerialoj.

Elastaj materialoj

[redakti |redakti fonton]

Objektoj kiuj rapide restarigas sian originalan formon post forigo de misformiga forto, kies molekuloj aŭ atomoj revenas al la komenca stato de stabila ekvilibro, ofte obeas leĝon de Hooke.

Eblas konsideri ĉiun vergon elelasta materialo kiel lineara risorto. La vergo havulongonL kaj kruco-sekcianareonA. Ĝiarelativa vastigaĵoε estas lineare proporcia kun ĝiastreĉoσ per konstanta faktoro kiu estas inverso de ĝiamodulo de elastecoE:

ε=σE{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}}

kaj do ŝanĝo de longo de la vergox estas

x=εL=σEL=FLEA{\displaystyle x=\varepsilon L={\frac {\sigma }{E}}L={\frac {FL}{EA}}}

Tiel la forta konstanto estas

k=EAL{\displaystyle k={\frac {EA}{L}}}

Leĝo de Hooke nur veras por iuj materialoj je certaj kondiĉoj.Ŝtalo havas lineare elastan konduton en plejparto de inĝenieradaj aplikoj, tiel leĝo de Hooke estas valida por ĝi entute en ĝiaelasta limigo (kio estas, por streĉoj pli sube lafluidiga premo). Por iuj aliaj materialoj, ekzemplealuminio, leĝo de Hooke estas nur valida por parto de la elasta limigo. Por ĉi tiaj materialojproporcia limiga streĉo estas difinita, pli sube de kiu la eraroj de la lineara proksimumado estas malatenteblaj.

Kaŭĉuko estas ĝenerale konsiderata kiel ne lineare elasta materialo, ĉar ĝia elasteco estas dependa de streĉo, temperaturo kaj rapido de ŝanĝo de forto.

Energio kaj oscilado

[redakti |redakti fonton]

Lapotenciala energio de risorto veriganta leĝon de Hooke estas

E=kx22{\displaystyle E={\frac {kx^{2}}{2}}}

La potenciala energio de risorto estas ĉiam nenegativa.

Se masom estas alfiksita al la fino de ĉi tia risorto, kaj la alia fino de la risorto estas alfiksita al nemoviganta aĵo, la sistemo estasharmona oscililo. Ĝiafundamenta frekvenco estas

ω=km{\displaystyle \omega ={\sqrt {k \over m}}}radianoj dumsekundo (angula frekvenco)

kio estas

ν=12πkm{\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {k \over m}}}hercoj (cikloj dum sekundo,frekvenco)

Multaj risortoj

[redakti |redakti fonton]

Se du risortoj estas alfiksitaj al nemoviganta aĵo kaj kune streĉitaj per ekstera forto, ilia kuna konduto estas jena.

Seria kunigoParalela kunigo
Bazaj interrilatojForto estas la sama
F = F1 = F2		Plilongigo estas la sama
x = x1 = x2
Plilongigoj sumiĝas
x = x1+x2		Fortoj sumiĝas
F = F1+F2
Ekvivalenta risorta konstantok=11k1+1k2{\displaystyle k={\frac {1}{{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}}}}k=k1+k2{\displaystyle k=k_{1}+k_{2}}
Interrilatro de plilongigoj de la risortojx1x2=k2k1{\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}}x1 = x2
Interrilatro de fortoj de la risortojF1 = F2F1F2=k1k2{\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}
Interrilatro depotencialaj energioj de la risortojE1E2=k2k1{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}}E1E2=k1k2{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}

En okazo de la paralela kunigo temas pri okazo kiam la intermuntado de la du risortoj mem ne produktas streĉon de ili.

La formuloj estas ĝeneraligataj al okazo de pli multaj risortoj. Tiam por seria kunigo

k=11k1+1k2+⋅+1kn{\displaystyle k={\frac {1}{{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+\cdot +{\frac {1}{k_{n}}}}}}

kaj por paralela kunigo

k=k1+k2+⋅+kn{\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+\cdot +k_{n}}

Tensora esprimo

[redakti |redakti fonton]

En okazo de tri-dimensia streĉa stato de materialo, 3-dimensiatensoro de 4-a ordocijkl enhavanta 81 elastajn koeficientojn devas esti difinita por ligigi lastreĉan tensoronσij kun latensia tensoro (tensoro derelativa vastigaĵo,tensoro de Green)εkl.

σij=∑k=13∑l=13cijklεkl{\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}

Pro simetrio de la streĉa tensoro, tensia tensoro kajafekteca tensoro, nur 21 elastaj koeficientoj estas sendependaj.

Pro tio ke streĉo estas mezurata en unuoj depremo kaj tensio estas sendimensia, la elementoj decijkl estas ankaŭ en unuoj de premo.

Izotropaj materialoj

[redakti |redakti fonton]

Izotropaj materialoj estas karakterizataj per propraĵoj kiuj estas sendependaj de direkto en spaco. Fizikaj ekvacioj engaĝantaj izotropajn materialojn devas pro tio esti sendependaj deturno de la koordinatsistemo elektita por prezenti ilin. La tensia tensoro estas simetria tensoro. Pro tio, ke laspuro de ĉiu tensoro estas sendependa de turno de la koordinatsistemo, la plej plena koordinato-libera malkomponaĵo de simetria tensoro estas prezento de ĝi kiel sumo de konstanta tensoro kaj senspura simetria tensoro. Tial:

εij=∑k=13(13εkkδij)+∑kl(εij−13εkkδij){\displaystyle \varepsilon _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\sum _{kl}\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}

kieδij{\displaystyle \delta _{ij}} estas ladelto de Kronecker. La unua ero dekstre estas la konstanta tensoro, ankaŭ sciata kiel lapremo, kaj la dua ero estas la senspura simetria tensoro, nomata kiel latonda tensoro.

La plej ĝenerala formo de leĝo de Hooke por izotopaj materialoj povas esti skribita kiel lineara kombinaĵo de ĉi tiuj du tensoroj:

σij=3K∑k=13(13εkkδij)+2G∑k=13(εij−13εkkδij){\displaystyle \sigma _{ij}=3K\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\sum _{k=1}^{3}\left(\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}

kieK estas laampleksa modulo kajG estas latonda modulo.

Uzante interrilatojn inter laelastaj moduloj, ĉi tiuj ekvacioj povas ankaŭ esti esprimita en diversaj aliaj manieroj. La tensio povas esti esprimita per la streĉa tensoro kiel:

ε11=1E(σ11−ν(σ22+σ33)){\displaystyle \varepsilon _{11}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)}
ε22=1E(σ22−ν(σ11+σ33)){\displaystyle \varepsilon _{22}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)}
ε33=1E(σ33−ν(σ11+σ22)){\displaystyle \varepsilon _{33}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)}
ε12=σ122G{\displaystyle \varepsilon _{12}={\frac {\sigma _{12}}{2G}}}
ε13=σ132G{\displaystyle \varepsilon _{13}={\frac {\sigma _{13}}{2G}}}
ε23=σ232G{\displaystyle \varepsilon _{23}={\frac {\sigma _{23}}{2G}}}

kieE estasmodulo de elasteco kajν estasrilatumo de Poisson (vidu en3-dimensia elasteco).

Pruvo de leĝo de Hooke en 3 dimensioj

[redakti |redakti fonton]

La 3-dimensia formo de leĝo de Hooke povas esti derivita derilatumo de Poisson kaj la 1-dimensi formo de leĝo de Hooke jene.Konsideru la tension kaj streĉan rilaton kiel kompono de du efikoj: streĉo en direkto de komponanto de la forto en direkto 1 kajŝrumpado kaŭzita per la komponanto de la forto en perpendikularaj direktoj 2 kaj 3

ε1′=1Eσ1{\displaystyle \varepsilon _{1}'={\frac {1}{E}}\sigma _{1}}
ε2′=−νε1{\displaystyle \varepsilon _{2}'=-\nu \varepsilon _{1}}
ε3′=−νε1{\displaystyle \varepsilon _{3}'=-\nu \varepsilon _{1}}

La similaj ekvacioj estas por komponantoj de la forto en direktoj 2 kaj 3

ε1″=−νε2{\displaystyle \varepsilon _{1}''=-\nu \varepsilon _{2}}
ε2″=1Eσ2{\displaystyle \varepsilon _{2}''={\frac {1}{E}}\sigma _{2}}
ε3″=−νε2{\displaystyle \varepsilon _{3}''=-\nu \varepsilon _{2}}

kaj

ε1‴=−νε3{\displaystyle \varepsilon _{1}'''=-\nu \varepsilon _{3}}
ε2‴=−νε3{\displaystyle \varepsilon _{2}'''=-\nu \varepsilon _{3}}
ε3‴=1Eσ3{\displaystyle \varepsilon _{3}'''={\frac {1}{E}}\sigma _{3}}

Sumante ilin kune kielεi=εi′+εi″+εi‴{\displaystyle \varepsilon _{i}=\varepsilon _{i}'+\varepsilon _{i}''+\varepsilon _{i}'''} rezultas

ε1=1E(σ1−ν(σ2+σ3)){\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}(\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}))}
ε2=1E(σ2−ν(σ1+σ3)){\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}(\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}))}
ε3=1E(σ3−ν(σ1+σ2)){\displaystyle \varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}(\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}))}

kaj per adicio kaj subtraho de unuνσ{\displaystyle \nu \sigma }

ε1=1E((1+ν)σ1−ν(σ1+σ2+σ3)){\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))}
ε2=1E((1+ν)σ2−ν(σ1+σ2+σ3)){\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))}
ε3=1E((1+ν)σ3−ν(σ1+σ2+σ3)){\displaystyle \varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))}

kaj per solvado porσ1{\displaystyle \sigma _{1}} rezultas

σ1=E1+νε1+ν1+ν(σ1+σ2+σ3){\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})}

La sumo estas

∑i=13εi=1E((1+ν)∑i=13σi−3ν(∑i=13σi))=1−2νE∑i=13σi{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{i}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sum _{i=1}^{3}\sigma _{i}-3\nu (\sum _{i=1}^{3}\sigma _{i}))={\frac {1-2\nu }{E}}\sum _{i=1}^{3}\sigma _{i}}
σ1+σ2+σ3=E1−2ν(ε1+ε2+ε3){\displaystyle \sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}

kaj metante la sumon en la ekvacio solvitan porσ1{\displaystyle \sigma _{1}} rezultas

σ1=E1+νε1+Eν(1+ν)(1−2ν)(ε1+ε2+ε3){\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}

aŭ

σ1=2με1+λ(ε1+ε2+ε3){\displaystyle \sigma _{1}=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}

kieμ kajλ estas laparametroj de Lamé.

Simila rezonado pri direktoj 2 kaj 3 donas la leĝon de Hooke en tri dimensioj.

Historio

[redakti |redakti fonton]

La leĝo de Hooke estas nomita post brita fizikisto de la17-a jarcentoRobert Hooke. Li komence donis ĉi tiun leĝon en1676 kiellatinaanagramo "ceiiinossssttuu"[1], kies solvaĵon li publikigis en1678 kielUt tensio, sic vis, kies traduko estas "Kiel vastigaĵo, tiel forto".

Vidu ankaŭ

[redakti |redakti fonton]

Eksteraj ligiloj

[redakti |redakti fonton]

Referenco

[redakti |redakti fonton]
  1. ↑[1]Arkivigite je 2010-11-13 per la retarkivoWayback Machine;la anagramo por lakateno, kiu aperis en la antaŭvenanta alineo
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=Leĝo_de_Hooke&oldid=9158810"
Kategorio:
Kaŝitaj kategorioj:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp