Matematiko"La kompendia libro pri kalkulado per kompletigo kaj balancado" deal-Ĥorezmi
Historio de matematiko estas areo de studado dediĉita unuavice al esplorado pri la fontoj de novaj malkovroj en matematiko kaj je malplia grado al esplorado pri la normaj matematikaj metodoj kaj notacioj de la pasinteco. Historio dematematiko tuŝas ĝis praepoko.
La vorto "matematiko" devenas de lagreka vorto μάθημα (máthema), kiu signifas "scienco, scio, aŭ lerno"; μαθηματικός (mathematikós) signifas "ŝata lernado". Hodiaŭ, la termino nomas specifan korpon de scio — la deduktan studon de kvanto, strukturo, spaco, kaj ŝanĝo.
Unu frapanta trajto de la historio de antikva kaj mezepoka matematiko estas, ke ekfloroj de matematika evoluo estis ofte sekvataj de jarcentoj da stagnado.
Grandan evoluon matematiko trapasis enantikva Grekio, kiam precipegeometrio atingis karakterizajn sukcesojn. Laantikva greka kontribuo al matematiko, ĝenerale konsiderata kiel unu el la plej gravaj, grande ampleksigis, kaj la metodon, kaj la terenon de matematiko.[1]
Plua etapo de abrupta evoluo de la matematiko estisrenesanco, en kiu estis donitaj bazoj dematematika analizo. Komence enrenesancaItalio en la16-a jarcento, novaj matematikaj evoluaĵoj, interagante kun novaj sciencaj malkovroj, okazis je ĉiam pligrandiĝanta ritmo, kaj tio daŭras ĝis tra la nuna tago.
Entute lasta signifa periodo de la historio de matematiko estis interŝanĝo de la 19-a jarcento kaj la 20-a jarcento, kiam estiĝisaro-teorio kajmatematika logiko.
La unuaj matematikaj nocioj estis necesa rimedo faciliganta komprenon de kelkaj komunikilfaktoj, ili esprimis nombrojn de diversaj objektoj kaj ilian komparon, diversajn formojn kaj iom pli poste ili ebligis mezuri kvanton de homa laboro kaj ties profitojn. Longan tempon la kalkulado de objektoj limiĝis al kvanto de du ĝis tri, pli poste de kvar ĝis kvin pecoj. Pluajnumeraloj signifantaj unue nedifinite multe, estiĝadis malrapide. Dum la kalkulado oni eluzis reciproke unusignifan alvicigado de du kvantoj. La unua ŝanĝa komerco okazis per interŝanĝo deekvivalentoj per reciproke unusignifa alvicigo (ekz. unu tribo proponis por ŝanĝi tripeltojn kontraŭ du pecoj defajroŝtono).
Indikaĵo ekzistas, ke frua kalkulado koncernis virinojn kiuj tenis registraĵojn de siaj monataj biologiaj cikloj; ekzemple, dudek ok, dudek naŭ, aŭ tridek grataĵoj sur osto aŭ ŝtono, sekvitaj per distinga grataĵo sur la osto aŭ ŝtono. Ankaŭ, ĉasistoj havis la konceptojnunu,du, kajmultaj, kaj aldone la ideonneniu aŭnulo, kiam konsiderantaj arojn da brutoj.[5][6]
Matematikaj instrumentoj malkovritaj inkluzivas precizan dekuman rektilon kun malgrandaj kaj precizaj subdividoj, ŝelan instrumenton, kiu servis kielcirkelo por mezuri angulojn sur ebenaj surfacoj aŭ en la horizonto laŭ obloj 40–360 gradaj, ŝelan instrumenton uzita por mezuri 8–12 tutajn sekciojn de la horizonto kaj ĉielo, kaj instrumenton por mezuri la poziciojn de steloj por navigaj celoj. LaIndusa skribsistemo ankoraŭ ne estas deĉifrita; do tre malmulte estas sciata pri la skribitaj formoj deHarapa matematiko (3300 -1500 a.K.). Arĥeologia indikaĵo gvidis iujn historiistojn kredi, ke tiu civilizo uzis lanumeralo-sistemonbazo 8, kaj posedis scion de la kvociento de la longo de lacirkonferenco de la cirklo al tiesdiametro, do valoron deπ.[9]
La komenca periodo, en kiu kreiĝiskvantaj kajgeometriaj rilatoj kaj operacioj inter ili, daŭris tre longe. Ĝis la6-a jarcento a.K. temis plejparte pri amasigo dearitmetikaj nocioj, geometriaj faktoj kaj bazaj operacioj. Matematikaj konoj estis registrataj sole per diversaj sistemoj deciferoj kaj per kutima lingvo, kio bremsis pli rapidan evoluon. Ĝis la3-a jarcento a.K. mankas al la matemartiko kia ajn specialasimboliko.
ElMezopotamio devenas la unuaj skribmemorigaĵoj en lahistorio de homaro kaj el periodo de2200 ĝis1800 a. K. konserviĝis granda kvanto de matematikaj tabeloj, kiuj montras progresintan gradon de evoluo de la mezopotamiaalgebro kajgeometrio kaj ankaŭ tio, ke la matematiko havas vere longan historion. Tiutempe estis malkovritaj gravajalgoritmoj por solvi diversmanierajn taskojn. La matematiko kapablis respondi ĉiujn postulojn de tiamacivilizo. Por ties plua evoluo evidente mankis pli fortaj iniciatoj. El plua periodo preskaŭ konserviĝis neniaj matematikajtabeloj, kaj do ne eblas prijuĝi pli postan evoluon de la matematiko. Pormultipliki ili uzis inĝeniajn kompletojn de tabeloj.Dividon ili transgvidis al multipliko per turnigita valoro, la turnadon de valoro ebligis al ili denove tabeloj. Por solvi la taskojn ili laboris pernaturaj nombroj kaj perpozitivaj sesdekonajfrakcioj. Ili ne kalkulis pernombroj neracionalaj kajnegativaj. Ili serĉis la solvon sole en fako de la naturaj nombroj kaj la pozitivaj sesdekonaj frakcioj. En algebro kalkulistoj solvis taskojn, kiuj hodiaŭ kondukas alekvacioj linearaj,kvadrataj,kubaj kajbikvadrataj kaj ties sistemoj. Aperis eĉ taskoj kondukanataj al ekvacioj de la oka grado, kiuj havas nenian prudentan aplikon en tiama teknika praktiko. Estis verŝajne difinitaj por ekzercado de kalkulumoj. La nekonatajmagnitudoj estis markataj kiellongo kajlarĝo, iliajprodutoj kielareo. Sed iam laterminoj estis transprenitaj eĉ el tereno de aritmetikaj operacioj (dividato kajdividanto,multiplikato kajmultiplikanto ktp.). La memstara ĉapitro estasastronomiaj tabeloj de ĥaldejaj kalkulistoj, kiuj atestas pri iliaj nekutimaj kalkulaj konoj kaj kapabloj. Ili ĝis hodiaŭ lasis al la mondosesdekuman sistemon (tempo, anguloj), dividon decirklo en 360gradojn, detago en 24horojn, de horo en 60minutojn kaj de minuto en 60sekundojn.
Babilonaj ciferojLa Babilona matematika tabulo Plimpton 322, datiĝe de 1800 a.K.
Babilona matematiko inkluzivas ĉian matematikon de la popoloj deMezopotamio (aktualaIrako) de la tagoj de la fruajsumeroj ĝis la komenco de lahelenisma periodo. Ĝi estas nomitaBabilona matematiko pro la centra rolo deBabilono kiel studloko, kiu ĉesis ekzisti dum la helenisma periodo. De tiam, babilona matematiko kunfandiĝis kun greka kaj egipta matematiko elkovante helenisman matematikon.
Kontraste al la malmulteco de fontoj enegipta matematiko, nia scio pri babilona matematiko devenas de nur iom pli ol 400 argilaj tabuletoj elterigitaj ekde la1850-aj jaroj. Skribitaj enkojnoskribo, la tabuletoj estis skribataj dum la argilo estis humida (kaj do mola), kaj poste firmigitaj per bakado en forno aŭ sub la suno. Iuj el tiuj tabuletoj ŝajnas markitaj hejmtaskoj.
La plej frua evidento de skribita matematiko datiĝas de la antikvaj sumeroj, kiuj konstruis la plej fruan civilizon en Mezopotamio. Ili evoluigis kompleksan sistemon de mezurado ekde3000 a.K. Plue de ĉirkaŭ2500 a.K. la sumeroj skribis matematikajn baremojn sur argilajn tabuletojn kaj traktis geometriajn ekzercojn kaj dividajn problemojn. Ankaŭ la plej fruaj restaĵoj debabilonaj numeraloj datiĝas de tiu periodo.[10]
La plejmulto de la retrovitaj argilaj tabuletoj datiĝas de1800 ĝis1600 a.K., kaj kovras temojn kiuj inkluzivas frakciojn, algebron, kvadratajn kaj kubajn ekvaciojn, kaj la kalkuladon depitagoraj triopoj (viduPlimpton 322).[11] La tabuletoj ankaŭ inkluzivas multiplikajn baremojn,trigonometriajn baremojn kaj metodojn solvilinearajn kajkvadratajn ekvaciojn. La babilona tabuleto YBC 7289 donas proksimuman kalkuladon al √2 preciza je kvin dekumaj lokoj.
Babilona matematiko estis skribita per uzo desesdekumaj (bazo-60)numeraloj. De tio devenas la hodiaŭa uzado de 60 sekundoj en minuto, 60 minutoj en horo, kaj 360 (60 x 6) gradoj en cirklo. Babilonajn progresaĵojn en matematiko faciligis la fakto, ke 60 havas multajndivizorojn. Ankaŭ, malkiel la egiptanoj, grekoj, kaj romianoj, la babilonianoj havis veran loko-valoran sistemon, kie ciferoj skribitaj en la maldekstra kolumno prezentis pli grandajn valorojn, tre simile al en ladekuma sistemo. Ili malhavis, tamen, ekvivalenton de la dekuma signo, kaj do la loka valoro de simbolo ofte devis esti divenata el la ĉirkaŭteksto.
Bildo de Problemo 14 el laMoskva Matematika Papiruso. La problemo entenas diagramon indikantan la dimensiojn de la ŝtumpigita piramido.
Egipta matematiko inkluzivas matematikon skribitan en laegipta lingvo. En lahelenisma periodo, lagreka anstataŭis la egiptan kiel la skribita lingvo deegiptaj erudiciuloj, kaj de tiam egipta matematiko kunfandiĝis kun greka kaj babilona matematiko elkovante helenisman matematikon. Matematika studado enEgiptio poste daŭris sub laislamakaliflando kiel parto deislama matematiko, kiam laaraba iĝis la skribita lingvo de egiptaj erudiciuloj.
La plej malnova matematika teksto ĝis nun malkovrita estas lamoskva papiruso, kiu estas papiruso de laegiptaMeza Regno datiĝanta de ĉirkaŭ2000—1800 a.K.[mankas fonto] Simile al multaj antikvaj matematikaj tekstoj, ĝi konsistas el kio estas hodiaŭ nomita "vortaj problemoj" aŭ "rakontaj problemoj", kies celo verŝajne estis esti distraĵoj. Unu problemo estas konsiderata aparte grava, ĉar ĝi donas metodon trovi la volumenon detrunko (frustrumo): "Se vi estas aldirita: Senpintigita piramido de 6 por la vertikala alto per 4 sur la bazo per 2 sur la supro. Vi kvadratigu ĉi tiun 4, rezulto 16. Vi duobligu 4, rezulto 8. Vi kvadratigu 2, rezulto 4. Vi adiciu la 16, la 8, kaj la 4, rezulto 28. Vi prenu unu trionon de 6, rezulto 2. Vi prenu 28 dufoje, rezulto 56. Vidu, ĝi estas 56. Vi trovos ĝin ĝusta."
Tri geometriaj elementoj en la Rhind-a papiruso sugestas la plej simplajn fundamentojn deanalitika geometrio: (1) unuavice, kiel kalkuli aproksimon de precizan je malpli ol unu centono; (2) due, antikva provokvadratigi la cirklon; kaj (3) trie, la plej frua konata uzo de speco dekotangento.
La matematiko de antikva Egiptio evoluis komune kun la evoluo de la egiptia civilizo ekde la4-a jarcento a.K. Ĝi servis sole al praktikaj celoj, kiel abstrakta scienco ĝi ankoraŭ ne estis evoluinta. Egiptoj kapablisadicii,subtrahi,dividi, kalkuli perfrakcioj kaj solvi kelkajn pli komplikajn aritmetikajn kaj geometriajn problemojn. Aperas konsideroj pri kalkuloj deareo deebenaj figuroj (ortangulo,triangulo kajcirklo).
La plej frua indikaĵo de la uzo de matematiko enHindio estas de laIndusa civilizo, kiu datiĝas de ĉirkaŭ3300 a.K.. Elfosoj ĉeHarappa,Mohenĝo-daro kaj la ĉirkaŭa areo de laInduso, malkovris multan evidenton de la uzo de baza matematiko. La geometrio enveda matematiko estis uzata por kompleksa konstruado de religiaj kajastronomiaj situoj. Multaj aspektoj de praktika matematiko estas trovitaj en veda matematiko.[14]
LaBakshali-a Manuskripto verkita inter200 a.K. kaj200 p.K. inkluzivas solvojn de linearaj ekvacioj kun ĝis kvin nekonatoj, la solvon de la kvadrata ekvacio, aritmetikajn kaj geometriajn progresiojn, kombinaĵan serion, kvargradajn nedetermineblajn ekvaciojn,samtempajn ekvaciojn, kaj la uzon denulo kajnegativaj nombroj. Precizaj kalkuladoj por neracionalaj nombroj (neracionaloj) troviĝis, kio inkluzivas komputadon de kvadrataj radikoj de nombroj tiel grandaj kiel miliono ĝis almenaŭ 11 dekumaj lokoj.
La barata matematiko estis siatempe preskaŭ admirinde evoluinta. Kaj ĝi kaŭzis grandan rompon en la evoluo de matematiko. Ĝi alportis al la mondo precipepozician sistemon. Ekzistis simboloj por la unuaj naŭciferoj. La dekuma karaktero estis tre evoluinta. Ĉio ĉi prezentas favorajn kondiĉojn por krei la pozician sistemon kun la bazo 10. La grandega malkovro fare de la barataj matematikistoj fariĝisnulo 0. La plej malnova skribdokumento esprimanta enskribon kun nulo estas el la9-a jarcento a.K. Supozo por kalkulado en la pozicia sistemo estas operacioj per nuloj. La ecojn de nulo kiel nombro formulis la barataj matematikistoj jene:
Ĉe nomigo de dekoj kaj centoj estas uzata adicia principo:
20 - dvau-ŝat
200 - dvi-ŝatam
Krom tio ili brile priregis kalkuladon per frakcioj. Ilia formo preskaŭ kongruis kun la nuntempa: ili skribis lanumeratoron super ladenominatoro, sed ili ne uzisstrekon. Dum la operacioj per laentjeroj kaj per frakcioj ili esprimis la entjerojn kiel frakciojn kun denominatoro 1. Ili konispotencon per du kaj tri, ili konis kaj uzisregulon de tri kaj multajn aliajn.
Datiĝante de laŜanga periodo (1600—1046 a.K.), la plej frua ankoraŭ ekzistanta ĉina matematiko konsistas el nombroj gratitaj sur testuda ŝelo.[16] Ĉi tiuj nombroj uzas dekuman sistemon, tiel ke la nombro 123 estis skribata (de supro al fundo) kiel la simbolo por 1 sekvata de la simbolo por cent, tiam la simbolo por 2 sekvata de la simbolo por dek, tiam la simbolo por 3. Ĉi tio estis la plej progresinta nombrosistemo en la mondo en la tempo kaj ebligis faradon de kalkuloj per lasŭan-pajno aŭĈinia abako. La dato de la invento de lasuanpano estas ne certa, sed la plej frua skribita referenco estas de190 p.K. en laSuplementaj Notoj pri la Arto de Ciferoj verkita de Xu Yue. La sŭan-pajno estis plej verŝajne uzata jam pli frue ol tiu dato.
EnĈinio, en-212, la ImperiestroYing Zheng (Shi Huang-ti) ordonis, ke ĉiujlibroj estu bruligitaj. Kvankam tiu ordono estis ne tute obeita de ĉiuj, sekve de ĝi malmulte estas sciata kun certeco pri antikva Ĉinia matematiko.
Post la libro-bruligado, ladinastio Han (-206 a.K.—221 p.K.) produktis verkojn de matematiko kiuj supozeble sin elvolvis sur verkoj, kiuj estas nun perditaj. La plej grava el ĉi tiuj estasLa Naŭ Ĉapitroj pri la Matematika Arto. Ĝi konsistas el 246 vortaj problemoj, engaĝante agrikulturon, negocon kaj inĝenieradon, kaj inkluzivante materialon priortaj trianguloj kajπ.
Ĉinio estis ĝis la14-a jarcento en tereno de matematiko la plej evoluinta lando de la mondo. Ekz.teoremo de Pitagoro estis enskribita en ĉinia matematika libro el la2-a jarcento a.K. En plua ĉinia matematika libro el la1-a jarcento a.K. kiel la unua en la mondo estis klarigita nocio prinegativa nombro kaj principoj de adicio, subtraho, la ĉinia matematikistoZu Chongzhi en la5-a jarcento difinis kun granda precizeco valoron depi. Li venis al numero 3,141 592 6 (π = 3,141 592 7). Ne estas konate, kian metodon li precize uzis. Homoj en Ĉinio jam antaŭ longa tempo antaŭ tio ekkonis el la praktiko, keperimetro derado estas pli ol tri obloj de tiesdiametro.
Greka kaj helenisma matematiko (ĉ.550 a.K.—300 p.K.)
Greka matematiko signas matematikon skribitan en lagreka inter ĉirkaŭ600 a.K. kaj450 p.K.[17]. Grekaj matematikistoj loĝis en urboj dise tra la tuta orientaMediteraneo, deItalio alNord-Afriko, sed estis unuigitaj de kulturo kaj lingvo. Greka matematiko estas fojfoje nomatahelenisma matematiko.
Greka matematiko estis multe pli malnaiva ol la matematiko kiun ellaboris pli fruaj kulturoj. Ĉiuj travivintaj skribaĵoj de antaŭ-greka matematiko montras la uzon deinduktiva logiko, tio estas, ripetitaj observaĵoj uzata por konstati regulojn praktikajn. Grekaj matematikistoj, kontraste, uzisdeduktivan rezonadon. La grekoj uzis logikon por derivi konkludojn eldifinoj kajaksiomoj.[18]
Greka matematiko komenciĝis laŭ ĝenerala opinio perTaleso (ĉ.624—ĉ.546 a.K.) kajPitagoro (ĉ.582—ĉ.507 a.K.). Kvankam la amplekso de la influo estas disputata, ili estis verŝajne kuraĝigitaj de la ideoj deEgiptio,Mezopotamio kaj ebleBarato. Laŭ legendo, Pitagoro vojaĝis al Egiptio por lerni matematikon,geometrion, kajastronomion de egiptaj pastroj.
Taleso uzis geometrion por solvi problemojn kiaj kiel kalkuli la alton depiramido kaj la distancon de ŝipo de la bordo. Oni atribuas al Pitagoro la unuan pruvon de laTeoremo de Pitagoro, kvankam la diro de la teoremo havas longan historion. En sia komentario priEŭklido,Prokluso diras, kePitagoro esprimis la teoremon, kiu portas lian nomon kaj konstruispitagorajn triopojnalgebre anstataŭ geometrie. LaAkademio dePlatono havis la devizon "neniu nesperta pri geometrio envenu ĉi tien".
Iuj diras ke la plej granda el la Grekaj matematikistoj, se ne el ĉiuj tempoj, estisArĥimedo (287—212 a.K.) deSirakuso enSicilio. LaŭPlutarko, je la aĝo 75, dum li desegnis matematikajn ekvaciojn en la polvo, trapikis lin per lancoromia soldato. Arĥimedo famas ankaŭ pro siaj inventaĵoj, kiaj ladentrado, kaj lapulio.
Antikva Romio postlasis malmultan indikaĵon de iu ajn intereso pripura matematiko.
La lulilo deeŭropa kulturo kaj klereco estis laantikva Grekio. En la novaj sociaj kondiĉoj de grekasklavisma demokratio komencis evoluilogika pripensado, kio ebligis estiĝon de aksioma-deduktiva konstruo de matematikaj teorioj kun logika maniero de pruvado de valideco de unuopaj teoremoj. La plej fama libro verkita sur tiu ĉi bazo, fariĝisElementoj deEŭklido, en la originalo Stoicheia' el la3-a jarcento a.K. Estiĝasmatematika pruvo, en Grekio en konekso kun geometrio. Por la estiĝo de la matematikaj nocioj kaj la operacioj influis praktikaj iniciatoj (komerco,monafero,geodezio,marnavigacioj,astronomio ...), dum por krei la matematikan teorion, por krei sistemon de interpretado de la matematiko gvidis klopodo por aranĝo de la matematikaj ekkonoj, bezono de pruvado de iliaj valideco kaj deduktebleco el la jam pruvitaj faktoj.
Teoremo de Pitagoro; ne estas certe, ĉu la aŭtoro estas Pitagoro mem aŭ lernantoj de lia lernejo
Pli detalaj informoj troveblas en artikoloPitagoro.
Tre interesa staturo fariĝis Pitagoro, kiu asertis, ke ĉion eblas transgvidi al nombra principo kaj li alvicigis al la nombroj diversajn ecojn. Kiel la bazon li konsideris numeron,punkton (punkton kiel elementon de la plej minimuma limigeco - unu punkto estas punkto, du punktoj estassegmento, tri punktoj kreastriangulon, kvar punktojspaca korpo kajsumon de tiuj ĉi nombroj donas numero dek, kiun li konsideris kiel magian konstruon de kosmo kaj laŭ tiu ĉi bazo li kaj liaj sekvantoj poste serĉis interrilatojn inter la objektoj). Pitagoro naskiĝis enMalgranda Azio sur insuloSamoso. Post invado depersanoj li ekloĝis en la sudo deItalio kaj tie li fondis lernejon, kiu estis alirebla por la viroj kaj la virinoj kajdiskriminacia konduto estis malpermesita. En la lernejo li havis senliman aŭtoritatecon. Li dediĉis grandan atentemon algeometrio -teoremo de Pitagoro:La sumo de grandecoj de enhavoj de du kvadratoj superlateroj deortangulo egalas al la enhavo de kvadrato super ĝiahipotenuzo. Sed ne estas klare, ĉu ties aŭtoro estas Pitagoro mem aŭ liaj lernantoj. Samideanoj de lia filozofio nomiĝaspitagoridoj, temis pri grekaj filozofoj, loĝantaj en grekaj vilaĝoj sur la sudo de Italio kaj anoj de la lernejo de Pitagoro.
Pli detalaj informoj troveblas en artikoloEŭklido.
Eŭklido devenis elMegaro. Li apartenis inter samideanojn deSokrato. Li fondis propran lernejon, kiu agadis ĝis la 3-a jarcento kaj koncentriĝis precipe allogiko,paradoksoj kaj trompaj konkludoj.Paradokso de mensoganto:"Se mi diros, ke mi mensogas, ĉu mi diras veron?" El la lernejo ekestis la tuta vico de logikuloj. Sed Eŭklido estas pli konata kiel geometro. Li verkis dektripartajn verkojnElementojn (Stoicheia) kulminantaj per sistemo de centraj aksiomoj de geometrio.
Pli detalaj informoj troveblas en artikoloArkimedo.
Arkimedo devenis elSirakuso kaj li estas unu el plej signifaj kleruloj deantikvo. Li malkovris multe da leĝoj de matematiko kaj fiziko. En geometrio li enpraktikigis negeometriajn nociojn kielmasocentro,mediano. Li dediĉis sin al metodoj de kalkulo de areoj (precipe decirklo,elipso kajparabola segmento kaj volumenoj de figuroj (precipe decilindro,konuso,globo,elipsoido,paraboloido). Li difinis volumenon de rotacia paraboloido, elipsoido kaj hiperboloido en la praktiko per maniero, kiu estas hodiaŭ uzata enintegrala nombro. Ĉirkaŭ la jaro225 a. K. Arkimedo konstatis, ke volumeno de parto deparabolo respondas al 4/3 de volumeno de triangulo kun la sama bazo kaj alteco. Arkimedo konstruis senfinan sukcedon de trianguloj komencante de triangulo kun areo A kaj pluaj pli malgrandaj trianguloj plenigantaj iom post iom la spacon, kiu estis difinita de la parabolo. Li ricevis senfinan sukcedon de volumenoj:
,...
La volumeno de parto de parabolo do egalas al:
Tiu ĉi rezulto estas la unua konata ekzemplo de sumo de nefiniaserio.
Li resumis siajn esplorojn en verkoDe mechanicis propositionubis ad Eratosthenes methodus, malkovrita nur en la20-a jarcento, en la jaro1906. Arkimedo kiel matematikisto derivisperimetron kajvolumenon de cirklo (per difino de proksima valoro depi). Lia plej bona takso estis 3,1418 (eraro sole 0,0002). Necesas konscii, ke Arkimedo ne povis uzi avantaĝojn de algebra kajtrigonometrian enskribon de nombroj dedekuma sistemo. Tial la kalkulo devis estis tre komplika. Tamen Arkimedo mem el propraj matematikaj malkovroj plej multe estimis malkovron de rilato inter surfaco kaj volumeno de globo kaj al ĝi skribita cilindro (temas pri rilato 2:3) - tiu ĉi malkovro estas poste en grafika aspekto formigita sur la tombŝtono de Arkimedo.
La araba matematiko estis plej multe influita de la matematiko mezopotamia, greka kaj barata. El la barata matematiko ĝi transprenis enskribon de nombroj kajalgoritmojn por skriba kalkulado, el la greka matematiko abstraktan geometrion kaj ideon de la aksioma konstruo de matematiko, el la mezopotamia kaj la egiptia mondo ĝi transprenis tradicion denumerike pretendemaj kalkuloj kaj precipe emfazon por uzo de la matematiko en la praktika vivo. La dekuma pozicia sistemo enpenetris malrapide alProksima Oriento kaj ĝi estis uzata apud hejmaj sistemoj. La islama mondo komencis interkonatiĝi kun la t.n. barata sistemo pere de traduko de verkoSinhásitas deal Fazárí en laaraban. Oni komencis uziciferojn elBarato. Ĉar en Eŭropon ili venis pere dearaboj, ili estas hodiaŭ konataj kielarabaj ciferoj. En la historio kaj en la nuntempo de matematiko kaj informatiko rolis kaj rolas gravan rolonpreceptoj por solvi taskojn, ekz. preceptoj por kvar bazaj aritmetikaj operacioj kun naturaj nombroj enskribitaj en la dekuma sistemo. Per la preceptoj de tiu ĉi karaktero okupiĝis komence de la9-a jarcento la araba matematikistoAl-Ĥorezmi (Abū Ĝaʿfar Muḥammad ibn Mūsā al-Ĥŭārizmī); latina misprononco de parto de lia nomo enpraktikigis en la eŭropajn lingvojn vortonalgoritmo. Al-Ĥorezmi kapablis ekzemple geometrie solvikvadratajn ekvaciojn kaj li elpensis ankaŭ simplan algoritmon pormultipliko de ducifera nombro per unucifera nombro. En la jaro800 kaj825 li verkis du verkojn, el kiuj unu estis kalkulolibro, kiu en la latina traduko komenciĝas per vortojAlgoritmi dicit (Tiel diras Al-Ĥorezmi). Ŝajna intermikso de la nomoj estiĝis verŝajne pro misprononco dum la tradukado el la araba en la latinan. La alia verko estis kalkulolibro dealgebro (al-kitāb al-muĥtaṣar fī ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala, "La kompendia libro pri kalkulado per kompletigo kaj balancado"), kiu enhavis sciencon pri solvado de ekvacioj. Laŭ la aŭtoro la ekvacio estasaranĝita, se ĉiuj ties membroj estas pozitivaj. Ĉiuj ekvacioj estis transigataj al tiu ĉi formo, per kio la aŭtoro difinis permesitajn operaciojn per ekvacioj. Li ne konis algebron de ĝeneralaj nombroj.
En la periodo de mezepoko la matematiko, same kiel ceteraj sciencoj malevoluas (ĉefe en Eŭropo). Kelkaj pensantoj kaj ekleziaj matematikistoj venis ankaŭ al certa gravaj rezultoj.Mikolao Oresme (la dua duono de la14-a jarcento) studis ŝatokupepotencigojn kun rompitajeksponentoj, sed ĉefe li verkis verkon, en kiu li okupiĝas per dependeco inter magnitudoj. Li alportas dependevariablon (latitudo) rilate al nedependa variablo (longitudo), kiun eblas mezuri. Estas en tio speco de transiro ekdekoordinato alastra aŭterasferoj (kiujn oni konis jam en antikvo) al modernaj geometriaj koordinatoj. Lia verko pri tio estis kelkfoje presita en la jaroj1482 ĝis1515 kaj verŝajne ĝi influis renesancajn matematikistojn inkluzive deDescartes. Ĝis la komenco de la16-a jarcento estis farita nenia principa paŝo por superi nivelon de la araba kaj la antikva matematikoj. La unuaj vere novaj kaj originaj ideoj alportas la italaj matematikistoj komence de la16-a jarcento, laborantaj en tereno de solvado deekvacioj.
Eĉ post kiam eŭropa matematiko komencis flori dum laRenesanco, eŭropa kaj ĉinia matematiko estis apartaj tradicioj, kun grava ĉina matematika eligado malkreskante, ĝis kiam lajezuitaj misiistoj portis matematikajn ideojn tien kaj reen inter la du kulturoj dum la 16-a tra la 18-a jarcentoj.
LaSurya Siddhanta (c.400) prezentis latrigonometriajn funkciojnsinuson,kosinuson, kaj inversan sinuson, kaj starigis regulojn por determini la verajn moviĝojn de la lumaĵoj, kiuj konformas al ties realaj pozicioj en la ĉielo. Lakosmologiaj tempaj cikloj eksplikitaj en la teksto, kiuj estis kopiitaj de pli frua verko, korespondas al averaĝasidera jaro el 365.2563627tagoj, kiu estas nur 1.4sekundojn pli longa ol la moderna valoro, 365.25636305 tagoj. Ĉi tiu laboro estis tradukita en laaraban kajlatinan lingvojn dum laMezepoko.
Kvankam plejo da islamaj tekstoj pri matematiko estis verkitajarabe, ili estis ne ĉiuj verkitaj fararaboj, ĉar multkiel la statuso de la greka en la helenisma mondo, la araba estis uzata kiel la skriba lingvo de ne-arabaj erudiciuloj ĉie en la islama mondo dum tiu tempo. Iuj el la plej gravaj islamaj matematikistoj estispersoj.
Omar Ĥajam, la12a-jarcenta poeto, estis ankaŭ matematikisto, kaj verkisDiskutoj pri la Malfacilaĵoj en Eŭklido, libro pri malperfektaĵoj enElementoj de Eŭklido. Li donis geometrian solvon alkubaj ekvacioj, unu el la plej originalaj evoluaĵoj en islama matematiko. Li estis ankaŭ tre influa enkalendara reformo. La Persa matematikistoNasir al-Din Tusi (Nasireddin) en la13-a jarcento faris antaŭenigojn en sfera trigonometrio. Li ankaŭ verkis influan verkaĵon pri laparalela postulato de Eŭklido.
Dum la tempo de laOtomana imperio (de la15-a jarcento) la evoluo de islama matematiko iĝis stagna. Ĉi tio paralelas la stagnadon de matematiko post la romiana konkero de la helenisma mondo.
John J. O'Connor kaj Edmund F. Robertson skribis en la arĥivo de laMacTutor History of Mathematics:
"Ĵusa esploro pentras novan bildon de la ŝuldo kiun ni ŝuldas al la islama matematiko. Certe pri multaj el la ideoj kiuj estis antaŭe pensataj esti brilaj novaj komprenaĵoj ŝuldataj al eŭropaj matematikistoj de la dek-sesa, dek-sepa kaj dek-oka jarcentoj, ni nun scias ke ili estis ellaboritaj far arabaj-islamaj matematikistoj kvar jarcentojn pli frue. En multaj manieroj, la matematiko studata hodiaŭ estas multe pli proksima en stilo al tiu de islama matematiko ol al tiu de helenisma matematiko."
Mezepokan eŭropan interesiĝon pri matematiko spronis koncernoj sufiĉe malsamaj de tiuj de modernaj matematikistoj. Iu pela elemento estis la kredo, ke matematiko provizas la ŝlosilon al la kompreno de la kreita ordo de naturo, ofte pravigita perTimaeus dePlatono, kaj la biblia tekstaĵo, ke Dio "ordigis ĉiujn aĵojn mezure, kaj nombre, kaj peze" (Saĝeco 11:21).
Boethius provizis lokon por matematiko en la studprogramo kiam li inventis la terminon "quadrivium" por priskribi la studon de aritmetiko, geometrio, astronomio, kaj muziko. Li verkisDe institutione arithmetica, libera traduko el la grekaEnkonduko al Aritmetiko deNikomaĥoNicomachus;De institutione musica, ankaŭ derivitan de grekaj fontoj; kaj serion de ĉerpaĵoj elElementoj de Geometrio deEŭklido . Lia verkoj estis teoriaj, prefere al praktikaj, kaj estis la bazo de matematikaj studoj ĝis la retrovo de greka kaj araba matematikaj verkoj.[21][22]
Ĉi tiuj novaj fontoj fajreris renovigon de matematiko.Fibonacci, en la frua13-a jarcento, produktis la unuan gravan matematikon en Eŭropo ekde la tempo deEratosteno, post breĉo de pli ol mil jaroj. Ladek-kvara jarcento vidis la evoluon de nova matematikaj konceptoj por esplori larĝan gamon da problemoj.[25] Unu grava areo, kiu kontribuis al la evoluo de matematiko koncernis la analitikon de loka moviĝo. Fibonacci vojaĝis enSirio,Egipto,Sicilio kajProvenco. Li renkontis matematikistojn kaj revenigis el tie kelkajn konaĵojn. Ekzemplo estas la famafibonaĉi-nombro, kiun oni trovas en liaLiber abaci (Libro de kalkuloj).
Thomas Bradwardine proponis, ke rapido (V) pligrandiĝas en aritmetika proporcio kiel la kvociento de forto (F) al rezisto (R) pligrandiĝas en geometria proporcio. Bradwardine esprimis ĉi tion per serio de specifaj ekzemploj, sed kvankam la logaritmo ankoraŭ ne estis inventita, ni povas esprimi lian konkludon anakronisme skribante:V = log(F/R).[26] La analizo de Bradwardine estas ekzemplo de transigo de matematika teĥniko uzita deal-Kindi kaj deArnald de Villanova por kvantigi la naturon de kombinitaj medikamentoj al malsama fizika problemo.[27]
Heytesbury kaj aliaj matematike determinis la distancon kovritan de korpo spertanta unuforme akcelatan moviĝon (kion ni nun solvas per simplaintegralado), dirante, kemoviĝanta korpo unuforme akiranta aŭ perdanta tiun ŝanĝeron [de rapido] trairos en iu donita tempo [distanco]n plene egalan al tiu, kiun ĝi devus trairi se ĝi estus moviĝanta kontinue tra la sama tempo laŭ la meznombra grado [de rapido]".[29]
Nicole Oresme ĉe laUniversitato de Parizo kaj la italoGiovanni di Casali sendepende provizis grafikajn montrojn de ĉi tiu interrilato, asertante, ke la areo sub la linio prezentanta la konstantan akcelon, prezentas la tutan distancon vojaĝitan.[30] En posta matematika komentario pri laGeometrio de Eŭklido, Oresme faris pli detalan ĝeneralan analizon en kiu li montris, ke korpo akiras en ĉiu sekva pliiĝo de tempo pliiĝon de iu ajn kvalito kiu pligrandiĝas kiel la neparaj nombroj. Eŭklido montris, ke la sumo de la neparaj nombroj estas la kvadrataj nombroj, do la tuta kvalito akirita de la korpo pliiĝas kiel la kvadrato de la tempo.[31]
EnEŭropo je la krepusko de laRenaskiĝo, matematiko estis ankoraŭ limigita de la plumpa notacio uzantaromiajn ciferojn kaj esprimanta interrilatojn uzante vortojn, prefere al simboloj: ne estis plusa signo, nek egala signo, nek uzo dex kiel nekonato.
Spronite de la postuloj de navigado kaj la kreskanta bezono por precizaj mapoj de grandaj areoj,trigonometrio kreskis estiĝante grava branĉo de matematiko.Bartholomaeus Pitiscus estis la unua kiu uzis tiun vorton, publikigante sianTrigonometria en1595. La baremo de sinusoj kaj kosinusoj farRegiomontanus estis publikigita en1533.[32]
Jam je la jarcenta fino, danke alRegiomontanus (1436—1476) kajFrançois Viète (1540—1603), inter aliaj, matematiko estis skribata uzante Hind-eŭropajn ciferojn, kaj en formo ne tre malsama de la notacio uzata hodiaŭ.
Komence de la16-a jarcento la eŭropa matematiko transpaŝis kadron de konoj, kiuj estis kreitaj en la antikva Grekio kaj fare de la nacioj de Oriento. Ĝis la interŝanĝo de la16-a kaj la17-a jarcento la matematiko havis kiel objekton de sia esplorado ĉefe kvantajn magnitudojn kaj neŝanĝemajn geometriajn formaciojn.Scipio Del Ferro kaj liaj lernantoj en universitato enBologna kreis teorion, kiu kondukis al ĝenerala solvo dekubaj ekvacioj. En la15-a jarcento la italaj kalkulistoj (praktikantoj) priregis fidinde aritmetikajn kalkulojn inkluzive de kalkulado perneracionalaj nombroj kaj italaj pentristoj estis bonaj geometroj.Vasari en libroLa vivo de pentristoj emfazas apartan intereson de multaj renesancaj artistoj pri la spaca geometrio. Ŝanĝo de sociaj kondiĉoj alportas ankaŭ novajn problemojn, kiujn la matematiko devas solvi. Multe da iniciatoj ĝi ricevas elfizika tereno. La matematiko sentas necesecon trovi rimedojn por pli rapida prilaborado de la akiritaj indikoj. Por kalkuloj estis uzataj diversaj kalkuliloj, komence de la17-a jarcento fariĝis la grava helpiloj delogaritmoj (Napier,Bürgi,Briggs). En frunton de interesoj de la matematikistoj venasmovo. Oni komencas studi variablajn magnitudojn kaj geometrian transformadon.Galileo Galilei venas kun malkovro, kebalistika kurblinio estasparabolo,René Descartes en la jaro1637 montras metodon, per kiu eblas dum certaj kondiĉoj priskribi analitike vojon, sur kiu moviĝaspunkto. Liaanalitika geometrio fariĝas supozo por tio, por ke la matematiko respondu la demandon, kiel moviĝas punkto sur sia vojo (konstante aŭ nekonstante) kaj solvon de tiuj ĉi problemoj demekaniko alportas sendepende de si en la dua duono de la 17-a jarcento novaj matematikaj rimedoj deLeibniz kajIsaac Newton perinfinitezima kvanto. Pli poste ĝi estas aplikata ankaŭ en geometrio (Gaspard Monge). Veno de nobelaro kaj socia evoluo en italaj, francaj, nederlandaj kaj anglaj urboj kun veno de renesanco kontribuis al klopodoj alproksimigi la matematikajn konojn al pli vastaj tavoloj de la socio, kaj nome en la naciaj lingvoj. Tiutempe aperas ankaŭ la unuaj ĉeĥaj kalkulolibroj, el kiuj la unuaj estas eldonitaj en la jaro1530.
La itala matematikistoLuca Pacioli konstatis, ke la ekvacion eblas solvi per kvadrata metodo, sed la ekvaciojn aŭ li ne kapablis solvi. Scipione Del Ferro okupis, same kiel Pacioli, postenon en katedro de aritmetiko kaj geometrio en Universitato de Bologna. Del Ferro okupiĝis per algebra solvado de ekvacioj. Del Ferro ne kapablis solvi la ekvacion de formo x3 + mx = n. Nur post lia morto Nicolo el Brescia, konata sub nomoTartaglia, malkovris ĝeneralan metodon por solvi ĉiujn kubajn ekvaciojn. Girolamo preparis enMilano al Cardan por eldoni sian verkon "Practica Arithmeticae". Li invitis Tartaglion, por ke li malkaŝu al li sekreton de la solvado de kuba ekvacio. Tartaglia postulis, por ke Cardan konservu la sekreton ĝis la tempo, antaŭ ol li mem publikos la solvon. Sed Cardan rompis la promeson. En la jaro1545 li publikigis verkon "Ars Magna", la unua latina traktado pri algebro.La solvado de ekvacio de Cardan estis la jena.
Cardan eliris el rilato:
Se a, b plenuma la rilatojn
poste estas la solvo de la ekvacio. Sed nun estas
,,
t.e.
.
La lasta rilato estas kvadrata ekvacio devariablo, do ĝi estas solvata kiel kutimakvadrata ekvacio.
La verko de CardanArs Magna inspiris vicon da matematikistoj, por ke ili okupiĝu per solvado de la kubaj kaj bikvadrataj ekvacioj. Siajn metodojn derivisViète,Harriot,Euler, kajDescartes.
Plua evoluo de la matematika analizo (la infinitezimala kvanto) ekde la komencoj de Arkimedo okazis nur en la16-a jarcento, kiammekaniko alkondukis matematikistojn por solvi problemojn, kiel estis fokuso degravito.Johannes Kepler en sia verko pri movo de planedoj kalkulis volumenon de partoj de elipso. Li fondis sian metodon laŭ imago de areo kiel sumo desegmentoj, kiu principe estis metodo deintegralo.Pierre Fermat ankaŭ studismaksimumojn kajminimumojn. Li konstatis, ke funkcio atingas sian maksimumon aŭ minimumon, setangento dekurblinio de tiu ĉi funkcio estas paralela kun akso x. Li priskribis sian metodon al Descartes tiel, kiel ni komprenas ĝin hodiaŭ: loka maksimumo aŭ minimumo de la funkcio troviĝas en punktoj, kiederivaĵo de la funkcio egalas al nulo.Gottfried Wilhelm Leibniz havas meriton en ĝis nun uzata enskribo de integraloj. Leibniz enpraktikigis simbolon de integralo kaj en la jaro1675 li uzis enskribon:
En scienca revolucio de la17-a jarcento la matematiko larĝe ekkreskis kaj kiam poste fine de la18-a jarcento laindustria revolucio alportis grandan kvanton de teknikaj problemoj, la matematiko komune kun lafiziko estis preparita por solvi ilin. Sed aperis ankaŭ kelkaj konfliktoj. Komplikajfunkcioj, aperantaj ekz. dum esplorado de gvidado devarmo en diversaj materialoj, devigis por si pliprecizigon de la nociofunkcio,limeso,derivaĵo ks. La unuaj paŝoj en tiu ĉi direkto entreprenisBolzano kajCauchy. Senĉesaj malsukcesoj dum logika esprimado de teorio de paraleloj postulis verkontroladon de bazoj deeŭklida geometrio per alia maniero. Perlogika neo de la kvina postulato de Eŭklido pri paraleloj ĉeLobaĉevskij kajBolyai aperisneeŭklida geometrio kiel matematike tute ĝusta, el siajaksiomoj derivebla kaj en rondo de sia valideco sendisputeblateorio. La malsukceso de klopodoj pri rekta solvo de ĝeneralaj algebraj ekvacioj de pli alta ol la kvara grado kondukis al demando, ĉu tia solvo estas entute ebla.Galois,Ruffini kajAbel montris, ke tia solvo ekzistas kaj konstruis laalgebron (ĝis tiu tempo nur scienco pri solvado de ekvacioj) al tute alian bazon -teorio de grupoj. En la matematiko tiel komencis el la internaj problemoj de ilia konstruado kreiĝi teorioj, kiuj estis logike ĝustaj kaj dum tio ili respondis al nenia konata situacio el la reala mondo. Komenciĝis la nova etapo de la evoluo de matematiko, kiam objekto de esplorado fariĝis abstraktaj kvantitaj rilatoj kaj geometriaj objektoj, kiuj atendis kaj multaj atendas sian praktikan validigon.
La17-a jarcento vidis senprecedencan eksplodon de matematikaj kaj sciencaj ideoj tra Eŭropo.Galileo, italo, observis la lunojn de Jupitero en orbito ĉirkaŭ tiu planedo, uzante teleskopon bazitan sur ludilo importita de Nederlando.Tycho Brahe, dano, estis kolektinta enorman kvanton de matematikaj datumoj priskribantaj la poziciojn de la planedoj en la ĉielo. Lia studento,Keplero, germano, komencis labori je ĉi tiuj datumoj. Parte ĉar li deziris helpi Kepleron en ties kalkuloj,John Napier, en Skotlando, estis la unua kiu esplorisnaturajn logaritmojn. Keplero sukcesis formuli matematikajn leĝojn de planeda moviĝo. Laanalitika geometrio ellaborita deRené Descartes (1596-1650), franca matematikisto kaj filozofo, ebligis grafikan prezentadon per grafikaĵo de tiuj orbitoj, enKarteziaj koordinatoj. Konstruante sur pli frua laboro far multaj matematikistoj,Isaac Newton, anglo, esploris la leĝojn de fiziko eksplikantajn laKeplerajn Leĝojn, kaj kunigis la konceptojn nun nomatajnkalkulo. Sendepende,Gottfried Wilhelm Leibniz, en Germanio, ellaboris kalkulon kaj multon el la notacio de kalkulo ankoraŭ uzata hodiaŭ. Scienco kaj matematiko iĝis internacia entrepreno, baldaŭ disvastiĝonta tra la tuta mondo.[33]
Aldone al la apliko de matematiko al la studoj de la ĉielo, aplika matematiko komencis elvolvi en novajn areojn, kun la korespondado dePierre de Fermat kajBlaise Pascal. Paskalo kaj Fermat metis la fundamentaĵon por la ekzamenoj de lateorio de probabloj kaj la respektivaj reguloj dekombinatoriko en siaj diskutoj superhazardludo. Paskalo kun siaveto, provis uzi la nove ellaboratan teorion de probabloj por argumenti por vivo dediĉita al religio, sur la bazo, ke eĉ se la probablo de sukceso estas malgranda, la rekompenco estas malfinia. En ia senco ĉi tiu antaŭombris la postan evoluon deutileco-teorio en dum18-a kaj19-a jarcentoj.
Kiel ni vidis, scio pri la naturaj nombroj, 1, 2, 3,..., kiel konservita en monolitaj_ strukturoj, estas pli malnova ol iu ajn travivinta skribita teksto. La plej fruaj civilizoj -- en Mezopotamio, Egiptio, Barato kaj Ĉinio -- sciis aritmetikon.
Maniero vidi la evoluon de la diversaj nombrosistemoj de moderna matematiko estas rigardi novajn nombrojn studatajn kaj esploratajn por respondi demandojn pri aritmetiko faritajn super pli malnovaj nombroj. En pratempoj, frakcioj respondis la demandon: kiu nombro obligita per 3, donas la respondon 1. En Barato kaj Ĉinio, kaj multe poste en Germanio, negativaj nombroj estis ellaboritaj por respondi la demandon: kio doniĝas kiam vi subtrahas pli grandan nombron de pli malgranda? La invento de la nulo eble sekvis de simila demando: kio doniĝas kiam vi subtrahas nombron de si?
Alia natura demando estas: kia nombro estas la kvadrata radiko de du? La grekoj sciis, ke ĝi estis ne frakcio, kaj ĉi tiu demando eble ludis rolon en la evoluo deĉenfrakcioj. Sed pli bona respondo venis kun la invento de dekumaj frakcioj ellaboritaj deJohn Napier (1550 -1617) kaj perfektigitaj poste deSimon Stevin. Uzante dekumajn frakciojn, kaj ideon, kiu anticipis la koncepton de lalimeso, Nepero ankaŭ studis novan konstanton, kiunLeonhard Euler (1707 -1783) nomise.
Eŭlero estis tre influa en la normigo de aliaj matematikaj terminoj kaj notacioj. Li nomis la kvadratan radikon de minus 1 per la simboloi. Li ankaŭ popularigis la uzon de la grekoj literoj por signi la kvocienton de cirkonferenco de ciklo al ties diametro. Li tiam derivis iun el la plej rimarkindaj identoj en la tuta matematiko:
Neŭtona (ruĝa) orbito kompare al Ejnstejna orbito (blua) de sola planedo orbitanta ĉirkaŭ astron kun la relativeca efiko kaŭzantaprecesion de laapsidoj
Tiu jarcento vidis la evoluon de la du formoj deneeŭklida geometrio, kie laparalela postulato deeŭklida geometrio ne plu tenas. En eŭklida geometrio, donite linion kaj punkton ne sur tiu linio, estas nur unu paralelo al la donita linio tra la donita punkto. La rusa matematikistoNikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij kaj lia rivalo, la hungara matematikistoJanos Bolyai, sendepende esplorishiperbolan geometrion, kie unikeco de paraleloj ne plu tenas. En tiu geometrio la sumo de anguloj en triangulo adiciiĝas al malpli ol 180°.Elipsa geometrio estis ellaborita poste en la19-a jarcento far la germana matematikistoBernhard Riemann; ĉi tie neniu paralelo povas troviĝi kaj la anguloj en triangulo adiciiĝas al pli ol 180°. Reimmann ankaŭ ellaborisrimanan geometrion, kiu interligas la tri specojn de geometrio, kaj li difinis la koncepton desternaĵo, kiu ĝeneraligas la ideojn dekurboj kajsurfacoj. Tiuj konceptoj pruviĝis gravaj en laTeorio de Relativeco deAlbert Einstein.
Meze de la jarcento praktika apliko de matematiko montriĝis ĉeFlorence Nightingale, famiĝintabrita flegistino. Ŝi uzisdiagramon (evoluigitan de William Playfair en1801) por kvante kaj kvalite priskribi la kaŭzojn de morto de soldatoj inter 1854 kaj 1856 enmalsanulejo, kiun ŝi administris. Tamen, matematiko estis malpermesata al virinoj en ĉi tiu epoko. Sed malgraŭ tio, danke al ŝiaj diagramoj, praktike aplikata matematiko evoluigis la flegadon. Ĝi ebligis kompletan statistikan studadon de la kampanjo pri higieno enBarato, kiu multe kontribuis al la plibonigo de flegado kaj publikaj sanservoj tiulandaj.
Aldone al novaj direktoj en matematiko, pli malnova matematiko ricevis pli fortan logikan fundamenton, aparte en la kazo dekalkulo, per laboro perAugustin-Ludovika Koŝio kajKarl Weierstrass.
Nova formo de algebro estis ellaborita en la dek-naŭa jarcento nomitabulea algebro, inventita de la brita matematikistoGeorge Boole. Ĝi estis sistemo en kiu la nuraj nombroj estis 0 kaj 1, sistemo kiu hodiaŭ havas gravajn aplikojn enkomputiko.
Ankaŭ, por la unua fojo, la limigoj de matematiko estis esploritaj.Niels Henrik Abel, norvego, kajÉvariste Galois, franco, pruvis, ke estas neniu ĝenerala algebra maniero solvi polinomajn ekvaciojn de grado pli granda ol kvar. Aliaj 19a-jarcentaj matematikistoj ekspluatis ĉi tion en siaj pruvoj, ke liniilo kaj cirkelo solaj estas ne sufiĉaj por trionigi (en:"trisect") ajnan angulon, por konstrui la flankon de kubo duoble volumena ol donita kubo, nek por konstrui kvadraton egalan en areo al donita cirklo. Matematikistoj jam vane provadis solvi ĉiujn ĉi tiuj problemoj ekde la tempo de la antikvaj grekoj.
La esploroj de Abel kaj Galois en la solvoj de diversaj polinomaj ekvacioj faris la fundamentojn por pluaj evoluaĵoj degrupa teorio, kaj la asociitaj kampoj deabstrakta algebro. En la 20-a jarcento fizikistoj kaj aliaj sciencistoj estas vidintaj grupan teorion kiel la ideala vojo por studisimetrion.
Antaŭ la20-a jarcento, estis tre malmultaj kreivaj matematikistoj en la mondo en iu ajn tempo. Grandaparte, matematikistoj estis ĉu naskiĝintaj riĉaj, kiel Nepier, aŭ subtenataj de riĉaj mecenatoj, kiel Gaŭso. Estis malmultaj kiuj trovis magran vivtenadon instruante ĉe universitato, kiel Fourier.Niels Henrik Abel, neebla ricevi postenon, mortis malriĉa de malbonnutrado kaj tuberkulozo je la aĝo dudek-ses.
En periodo de la dua mondmilito estas en atentocentrokriptografio (scienco pri ĉifrado), kunigita kun germana ĉifra maŝinoenigma. Aliancanoj sukcesis trabati kodon kaj tio mallongigis la militon preskaŭ je du jaroj. La plene evoluinta kapitalismo alportis ŝtorman evoluon de ekonomio, kiu eluzas la matematikon. La matematiko plu enpenetris en multajn sciencojn kaj fariĝis ilia nedisigema parto.John Forbes Nash venas kun siateorio de ludoj (ĝi validiĝis en ekonomio). Grandan rompon alportas rapide evoluanta komputiltekniko, kiu grandege plirapidigas kalkulojn. En tereno de geometrio aperasfraktaloj (geometriaj objektoj similaj al si, kiuj havas je unua ekvido tre komplikan formon, sed ili estas generitaj per ripetata uzo de simplaj reguloj). La nocion fraktalo unuafoje uzisBenoît Mandelbrot en la jaro1975, sed tiaj ĉi objektoj estis konataj jam antaŭe. Temas pri la plej komplikaj geometriaj objektoj esplorataj per la hodiaŭa geometrio. Ili validiĝas en komputila grafiko. La matematiko daŭrigas en abstrakto ĝis tiaj operacioj kiel estasĥaosoteorio,kvanta ĥaoso ktp.
Danke al senĉese perfektigantajintegraj cirkvitoj plialtiĝas efikemo de komputiltekniko kaj per tio ankaŭ rapideco de kalkuloj.
La granda abstrakteco de la hodiaŭa matematiko kreas supozojn por ties validiĝo ne nur kiel tradicie en la fiziko kaj koneksantaj teknikaj sciencoj, sed ankaŭ en la tuta vico de natursciencoj kaj sociaj sciencoj. Senĉese disvastiĝas amplekso de la terenoj de matematiko. Tio ne estas nur klasikaj terenoj -algebro,analizo,geometrio,teorio de nombroj,statistiko kaj teorio de probablo. Granda emfazo estas metata almatematika logiko,filozofia klarigo (metamatematiko) kaj kunigo de la plej modernaj teorioj kun la praktiko. La matematiko estiĝis el praktika bezono de la homaro kaj iom post iom ĝi transŝoviĝis ĝis abstrakto kaj ĝi senĉese atendas multajn teoriojn. Tiuj teorioj, kiuj hodiaŭ ŝajnas neimageble malproksimaj al hodiaŭa kutima praktiko, povas en estonteco montriĝi kiel tre utilaj.
La profesio de matematikisto iĝis multa pli grava en la20-a jarcento. Ĉiujare, centoj da novaj PH.D.-oj en matematiko estas aljuĝataj, kaj postenoj estas haveblaj, kaj en instruado, kaj en industrio. Matematika evoluo kreskis je eksponenta rapido, kun tro multaj novaj evoluoj por ke superrigardo eĉ menciu mallonge ajnajn krom kelkajn el la plej profundaj.
En1900,David Hilbert prezentis liston de23 nesolvitaj problemoj en matematiko ĉe laInternacia Kongreso de Matematikistoj. Ĉi tiuj problemoj tragamis multajn areojn de matematiko kaj formis centran fokuson por multe de 20-jarcenta matematiko. Hodiaŭ dek jam estas solvitaj, sep estas parte solvitaj, kaj du problemoj restas ankoraŭ malfermaj. La ceteraj kvar estas tro lozaj por ke oni diru ĉu ili estas solvitaj, ĉu ne.
La francaBourbakia Grupo provis kunigi la tutan matematikon en koheran rigoran tuton, publikigante sub lapseŭdonimoNicolas Bourbaki. Ilia (mult)ampleksa laboro havis disputatan influon sur matematikan klerigadon.[34]
Jam je la fino de la jarcento, matematiko eĉ trovis sin penetranta arton, ĉarfraktala geometrio produktisbelajn geometriajn formojn neniam antaŭe viditajn.
En la krepusko de la21-a jarcento, multaj edukistoj esprimis zorgojn pri nova subklaso, la matematike kaj science analfabetaj (malkleraj).[35] Samtempe, matematiko, scienco, inĝenierado, kaj teĥnologio kune kreadis scion, komunikadon, kaj prosperon nerevitajn de antikvaj filozofoj.
Ĉi-jarcente kalkuloj estas faritaj per kompleksajkomputiloj. En mez-marto, 2007, teamo de sciencaj esploristoj trae tra Nordameriko kaj Eŭropo uzis retojn de komputiloj por mapiE8-on.[36] Kvankam estas ankoraŭ ne sciate ĝuste kiel ĉi tiu kompreno de E8 povas esti aplikota, la malkovro estis granda signo kaj deteama laboro kaj de komputa teĥnologio en moderna matematiko.
↑ Sir Thomas L. Heath,A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, "Kaze de matematiko, estas la greka kontribuo kiu plej sciendas, ĉar estis la grekoj kiuj la unuaj faris matematikon scienco."
↑. Science Updates. The National Health Museum - La Nacia Sana Muzeo. Alirita 2006-05-06 .
↑. Ethnomathematics. Tacoma Community College - Tacoma Komunuma Kolegio. Alirita 2006-05-06 .
↑. MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department - SUNY (Buffalo) matematika departemento. Alirita 2006-05-06 .
↑. MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department - SUNY (Buffalo) matematika departemento. Alirita 2006-05-06 .
↑Thom, Aleksander kaj Archie Thom,The metrology and geometry of Megalithic Man (~"La mezuriko kaj geometrio de megalita homo," pp 132-151 en C.L.N. Ruggles, ed.,Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom (`"Rigestraĵoj en Ŝtono: Paperoj en memoro de Aleksander Thom"), (Kembriĝo (Britio): Cambridge Univ. Pr., 1988)ISBN 0-521-33381-4
↑. Hinda Matematiko: Redressing la balance. School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews - Lernejo de Matematika kaj Komputa Scienca Universitato de Sankt-Andreo. Alirita 2006-05-06 .
↑Aaboe, Asger. (1998)Episodes from the Early History of Mathematics - Epizodoj de la Frua Historio de Matematiko. (Novjorko, Nov-Jorkio): Random House, p. 30–31.
↑Mathematical Expeditions: Chronicles by the Explorers. (~Matematikaj Ekspedicioj: Kronikoj de la Esploristoj) far David Pengelley, Reinhard C. Laubenbacher
↑Howard Eves,An Introduction to the History of Mathematics (~"Enkonduko al la Historio de Matematiko"), Saunders, 1990,ISBN 0-03-029558-0
↑Martin Bernal,Animadversions on the Origins of Western Science (~"Kritikaĵoj pri la Fontoj de Okcidenta Scienco", pp. 72-83 en Mikaelo H. Trunko, red.,The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages (~"La Scienca Entrepreno en Antikveco kaj la Mezepoko"), (Ĉikago: Univ. de Chicago Pr.) 2000, pri matematikaj pruvoj vidu p. 75.
↑Howard Eves,An Enkonduko al la Historio de Matematiko, Saunders, 1990,ISBN 0-03-029558-0 p. 141 "Neniu verko, escepte deLa Biblio, estas pli multhome uzita... ."
↑Caldwell, Johano (1981) "LaDe Institutione Arithmetica kaj laDe Institutione Musica", pp. 135-154 en Margareta Gibson, red.,Boethius: Lia Vivo, Penso, kaj Influo, (Oksfordo: Bazilio Blackwell).
↑Folkerts, Menso,"Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).
↑Marie-Thérèse d'Alverny,"Tradukoj kaj Tradukistoj," pp. 421-462 en Robert L. Benson kaj Giles Constable,Renaissance and Renewal in the Twelfth Century (~Renaskiĝo kaj Renovigo en la Dek-dua Jarcento), (Kembriĝo (Britio): Harvard Univ. Pr., 1982)
↑Ulo Beaujouan, La Transformo de la Quadrivium," pp. 463-487 en Robert L. Benson kaj Giles Constable,Renaskiĝo kaj Renovigo en la Dek-dua Jarcento, (Kembriĝo (Britio): Harvard Univ. Pr., 1982)
↑Grant, Eduardo kaj John E. Murdoch (1987), red-oj.,Matematiko kaj ĝiaj aplikoj al scienco kaj natura filozofio en la Mezepoko, (Kembriĝo (Britio): Cambridge University Press)ISBN 0-521-32260-X.
↑Clagett, Marshall (1961)The Science of Mechanics in the Middle Ages (~La Scienco de Mekaniko en la Mezepoko), (Madison: Univ. de Viskonsino Pr.), pp. 421-440.
↑Murdoch, John E. (1969) "Mathesita en Philosophiam Scholasticam Introducta: La Pligrandiĝo kaj Evoluo de la Apliko de Matematiko en Dek-kvara-Jarcenta Filozofio kaj Teologio," pp. 215-254 enArtoj libéraŭ et philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institut d'Études Médiévales), ĉe pp. 224-227.
↑Clagett, Marshall (1961)The Science of Mechanics in the Middle Ages, (~La Scienco de Mekaniko en la Mezepoko), (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 210, 214-15, 236.
↑Clagett, Marshall (1961)The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. de Wisconsin Pr.), p. 284.
↑Clagett, Marshall (1961)The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 332-45, 382-91.
↑Nicole Oresme, "Questions on theGeometry of Euclid" (~"Demandoj pri laGeometrio de Eŭklido") Q. 14, pp. 560-5 en Marshall Clagett, red.,Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (~Nicole Oresme kaj la Mezepoka Geometrio de Kvalitoj kaj Moviĝoj,) (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1968).
↑Grattan-Guinness, Ivor. (1997) 'The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences - La Ĉielarko de Matematiko: Historio de la Matematikaj Sciencoj'. W.W. Norton.ISBN 0-393-32030-8.
↑Eves, Howard,An Introduction to the History of Mathematics ~ Enkonduko al la Historio de Matematiko, Saunders, 1990,ISBN 0-03-029558-0, p. 379, "...la konceptoj de kalkulo...(estas) tiel vastatingaj kaj praktikis tian influon sur la moderna mondo, ke eble estas ĝuste diri, ke sen ia scio de ili persono hodiaŭ apenaŭ povas pretendi bonan klerecon."
↑Estela A. Gavosto, Steven G. Krantz, William McCallum, redaktintoj,Modernaj Eldonoj en Matematika Klerigado, Kembriĝo (Britio) University Press, 1999,ISBN 0-521-65471-8
Aaboe, Asger. (1964)Episodes from the Early History of Mathematics - Epizodoj de la Frua Historio de Matematiko. Novjorko, NY): Random House.
Boyer, C. B.,A History of Mathematics ~A Historio de Matematiko, 2nd red. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed.ISBN 0-471-54397-7).
Eves, Howard,An Introduction to the History of Mathematics ~An Enkonduko al la Historio de Matematiko, Saunders, 1990,ISBN 0-03-029558-0,
Hoffman, Paul,The Man Who Loved Only Numbers: The Story ofPaul Erdős and the Search for Mathematical Truth ~La Viro Kiu Amis Nur Nombroj: La Etaĝo dePaŭlo Erdős kaj la Serĉo por Matematika Vero. New York: Hyperion, 1998ISBN 0-7868-6362-5.
van der Waerden, B. L.,Geometry and Algebra in Ancient Civilizations ~Geometrio kaj Algebro en Antikvaj Civilizoj, Springer, 1983,ISBN 0-387-12159-5.
Stigler, Stephen M.. (1990)The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 - La Historio de Statistiko: La Mezuro de Necerteco antaŭ 1900. Belknap Press.ISBN 0-674-40341-X.
Bell, E.T.. (1937)Men of Mathematics - Viroj de Matematiko. Simon and Schuster.
Gillings, Richard J.. (1972)Mathematics in the time of the pharaohs - Matematiko en la tempo de la faraonoj. Cambridge (Britio), MA: M.I.T. Press.
Heath, Sir Thomas. (1981)A History of Greek Mathematics - Historio de Greka Matematiko. Dover.ISBN 0-486-24073-8.
Menninger, Karl W.. (1969)Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers - Nombraj Vortoj kaj Nombro-Simboloj: Kultura Historio de Nombroj. MIT Press.ISBN 0-262-13040-8.
Burton, Davido M.The History of Mathematics: An Introduction ~La Historio de Matematiko: An Enkonduko. McGraw Hill: 1997.
Katz, Venkinto J.A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition. ~A Historio de Matematiko: An Enkonduko, 2-a Redakcio.Addison-Wesley: 1998.
MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor kaj Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). Premiita retejo enhavanta detalajn biografiojn pri multaj historiaj kaj modernaj matematikistoj, kaj ankaŭ informon pri famaj kurboj kaj diversaj temoj en la historio de matematiko.
History of Mathematics Home Page (David E. Joyce; Clark University). Artikoloj pri diversaj temoj en la historio de matematiko kun (mult)ampleksa bibliografio.
Mathematics Pages (Jeff Miller). Enhavas informo sur la plej fruaj konataj uzoj de simboloj kaj terminoj uzataj en matematiko kaj ankaŭ kolekto de poŝtmarkoj prezentantaj matematikistojn.
.jpg)
.png)
.gif)
