Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltu al enhavo
Vikipedio
Serĉi

Eŭklida distanco

Nuna versio (nereviziita)
El Vikipedio, la libera enciklopedio

Page version status

The page has not been checked

Estas neniuj versioj de ĉi tiu paĝo, do ĝi eblene estiskvalite kontrolita.

Enmatematiko laeŭklida distanco aŭeŭklida metriko estas la "ordinara"distanco inter dupunktoj, mezurebla perrektilo. Tiu distanco estas invarianta sub turnado (rotacio) de la koordinata sistemo, kio povas esti pruvita per ripetita apliko de lapitagora teoremo. Per uzo de tiu formulo kiel distanco,eŭklida spaco iĝasmetrika spaco, eĉhilberta spaco. Pli malnova literaturo nomas tiun metrikonpitagora metriko.

Difino

[redakti |redakti fonton]

Laeŭklida distanco inter du punktojP=(p1,p2,...,pn){\displaystyle P=(p_{1},p_{2},...,p_{n})\,} kajQ=(q1,q2,...,qn){\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})\,}, eneŭklidan-spaco estas difinita kiel:

(p1−q1)2+(p2−q2)2+⋯+(pn−qn)2=∑i=1n(pi−qi)2{\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}}

Unu-dimensia distanco

[redakti |redakti fonton]

Por du 1D-punktoj,P=(px){\displaystyle P=(p_{x})\,} kajQ=(qx){\displaystyle Q=(q_{x})\,}, la distanco estas kalkulebla kiel:

(px−qx)2=|px−qx|{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|}

La absolut-valoraj signoj estas uzataj, ĉar distanco estas normale konsiderata kiel sensigna skalara valoro.

Du-dimensia distanco

[redakti |redakti fonton]

Por du 2D-punktoj,P=(px,py){\displaystyle P=(p_{x},p_{y})\,} kajQ=(qx,qy){\displaystyle Q=(q_{x},q_{y})\,}, la distanco estas komputita kiel:

(px−qx)2+(py−qy)2{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}}

Proksimumaj du-dimensiaj kalkuladoj por komputilaj aplikoj

[redakti |redakti fonton]

Rapida proksimuma kalkulado de du-dimensia distanco bazita sur okangula rando povas esti komputita kiel sekvas.Estudx=|px−qx|{\displaystyle dx=|p_{x}-q_{x}|} (absoluta valoro) kajdy=|py−qy|{\displaystyle dy=|p_{y}-q_{y}|}. Sedy>dx{\displaystyle dy>dx}, proksimuma distanco estu0,41dx+0,941246dy{\displaystyle 0,41dx+0,941246dy}.(Sedy<dx{\displaystyle dy<dx}, interŝanĝu tiujn valorojn.)La diferenco al la ĝusta distanco estas inter −6 % kaj +3 %; pli ol 85 % de ĉiuj eblaj diferencoj estas inter −3% kaj +3%.

image:fasteuclid.png

JenaMaple-kodo realigas tiun proksimuman kalkuladon kaj produktas la grafikan prezenton dekstre, kun vera cirklo en nigro kaj la okangula proksimuma rando en ruĝo:

fasthypot := unapply(piecewise(abs(dx)>abs(dy), abs(dx)*0.941246+abs(dy)*0.41, abs(dy)*0.941246+abs(dx)*0.41), dx, dy):hypot := unapply(rad(x^2+y^2), x, y): plots[display]( plots[implicitplot](fasthypot(x,y) > 1, x=-1.1..1.1, y=-1.1..1.1, numpoints=4000), plottools[circle]([0,0], 1), scaling=constrained,thickness=2);

Ankaŭ aliaj proksimumaj kalkuladoj ekzistas. Oni ĝenerale provas eviti lakvadratan radikon, kiu estas multekosta operacio rilate al procezada tempo, kaj atingi diversajn rilatumojn inter eraro kaj rapido. Per uzo de la ĉi-supra notacio,dx +dy − (1/2)×min(dx,dy) rezultigas eraron en intervalo de 0 % al 12 % (atribuita al Alan Paeth). Pli bona proksimuma kalkulado rilate al RMS-eraro estas:dx +dy − (5/8)×min(dx,dy), rezultiganta eraron en intervalo de −3 % al 7 %.

Ankaŭ notu, ke kiam oni komparas distancojn (por trovi la pli grandan, ne por kalkuli la diferencon), tute ne necesas kalkuli la kvadratan radikon. Se distancoA{\displaystyle A} estas pli granda ol distancoB{\displaystyle B}, tiamA2{\displaystyle A^{2}} ankaŭ estos pli granda olB2{\displaystyle B^{2}}. Aŭ, kiam oni kontrolas, ĉu distancoA{\displaystyle A} estas pli granda ol2B{\displaystyle 2B}, tio estas la sama kiel kompariA2{\displaystyle A^{2}} kun(2B)2{\displaystyle (2B)^{2}} aŭ4B2{\displaystyle 4B^{2}}, kaj tiel plu. Ekzemplo de la unua kazo povus esti, kiam oni provas difini, kiu punkto el punkto-krado estas plej proksima al donita ne-krada punkto. Tio tamen ne vere estas proksimuma kalkulado, ĉar la rezultoj estas ekzaktaj.

Tri-dimensia distanco

[redakti |redakti fonton]

Por du 3D-punktoj,P=(px,py,pz){\displaystyle P=(p_{x},p_{y},p_{z})\,} kajQ=(qx,qy,qz){\displaystyle Q=(q_{x},q_{y},q_{z})\,}, la distanco estas kalkulebla kiel:

(px−qx)2+(py−qy)2+(pz−qz)2{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}}

Proksimumaj tridimensiaj kalkuladoj por komputilaj aplikoj

[redakti |redakti fonton]

Kiel notite en la sekcio pri du-dimensia proksimuma kalkulado, kiam oni komparas distancojn (por trovi la pli grandan), tute ne necesas preni la kvadratan radikon. Se distancoA{\displaystyle A} estas pli granda ol distancoB{\displaystyle B}, tiamA2{\displaystyle A^{2}} ankaŭ estos pli granda olB2{\displaystyle B^{2}}.

Ekzemplo estas kiam oni serĉas la minimuman distancon inter du surfacoj en 3D-spaco. Komence oni konstruas punktan kradon sur ĉiu surfaco, kaj komparas la distancon de ĉiu krada punkto sur la unua surfaco kun ĉiu krada punkto sur la dua surfaco. Ne necesas scii la realajn distancojn, sed nur kiu distanco estas la plej malgranda. Kiam la plej proksimaj du punktoj estas trovitaj, oni kreas multe pli malgrandan punktan kradon ĉirkaŭ tiuj plej proksimaj punktoj sur ĉiu surfaco kaj ripetas la procezo. Post kelkaj ripetoj, la plej proksimaj du punktoj povas tiam esti komputitaj kun ajna dezirata precizeco; nur tiam oni prenas (unufoje) la kvadratan radikon por kalkuli ilian distancon.

Vidu ankaŭ

[redakti |redakti fonton]
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/wiki/Eŭklida_distanco"
Kategorio:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp