Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Saltu al enhavo

Diferencialo

Redakti ligilojn

El Vikipedio, la libera enciklopedio

Ĉi tiu artikolo temas priDiferencialo defunkcio. Por aliaj signifoj vidula artikolonDiferencialo (apartigilo).

Enmatematiko, ladiferencialo dereela funkcio de unu aŭ plurajvariabloj estas mezuro de la funkcia vario (kresko aŭ malkresko). Penso pri diferencialoj estas natura sekvo de studo dederivaĵoj. Ĉiu diferencialo estas konstruata sur iu funkcio, sed ankaŭ en iupunkto. Tiel, diferencialo dependas el funkciof kaj punktoa en sia fontaro. Iom plej precize, la diferencialo informas pri la kresko def ĉirkaŭa: sex estas ĉea, la diferenco inter $f(x)$ kaj $f(a)$ kaj la diferenco $x-a$ estas en iuproporcio, kiun la diferencialo def mezuras. La kvalito de tiu proporcio pligrandas sex pliproksimias ala. Sef estas kontinua ena, $f(x)-f(a)$ estas malgranda se $x-a$ estas sufiĉe malgranda. La diferencialo mezuraskiom malgranda ĝi estas.

Kiamf havas pli ol unu argumenton, la diferenco $f(x)-f(a)$ ne dependas nur de laabsoluta valoro $|x-a|$ , sed ankaŭ de ĝiadirekto. Simplaekzemple, la duargumenta funkcio $f(x,y)=x$ ne ŝanĝas sey ŝanĝas, sed $f(x,0)-f(0,0)=x$ . Tio montras ke, en la punkto $(0,0)$ ,f iusence havas derivaĵon ${\frac {x}{x}}=1$ . La diferencialo def indikas tiun sintenon, montrante ekzemple la direkton en kiuf kreskas plej rapide.

Laŭ la matematika sperto, por studi funkcioj loke (t.e., ĉirkaŭ iu punkto), estas utile kompari ĝin kunlinearaj funkcioj (kaj por fari tionlineara algebro multe gravas). La funkcioj $T(x_{1},...x_{n})=c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}$ , kvankam simplaj, ŝanĝas malegale en diferencaj direktoj. Do, ili povas modeli la kreskon de diversaj funkcioj. Se la nombrojn $c_{1},...c_{n}$ oni imagas kiel variablojn, malfiniaj linearaj funkcioj imagiĝas, kaj unu el ili povas esti tia, ke $f(x)-f(a)$ estas proksimume $T(x-a)$ , se oni rigardas nurxjn proksimajn ala. Alia esprimebleco por tio estas diri ke $f(x)-f(a)-T(x-a)=f(x_{1},...x_{n})-f(a)-(c_{1}(x_{1}-a_{1})+...+c_{n}(x_{n}-a_{n}))$ povas esti malgranda eraro, se oni elektas korektajn $c_{1},...c_{n}$ .

Geometrie, linearaj funkcioj havas ebenojn kiel grafikoj (almenaŭ se la domajno estasdudimensia). Se $f(x)-f(a)$ estas preskaŭ lineara, la grafiko def estas preskaŭ la grafikebeno. Tio harmonias kun la intuicio ke, en grafikoj de dudimensiaj funkcioj, oni povas imagi ebenojn tanĝantajn al la grafiksfurfaco.

Sed ne ĉiuj funkcioj havas diferencialon, kaj estas funkcioj, kiuj havas diferencialojn nur en kelkaj punktoj. La funkcioj, kiuj havas, nomiĝasdiferencialeblaj (ena). Sef estas diferencialebla en ĉiu punktoa de sia domajno, oni nomas ĝin "ĉiupunkte diferenciabla", "ĉie diferenciabla" aŭ simile.

Per derivaĵoj oni povas, laŭ la metodoj de ladiferenciala kalkulo kajmatematika analitiko, kalkuli kaj plikompreni lainklinon defunkcia grafiko en iupunkto,tanĝantojn alkurbojn, aŭ enfiziko momentanrapidecon. Per la diferencialoj oni povas plue studigrafikojn de duargumentaj funkcioj aŭ diferencialan geometrion.

Laformulo por la diferencialo de la funkcio $y=f(x)$ ĉe $x_{0}$ estas $\mathrm {d} y=f'(x_{0})\cdot \mathrm {d} x$ .