Множина́ — одне з найважливіших понять сучасноїматематики. Поняття множини введеноаксіоматично як сукупність певних об'єктів довільної природи,[1] і тому множину не можнаозначити застосовуючи інші означені поняття. Навпаки, за допомогою поняття «множина» означають багато інших понять, і не лише в математиці. Об'єкти, які складають множину, називаютьелементами цієї множини. Наприклад, можна говорити про множину всіх книг у певній бібліотеці, множину літерукраїнського алфавіту, про множину всіх коренів певногорівняння, множину геометричних фігур, або, навіть, множину, яка складається з інших множин.
Поняття множини виникло в математиці в кінці 19 століття.[2] Перші принципитеорії множин були сформульованіБернардом Больцано у його роботіПарадокси нескінченності.[3][4][5]
З 1872 по 1897Георг Кантор опублікував ряд робіт, в яких були систематично викладені основні розділи теорії множин. У цих роботах він не тільки ввів основні поняття теорії множин, але й збагатив математику міркуваннями нового типу, які застосовував для доведення теорем теорії множин, зокрема вперше до нескінченних множин. Тому загальновизнано, що теорію множини створив Георг Кантор. Зокрема, він визначив множину як «єдине ім'я для сукупності всіх об'єктів, що мають цю властивість», та назвав ці об'єкти елементами множини. Множину всіх об'єктів, які мають властивість (тобтотвердження, істинність якого залежить від значення змінноїx), він позначив, а саму властивість назвавхарактеристичною властивістю множини .
Основна властивість множини полягає в тому, що вона може мати елементи. Дві множини рівні, якщо вони мають однакові елементи. Тобто, множиниA таB рівні, якщо кожен елементA є елементомB, а кожен елементB є елементомA.
Проста концепція множин виявилася надзвичайно корисною в математиці, але якщо не накласти певних обмежень на те, як можна будувати множини, виникаютьпарадокси:
Парадокс Расселла показує, що «множина всіх множин, якіне містять самих себе», тобто — множина і, не може існувати.
Парадокс Кантора показує, що «множина всіх множин» не може існувати.
Унаївній теорії множин множина визначається як будь-якадобре визначена сукупність окремих елементів, але через нечіткість термінадобре визначений виникають проблеми.
Оскільки теорія множин фактично використовується як основа для всіх сучасних математичних теорій, в 1908 році вона була аксіоматизована незалежноБертраном Расселом іЕрнстом Цермело. Надалі обидві системи переглядалися і змінювалися, але в основному зберегли свій характер. Вони відомі яктеорія типів Рассела татеорія множин Цермело — Френкеля. Згодом теорію множин Кантора стала називатися наївною теорією множин, а теорію, перебудовану після Кантора, — аксіоматичною теорією множин. Аксіоматична теорія множин приймає поняття множини якнеозначуване поняття.[6]
На практиці, що склалася з середини XX століття, множина визначається як модель, що задовольняє аксіомам ZFC (аксіоми Цермело-Френкеля заксіомою вибору). Проте за такого підходу у деяких математичних теоріях виникають сукупності об'єктів, які не є множинами. Такі сукупності називаютьсякласами.
Цей спосіб задає множину шляхом перерахування її елементів через кому у фігурних дужках. Наприклад,
,
У множині має значення те, чи належить їй певний елемент чи ні, тому впорядкування елементів у записі не має значення (на противагу, упослідовності,кортежі чиперестановці множини порядок елементів у записі має значення). Наприклад, та представляють ту саму множину.
Для множин з великою кількістю елементів, особливо тих, які слідують за певним шаблоном, перелік елементів можна скорочувати за допомогоютрьох крапок '...'. Наприклад, множина першої тисячі натуральних чисел може бути записана за допомогою переліку її елементів як
Задання нескінченної множини за допомогою переліку її елементів
Нескінченна множина — це множина з нескінченним переліком елементів. Щоб описати нескінченну множину в цьому записі потрібно в кінці переліку або в обох кінцях поставити три крапки, щоб вказати, що перелік продовжується вічно. Наприклад, для множини цілих невід’ємних чисел буде
В математичних задачах, як правило, розглядають елементи деякої цілком означеної множиниA. При цьому необхідні елементи виділяють за деякою їх властивістю (або вказуютьпороджуючу процедуру)P, такою що кожний елемент або має властивістьP (записуєтьсяP(x)), або не має її. За допомогою властивостіP виділимо множину всіх тих елементів, які мають властивістьP. Цю множину будемо позначати як. У цьому записівертикальна риска «|» означає «такий, що», це описати можна як «F — це множина елементів множиниA, що задовольняють умовуP». Деякі автори замість вертикальної риски використовуютьдвокрапку «:». Задання множини вказівкою її властивості (абопороджуючим предикатом) слід здійснювати обережно. Наприклад, множина (множина всіх множин, які не містять себе як елемента) веде допарадокса Рассела і є некоректною ваксіоматичній теорії множин.
Об'єкти, з яких складається множина, називаютьелементами множини аботочками множини. Елементи множин часто позначаються через малі літери латинського алфавіту. Якщо — елемент множини, то пишуть (кажуть, що « належить »). Якщо не є елементом множини, то пишуть (кажуть, що « не належить»).
Порядок запису елементів множини не впливає на саму множину, тобто. Крім цього з вищесказаного випливає, що для множини не визначено кількість входжень однакових елементів, тобто запис, взагалі кажучи, не має сенсу, коли — множина. Однак коректним буде запис множини.
Якщо кожен елемент множиниA також знаходиться вB, то кажуть, щоA є підмножиноюB або міститься вB. Це позначається через або. Останнє позначення можна прочитати якB міститьA,B включаєA, абоB є надмножиноюA.Відношення між множинами, встановлене ⊆, називаєтьсявключенням. Дві множини називають рівними, якщо вони містять одна одну, тобто та, пишуть.
ЯкщоA є підмножиноюB, алеA не дорівнюєB, тоA називаєтьсявласною підмножиноюB. Це можна записати через. Так само, означає, щоB євласною надмножиноюA, тобтоB міститьA та не дорівнюєA.
Третя пара операторів і використовується різними авторами по-різному: часто використовують і, щоб позначити, щоA є підмножиноюB і не обов'язково власною підмножиною, а іноді і резервують для випадків, колиA є власною підмножиноюB.
Приклади:
Множина всіх людей є власною підмножиною множини всіх ссавців.
Порожня множина є підмножиною кожної множини, а кожна множина є підмножиною самої себе:
Діаграма Ейлера — це графічне представлення набору множин, при якому кожна множина зображується у вигляді обмеженої плоскої області з її елементами всередині. ЯкщоA є підмножиноюB, то область, що представляєA, повністю знаходиться всередині області, що представляєB. Якщо дві множини не мають спільних елементів, то області не перекриваються.
Діаграма Венна є графічним представленнямn множин, у якомуn областей ділять площину на2n зон таким чином, що для кожного способу вибору деяких зn множин (можливо всіх або жодної) існує зона для елементів, які належать до всіх вибраних множин та жодній з інших. Наприклад, якщо множинами єA,B іC, має бути зона для елементів, які знаходяться всерединіA іC та позаB (навіть якщо таких елементів не існує).
Існують множини такого математичного значення, до яких математики звертаються так часто, що вони отримали спеціальні назви та умовні позначення для їх ідентифікації.
Багато з цих важливих множин представлені в математичних текстах за допомогою жирного шрифту (наприклад,) абоажурного шрифту[en] (наприклад,). До них належать
Кожна із наведених вище множин чисел має нескінченну кількість елементів і кожна є підмножиною множин, перерахованих нижче.
Множини додатних чи від’ємних чисел іноді позначаються зі знаками плюс і мінус відповідно у верхньому індексі. Наприклад, представляє множину додатних раціональних чисел.
Множину натуральних чисел разом знулем позначають з0 у нижньому індексі:.
Потужність множиниS, що позначається|S|, — це кількість елементівS. Практично всі з розглянутих вище множин мають визначену кількість елементів. Наприклад, для буде. Порожня множина має нуль елементів. Існують множини, які мають нескінченну кількість елементів. Такою є множина всіх натуральних чисел.
Поняття потужності множин стає важливим в контексті встановлення відношень між множинами. Зрозуміло, наприклад, що взаємооднозначне відношення між множинамиA таB можливо встановити лише коли кількість їхніх елементів збігається. Особливо важливою проблема порівняння потужності постає для множин з нескінченною кількістю елементів. Виявляється, що потужності таких множин можуть бути не рівними, і це призводить до деяких цікавих наслідків.
Насправді всі спеціальні набори чисел, згадані в розділі вище, нескінченні. Нескінченні множини маютьнескінченну потужність.
Деякі нескінченні потужності більші за інші. Напевно, одним із найбільш значущих результатів теорії множин є те, що множина дійсних чисел має більшу потужність, ніж множина натуральних чисел. Множини з потужністю, рівною потужності, називаютьсязліченними множинами. Якщо потужність множини менша або рівна потужності, то цю множину називаютьне більше ніж зліченною. Множини з потужністю, строго більшою за потужність, називаютьнезліченними множинами. Множини з потужністю, рівною потужності інтервала(0,1), називаютьсяконтинуальними.
Можна показати, що потужністьпрямої (тобто кількість точок на прямій) є такою ж, як і потужність будь-якоговідрізка цієї прямої, усієїплощини та, насправді, будь-якогоскінченновимірногоевклідового простору, тобто всі тут перелічені множини мають потужність континууму.
Гіпотеза континууму, сформульована Георгом Кантором у 1878 році, стверджує, що не існує множини з потужністю строго між потужністю натуральних чисел та потужністю прямої.[8] У 1963 роціПол Коен довів, що гіпотеза континуумуне залежить від системи аксіом ZFC, що складається зтеорії множин Цермело–Френкеля тааксіоми вибору.[9] (ZFC є найбільш широко вивченою версією аксіоматичної теорії множин).
Булеаном множиниS є множина всіх підмножинS. Оскільки порожня множина і самаS є підмножинамиS, то вони будуть елементами булеана множиниS. Наприклад, булеаном множини буде. Булеан множиниS зазвичай позначають якP(S) або2S.
Якщо множинаS маєn елементів, то2S має2n елементів. Наприклад, множина має три елементи, а її булеан, як показано вище, має23 = 8 елементів.
Якщо множинаS є нескінченною (незалежно від того, чи зліченною чи незліченною), то2S незліченний. Більше того, булеан завжди строго «більший», ніж вихідна множина, у тому сенсі, що будь-яка спроба з’єднати елементиS з елементами2S у пари залишить деякі елементи2S без пари. (Ніколи не буваєбієкції міжS та2S).
Розбиття множиниS — це множина непорожніх підмножинS, таких, що кожен елементx зS знаходиться тільки в одній із цих підмножин. Тобто ці підмножинипопарно не перетинаються (це означає, що будь-які дві множини розбиття не містять жодного спільного елемента), а об’єднання всіх підмножин розбиття дає S.
Для двох множин також можна ввести операцію «віднімання».Теоретико-множинною різницею (або просторізницею) множинA таB, що позначаєтьсяA \B (абоA -B), є множина таких елементів множиниA, які не належать множиніB:
і
За домовленістю усі обговорювані множини вважаються підмножинами заданоїуніверсальної множиниU. У таких випадкахU \A називаютьдоповненням доA і позначають, або.
Нову множину можна побудувати, пов'язуючи кожен елемент однієї множини з кожним елементом іншої множини.Декартовим добутком двох множинA іB, що позначаєтьсяA ×B, називається множина всіхвпорядкованих пар (a,b), таких, щоa належить A, аb належить B:
Приклади:
;
;
Деякі властивості декартового добутку:
;
;
.
НехайA таB —скінченні множини, тоді потужність їх декартового добутку дорівнює добутку їх потужностей:
Для обчислення розміру об’єднання множин використовується принцип включення-виключення: розмір об’єднання — це розмір двох множин мінус розмір їх перетину.
Принцип включення-виключення — це метод підрахунку, який можна використовувати для підрахунку кількості елементів в об’єднанні двох скінченних множин — якщо відомі потужність кожної множини та потужність їх перетину. Тоді потужність об'єднання можна виразити як
.
Більш загальну форму принципу можна використовувати для знаходження потужності будь-якого скінченного об’єднання множин:
Поняття множини // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. —К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 162. — 594 с.
↑Cantor, Georg; Jourdain, ((Philip E.B. (Translator))) (1895).beiträge zur begründung der transfiniten Mengenlehre [contributions to the founding of the theory of transfinite numbers].Mathematische Annalen (German) . New York Dover Publications (1954 English translation). xlvi, xlix: 481—512, 207—246. Архіворигіналу за 10 червня 2011.By an aggregate (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Gansen) M of definite andseparate objects m (p.85)
