Υπάρχουν αρκετές προσεγγίσεις για να οριστούν οι τανυστές. Αν και φαινομενικά διαφορετικές, οι προσεγγίσεις απλώς περιγράφουν την ίδια γεωμετρική ιδεά χρησιμοποιώντας διαφορετικές γλώσσες και σε διαφορετικά επίπεδα σκέψης.
Ακριβώς όπως ένα βαθμωτό πεδίο περιγράφεται από έναν μόνο αριθμό και ένα διάνυσμα σε σχέση με μία δεδομένη βάση περιγράφεται από μια μονοδιάστατη σειρά, έτσι και οποιοσδήποτε τανυστής σε σχέση με μία βάση περιγράφεται από μία πολυδιάστατη διάταξη. Τα νούμερα στη διάταξη είναι γνωστά ωςβαθμωτές συνιστώσες του τανυστή ή απλά οισυνιστώσες του. Αυτές υποδηλώνονται από δείκτες που δείχνουν τη θέση τους στη διάταξη, σε άνω και κάτω δείκτες, μετά το συμβολικό όνομα του τανυστή. Ο συνολικός αριθμός των δεικτών που απαιτείται για να επιλογεί ξεχωριστά η κάθε συνιστώσα, είναι ίσος με τη διαστατικότητα της διάταξης και ονομάζεταιτάξη ήβαθμός του τανυστή.[Note 2] Για παράδειγμα, τα στοιχεία που εισάγονται σε ένα τανυστήT 2ης τάξης θα υποδηλώνονται ωςTij, όπου i και j είναι οι δείκτες από 1 μέχρι τη διάσταση του σχετικού διανυσματικού χώρου.[Note 3]
Ακριβώς όπως οι συνιστώσες ενός διανύσματος αλλάζουν όταν αλλάζει η βάση του διανυσματικού χώρου, τα στοιχεία που εισάγονται σε ένα τανυστή θα πρέπει επίσης να αλλάζουν κάτω από ένα τέτοιο μετασχηματισμό. Κάθε τανυστής είναι εφοδιασμένος με ένανόμο μετασχηματισμού που προσδιορίζει επακριβώς πως οι συνιστώσες του τανυστή ανταποκρίνονται σε μία αλλαγή βάσης. Οι συνιστώσες ενός διανύσμαυτος μπορούν να ανταποκρίνονται με δύο χαρακτηριστικούς τρόπους σε μία αλλαγή βάσης (συναλλοίωτος και ανταλλοίωτος διανυσμάτων), όπου τα νέα διανύσματα βάσης
εκφράζονται σε όρους των παλιών διανυσμάτων βάσης
σαν
όπουRi j είναι ένας πίνακας μετασχηματισμού, ενώ στη δεύτερη έκφραση το σύμβολο της πρόσθεσης παραλείπεται (μια βολική σύμβαση που εισήχθηκε από τονΑϊνστάιν που θα χρησιμοποιηθεί σε όλο αυτό το άρθρο). Οι συνιστώσες,vi, ενός συνηθισμένου διανύσματος (ή διανύσματος στήλης)v, μετασχηματίζονται με τοναντίστροφο του πίνακαR,
όπου το καπέλο δηλώνει τις συνιστώσες στη νέα βάση, ενώ οι συνιστώσες,wi,ενός συν-διανύσματος(ή διάνυσμα σειράς),w μετασχηματίζεται με τον ίδιο τον πίνακαR,
Oι συνιστώσες ενός τανυστή μετασχηματίζονται με παρόμοιο τρόπο με ένα πίνακα μετασχηματισμού για κάθε δείκτη. Αν ένας δείκτης μετασχηματίζεται σαν ένα διάνυσμα με τον αντίστροφο του μετασχηματισμού βάσης, καλείταιανταλλοίωτος και συμβολίζεται παραδοσιακά με ένα πάνω δείκτη, ενώ ο δείκτης που μετασχηματίζεται με τον ίδιο το μετασχηματισμό βάσης καλείταισυναλλοίωτος και συμβολίζεατι με ένα κάτω δείκτη. Ο νόμος μετασχηματισμού για ένα τανυστή τάξηςm μεn ανταλλοίωτους δείκτες καιm−n συναλλοίωτους δείκτες, δίνεται συνεπώς σαν,
Ένας τέτοιος τανυστής τάξης ή τύπου (n,m−n)[Note 4]Αυτή η συζήτηση έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία του ακόλουθου επίσημου ορισμού:[9]
Ορισμός : Ένας τανυστής τύπου (n,m−n) είναι το σύνολο μιας πολυσδιάστατης διάταξης
![{\displaystyle T_{i_{n+1}\dots i_{m}}^{i_{1}\dots i_{n}}[\mathbf {f} ]}](/image.pl?url=https%3a%2f%2fwikimedia.org%2fapi%2frest_v1%2fmedia%2fmath%2frender%2fsvg%2f238f1d821773ff2d1d60f07b60e914e2903094e4&f=jpg&w=240)
σε κάθε βάσηf = (e1,...,eN) τέτοια ώστε, αν εφαρμόσουμε την αλλαγή βάσης
τότε η πολυδιάστατη διάταξη υπακούει στο νόμο μετασχηματισμού
![{\displaystyle T_{i_{n+1}\dots i_{m}}^{i_{1}\dots i_{n}}[\mathbf {f} \cdot R]=(R^{-1})_{j_{1}}^{i_{1}}\cdots (R^{-1})_{j_{n}}^{i_{n}}R_{i_{n+1}}^{j_{n+1}}\cdots R_{i_{m}}^{j_{m}}T_{j_{n+1},\ldots ,j_{m}}^{j_{1},\ldots ,j_{n}}[\mathbf {f} ].}](/image.pl?url=https%3a%2f%2fwikimedia.org%2fapi%2frest_v1%2fmedia%2fmath%2frender%2fsvg%2f290d908b08a6aa791044d4d22b4dd4d9d6719f55&f=jpg&w=240)
Ο ορισμός ενός τανυστή σαν πολυδιάστατη διάταξη που ικανοποιεί ένα νόμο μετασχηματισμού, βρίκεται στην εργασία του Ricci κατά το παρελθόν. Στις μέρες μας, αυτός ο ορισμός ακόμα χρησιμοποιείται σε μερικά βιβλία φυσικής και μηχανικής.[10][11]
