Το λήμμα δεν περιέχειπηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν.Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί. Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 16/06/2012.
Σφαίρα ονομάζεται ογεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν σταθερή απόσταση ρ από ένα σημείο Ο στον τρισδιάστατο χώρο. Το σημείο Ο ονομάζεται και κέντρο της σφαίρας και η απόσταση ρ ακτίνα. Ως διάμετρος της σφαίρας ορίζεται το διπλάσιο της ακτίνας της και είναι η μέγιστη δυνατή απόσταση δύο σημείων της. Η σφαίρα είναι μια δισδιάστατη κλειστήεπιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Μια σφαιρική επιφάνεια έχεικαμπυλότητα τέτοια που δεν επιτρέπει την ύπαρξηεπίπεδουαναπτύγματος, όπως απέδειξε οΑρχιμήδης[εκκρεμεί παραπομπή].
Μπάλα: Ονομάζεται το σύνολο των εσωτερικών σημείων μιας σφαίρας. Δηλαδή είναι ο τρισδιάστατος χώρος εντός μιας σφαίρας, αντίστοιχα όπως οδίσκος είναι η δισδιάστατη επιφάνεια εντός του κύκλου. Μπορεί να είναικλειστή, δηλαδή να συμπεριλαμβάνει τα σημεία της σφαίρας. Μπορεί να είναιανοιχτή, δηλαδή να μη συμπεριλαμβάνει τα σημεία της σφαίρας. Η μπάλα καταχρηστικά μπορεί να λεχθείσφαίρα.
Συμπαγής σφαίρα: Καταχρηστικός όρος που χρησιμοποιείται αντί του όρουμπάλα.
Σφαιρικός φλοιός: Σε αντιδιαστολή με τον παραπάνω όρο σημαίνει την επιφάνεια της μπάλας, δηλαδή τη σφαίρα με την αυστηρή μαθηματική έννοια.
Φυσαλίδα: Εννοείται συνήθως ότι το σύνολο των εξωτερικών σημείων μιας σφαίρας είναιυλικό, ενώ το εσωτερικό της σφαίρας όχι, το οποίο ονομάζεται φυσαλίδα.
Ημισφαίριο: Μία από τις δύο σφαιρικές περιοχές που ορίζει έναςμέγιστος κύκλος της σφαίρας.
Οι σχετικές θέσεις σφαίρας-επιπέδου είναι αντίστοιχες με τις σχετικές θέσεις κύκλου-ευθείας. Έστω δ η απόσταση κέντρου της σφαίρας και του επιπέδου και ρ η ακτίνα της σφαίρας:
Να μην έχουν κανένα κοινό σημείο το οποίο συμβαίνειαν και μόνο αν δ>ρ.
Να εφάπτονταιανν δ=ρ, δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα κοινό σημείο.
Να τέμνονταιανν δ<ρ, δηλαδή υπάρχουν περισσότερα κοινά σημεία και για την ακρίβεια αυτά τα σημεία είναι κύκλος.
Έστω δύο τυχαία σημεία αυτής της τομής. Για κάθε ένα από τα δύο σημεία αντιστοιχεί έναορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές το ίδιο το σημείο, το κέντρο της σφαίρας και τηνυποτείνουσα του αποστήματος του επιπέδου από το κέντρο της σφαίρας. Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο ομόλογες πλευρές ίσες, το απόστημα και την ακτίνα της σφαίρας,άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους. Επομένως οι αποστάσεις των δύο σημείων από την υποτείνουσα ισούνται. Τα δύο σημεία είναι τυχαία, άρα όλα τα σημεία της τομής απέχουν από την υποτείνουσα σταθερή απόσταση, άρα ανήκουν εξορισμού σε κύκλο.
Αντίστροφα κάθε αυτού του κύκλου είναι κορυφή ορθογωνίου τριγώνου με τις άλλες κορυφές το κέντρο της σφαίρας και την υποτείνουσα.
Η μέγιστη δυνατή τιμή ενός τέτοιου κύκλου είναι η ακτίνα της σφαίρας, (αποδεικνύεται με εφαρμογή τηςτριγωνικής ανισότητας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο). Αυτός ο κύκλος ονομάζεταιμέγιστος κύκλος και είναι η τομή της σφαίρας με επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της.
Το οποίο σημαίνει ότι η απόσταση τυχαίου σημείου από το κέντρο της σφαίρας ισούται με ρ.
Σεσφαιρικό σύστημα συντεταγμένων η έννοια της σφαίρας εμπεριέχεται στο σύστημα αναφοράς, αν η σφαίρα έχει ως κέντρο την αρχή του συστήματος η εξίσωσή της είναι:
Σεδιανυσματική μορφή η εξίσωση της σφαίρας είναι:, όπου Χ τυχαίο σημείο και Κ το κέντρο της σφαίρας.
Σημείο: Ένα από τα δύο σημεία που προκύπτουν από την τομή της σφαίρας με ευθεία που διέρχεται από το κέντρο της. Στις πρώτες απόπειρες θεμελίωσης της σφαιρικής γεωμετρίας είχαν ορίσει το ζεύγος των δύο σημείων.
Ευθεία: Ένας μέγιστος κύκλος.
Τα υπόλοιπα σχήματα ορίζονται με βάση την επιπεδομετρία με εξαίρεση τοαξίωμα της παραλληλίας, καθώς στη σφαίρα δεν υπάρχουν μέγιστοι κύκλοι χωρίς κοινά σημεία (άρααπό σημείο εκτός ευθείας δε διέρχεται καμία παράλληλος, ενώ το άθροισμα των τριγώνων μπορεί να ισούται να είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από 180°). Στη σφαίρα χρησιμοποιείται τοπολικό σύστημα συντεταγμένων, όπως στο επίπεδο χρησιμοποιείται τοορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ το μήκος στη σφαιρομετρία μετράται σε ακτίνια ή μοίρες, δηλαδήμονάδες γωνίας.
Στηφυσική καιμηχανική είναι χρήσιμο και ένα άλλο μέγεθος που προκύπτει από τη σφαίρα, ηστερεά γωνία. Έστω μια κλειστή καμπύλη ορισμένη πάνω στη σφαίρα. Έστω το εμβαδόν του σφαιρικού τμήματος που ορίζει Ε (αν η στερεά γωνία είναικυρτή θεωρούμε το κυρτό τμήμα, αν είναι κοίλη το κοίλο), και η ακτίνα της σφαίρας ρ. Τότε το μέτρο της στερεάς γωνίας είναι:
Η στερεά γωνία μετράται σεστερεοακτίνια (steradian).
Ο όγκος του εσωτερικού της σφαίρας ισούται με, ενώ το εμβαδόν της επιφάνειάς της με. Το εμβαδόν της σφαίρας ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας κυκλικούκυλίνδρου διαμέτρου και ύψους ίσου με τη διάμετρο της σφαίρας, αν εξαιρεθούν οι βάσεις, όπως απέδειξε οΑρχιμήδης πάνω από 2200 χρόνια πριν χωρίς τη χρήση τουλογισμού.
Η σφαίρα έχει άπειρους άξονες συμμετρίες και επίπεδα συμμετρίας, αυτά που διέρχονται από το κέντρο της, ενώ σημείο συμμετρίας είναι το ίδιο το κέντρο της.
Η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ωςσχήμα εκ περιστροφής ενός κύκλου ήημικυκλίου ή γενικά τόξου μεγαλύτερου τουπ γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του (και τα άκρα του στην περίπτωση του ημικυκλίου).
Αν αντί για κύκλος χρησιμοποιηθεί έλλειψη κατά μήκος του μεγάλου άξονά της θα προκύψει έναωοειδές σχήμα, μιαεπιμηκυμένη σφαίρα. Κατά μήκος του μικρού άξονα θα προκύψει μιαπεπλατυσμένη σφαίρα, που είναι το σχήμα τηςγης.
