Deriving the quadratic formula
This page outlines the derivation of theQuadratic Formula. Nine equations are organized in the<mtable> element to align the steps of the derivation by the equal sign. Some steps are annotated with colored text. The derivation is also represented inLaTeX format in the<annotation> element.
Derivation
We take a quadratic equation in its general form, and solve for x.
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<math display="block"> <semantics> <mtable> <!-- Step one --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <!-- Step two --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <!-- Step three --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mfrac> <mo></mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Divide out leading coefficient.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step four --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> <mo></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Complete the square.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step five --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Discriminant revealed.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step six --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext></mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step seven --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext></mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step eight --> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>±</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mi>C</mi> <mo>}</mo> </mrow> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>There's the vertex formula.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step nine --> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mi>C</mi> <mo>}</mo> </mrow> <msqrt> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext></mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <!-- Representation in TeX format --> <annotation encoding="application/x-tex"> \begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 \\ ax^2 + bx &= -c \\ x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} & \text{\color{red} \small Divide out leading coefficient.} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{-c(4a)}{a(4a)} + \frac{b^2}{4a^2} & \text{\color{red} \small Complete the square.} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a}\right) &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} & \text{\color{red} \small Discriminant revealed.} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\ x + \frac{b}{2a} &= \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ x &= \frac{-b}{2a} \pm {C} \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} & \text{\color{red} \small There's the vertex formula.} \\ x &= \frac{-b \pm {C}\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{aligned} </annotation> </semantics></math>css
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