Dieser Inhalt wurde automatisch aus dem Englischen übersetzt, und kann Fehler enthalten.Erfahre mehr über dieses Experiment.
Herleitung der quadratischen Formel
Diese Seite beschreibt die Herleitung derquadratischen Formel. Neun Gleichungen sind im<mtable>-Element organisiert, um die Schritte der Herleitung nach dem Gleichheitszeichen auszurichten. Einige Schritte sind mit farbigem Text kommentiert. Die Herleitung wird auch imLaTeX-Format im<annotation>-Element dargestellt.
Herleitung
Wir nehmen eine quadratische Gleichung in ihrer allgemeinen Form und lösen nach x auf.
html
<math display="block"> <semantics> <mtable> <!-- Step one --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <!-- Step two --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <!-- Invisible times Unicode character --> <mo>⁢</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <!-- Step three --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mfrac> <mo></mo> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Divide out leading coefficient.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step four --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> <mo></mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Complete the square.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step five --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>Discriminant revealed.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step six --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext></mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step seven --> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext></mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step eight --> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> <mo>±</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mi>C</mi> <mo>}</mo> </mrow> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>There's the vertex formula.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <!-- Step nine --> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mi>C</mi> <mo>}</mo> </mrow> <msqrt> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext></mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <!-- Representation in TeX format --> <annotation encoding="application/x-tex"> \begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 \\ ax^2 + bx &= -c \\ x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} & \text{\color{red} \small Divide out leading coefficient.} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{-c(4a)}{a(4a)} + \frac{b^2}{4a^2} & \text{\color{red} \small Complete the square.} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a}\right) &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} & \text{\color{red} \small Discriminant revealed.} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\ x + \frac{b}{2a} &= \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ x &= \frac{-b}{2a} \pm {C} \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} & \text{\color{red} \small There's the vertex formula.} \\ x &= \frac{-b \pm {C}\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{aligned} </annotation> </semantics></math>css
.explanation { color: red; font-size: smaller;}