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Zwischenwertsatz

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Zwischenwertsatz: Seif{\displaystyle f} eine auf[a,b]{\displaystyle [a,b]} definierte stetige Funktion mitf(a)<s<f(b){\displaystyle f(a)<s<f(b)}, dann gibt es mindestens einx{\displaystyle x} mitf(x)=s{\displaystyle f(x)=s}

In der reellenAnalysis ist derZwischenwertsatz ein wichtigerSatz über denWertebereich vonstetigen Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass einereelle Funktionf{\displaystyle f}, die auf einemabgeschlossenenIntervall[a,b]{\displaystyle [a,b]} stetig ist, jeden Wert zwischenf(a){\displaystyle f(a)} undf(b){\displaystyle f(b)} annimmt. Haben insbesonderef(a){\displaystyle f(a)} undf(b){\displaystyle f(b)} verschiedeneVorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einerNullstelle vonf{\displaystyle f} im offenen Intervall(a,b){\displaystyle (a,b)}. Dieser Sonderfall ist alsNullstellensatz von Bolzano bekannt und nachBernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

Satz

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Formulierung und Intuition hinter dem Zwischenwertsatz

Seiena,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } mita<b{\displaystyle a<b} undf:[a,b]→R{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } einestetige Funktion. Dann nimmtf{\displaystyle f} jeden beliebigen Wertu{\displaystyle u} zwischenf(a){\displaystyle f(a)} undf(b){\displaystyle f(b)} an mindestens einer Stellec∈[a,b]{\displaystyle c\in [a,b]} an (d. h.f(c)=u{\displaystyle f(c)=u}).

Formal heißt das, zu jedemu∈(f(a),f(b)){\displaystyle u\in (f(a),f(b))} (fallsf(a)<f(b){\displaystyle f(a)<f(b)}) bzw.u∈(f(b),f(a)){\displaystyle u\in (f(b),f(a))} (fallsf(b)<f(a){\displaystyle f(b)<f(a)}) existiert einc∈(a,b){\displaystyle c\in (a,b)} mitf(c)=u{\displaystyle f\left(c\right)=u}.Anders formuliert bedeutet dies[m,M]⊆f([a,b]){\displaystyle [m,M]\subseteq f([a,b])}, worinm:=min{f(a),f(b)}{\displaystyle m:=\min\{f(a),f(b)\}} undM:=max{f(a),f(b)}{\displaystyle M:=\max\{f(a),f(b)\}}.

Beweis

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Der Beweis setzt voraus, dass die Grenzen des betrachteten abgeschlossenen Intervalls[a,b]{\displaystyle [a,b]} endlich sind (gleichbedeutend:[a,b]{\displaystyle [a,b]} ist auch beschränkt und somitkompakt.). Tatsächlich gilt der Zwischenwertsatz auch fürunbeschränkte abgeschlossene Intervalle; die dann zu beweisenden Behauptungen finden sich im AbschnittVerallgemeinerung dieses Artikels.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit geltef(a)<f(b){\displaystyle f(a)<f(b)}, und es seiu∈[f(a),f(b)]{\displaystyle u\in [f(a),f(b)]}. - Die Funktion

g:[a,b]→R,x↦g(x)=f(x)−u{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto g(x)=f(x)-u}

ist (alsKomposition zweier stetiger Funktionen) stetig auf[a,b]{\displaystyle [a,\,b]}.

Wegenf(a)≤u{\displaystyle f(a)\leq u} istg(a)≤0{\displaystyle g(a)\leq 0}, wegenu≤f(b){\displaystyle u\leq f(b)} ist0≤g(b){\displaystyle 0\leq g(b)}, insgesamt alsog(a)≤0≤g(b).(1){\displaystyle g(a)\leq 0\leq g(b).\mathbf {(1)} }

Zum Beweis der Behauptung ist hinreichend zu zeigen, dassg{\displaystyle g} eineNullstellec∈[a,b]{\displaystyle c\in [a,\,b]} hat, denng(c)=0⇔f(c)=u{\displaystyle g(c)=0\Leftrightarrow f(c)=u}.

Zum Nachweis der Existenz vonc{\displaystyle c} dient eineFolge vonIntervallen([ak,bk]),k∈N{\displaystyle ([a_{k},\,b_{k}]),\;k\in \mathbb {N} } mit folgenden (zu beweisenden) Eigenschaften:

Eine Intervallfolge([ak,bk]),k∈N{\displaystyle ([a_{k},\,b_{k}]),\;k\in \mathbb {N} } seirekursiv definiert mita1=a,b1=b{\displaystyle a_{1}=a,\;b_{1}=b} für das erste Intervall.

ck=ak+bk2{\displaystyle c_{k}={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}} ist derMittelpunkt desk{\displaystyle k}-ten Intervalls.

Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls[ak+1,bk+1]{\displaystyle [a_{k+1},\,b_{k+1}]} seien

fürg(ck)<0{\displaystyle g(c_{k})<0}:ak+1=ck,bk+1=bk{\displaystyle a_{k+1}=c_{k},b_{k+1}=b_{k}} und
fürg(ck)≥0{\displaystyle g(c_{k})\geq 0}:ak+1=ak,bk+1=ck{\displaystyle a_{k+1}=a_{k},b_{k+1}=c_{k}}.

zu (i):Mit (1) istg(a1){\displaystyle g(a_{1})} nicht positiv,g(b1){\displaystyle g(b_{1})} nicht negativ.

Beim Übergang von[ak,bk]{\displaystyle [a_{k},b_{k}]} zu[ak+1,bk+1]{\displaystyle [a_{k+1},b_{k+1}]} wird genau eine der Intervallgrenzenak{\displaystyle a_{k}} (bzw.bk{\displaystyle b_{k}}) genau dann durch eine neue Grenzeck{\displaystyle c_{k}} ersetzt, wenn auchg(ck){\displaystyle g(c_{k})} nicht positiv (bzw. nicht negativ) ist.
Also[Anm 1] giltg(ak)≤0≤g(bk){\displaystyle g(a_{k})\leq 0\leq g(b_{k})} füralle{\displaystyle {\boldsymbol {alle}}}ak{\displaystyle a_{k}} bzw.bk{\displaystyle b_{k}}, q.e.d.

zu (ii):Im[ak,bk]{\displaystyle [a_{k},b_{k}]} folgenden Intervall[ak+1,bk+1]{\displaystyle [a_{k+1},b_{k+1}]} ist die ersetzende Grenzeck{\displaystyle c_{k}} größer als eine ersetzte untere Grenzeak{\displaystyle a_{k}}, aber kleiner als eine ersetzte obere Grenzebk{\displaystyle b_{k}}, indemck{\displaystyle c_{k}} der Intervallmittelpunkt von[ak,bk]{\displaystyle [a_{k},b_{k}]} ist. Da der Übergang von[ak,bk]{\displaystyle [a_{k},b_{k}]} zu[ak+1,bk+1]{\displaystyle [a_{k+1},b_{k+1}]} denIntervalldurchmesserdk=bk−ak{\displaystyle d_{k}=b_{k}-a_{k}} halbiert, ist der Intervalldurchmesserfast aller Folgeglieder kleiner als ein beliebig vorgegebener. (⇔(dk){\displaystyle \Leftrightarrow (d_{k})} ist eineNullfolge.)

Behauptung:(ak){\displaystyle (a_{k})} istmonoton steigend⇔∀k:ak+1≥ak.(2){\displaystyle \Leftrightarrow \forall k:a_{k+1}\geq a_{k}.\mathbf {(2)} }.

Beweis: Fürak+1=ak{\displaystyle a_{k+1}=a_{k}} ist nichts zu beweisen. Fürak+1=ck{\displaystyle a_{k+1}=c_{k}} folgt ausbk>ak{\displaystyle b_{k}>a_{k}}:ak+1=ak+bk2>ak+ak2=ak{\displaystyle a_{k+1}={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}>{\frac {a_{k}+a_{k}}{2}}=a_{k}}.

Behauptung:(bk){\displaystyle (b_{k})} ist monoton fallend⇔∀k:bk+1≤bk.(3){\displaystyle \Leftrightarrow \forall k:b_{k+1}\leq b_{k}.\mathbf {(3)} }.

Beweis: Fürbk+1=bk{\displaystyle b_{k+1}=b_{k}} ist nichts zu beweisen. Fürbk+1=ck{\displaystyle b_{k+1}=c_{k}} folgt ausak<bk{\displaystyle a_{k}<b_{k}}:bk+1=ak+bk2<bk+bk2=bk{\displaystyle b_{k+1}={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}<{\frac {b_{k}+b_{k}}{2}}=b_{k}}.

Behauptung:(dk){\displaystyle (d_{k})},dk=bk−ak{\displaystyle d_{k}=b_{k}-a_{k}} ist eine Nullfolge.(4){\displaystyle \mathbf {(4)} } -Beweis: Der Durchmesser des Intervalls[ak+1,bk+1]{\displaystyle [a_{k+1},b_{k+1}]} ist

fürg(ck)<0{\displaystyle g(c_{k})<0}:dk+1=bk+1−ak+1=bk−ck=2bk2−ak+bk2=bk−ak2=dk2{\displaystyle d_{k+1}=b_{k+1}-a_{k+1}=b_{k}-c_{k}={\frac {2b_{k}}{2}}-{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}={\frac {b_{k}-a_{k}}{2}}={\frac {d_{k}}{2}}};
fürg(ck)≥0{\displaystyle g(c_{k})\geq 0}:dk+1=bk+1−ak+1=ck−ak=ak+bk2−2ak2=bk−ak2=dk2{\displaystyle d_{k+1}=b_{k+1}-a_{k+1}=c_{k}-a_{k}={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}-{\frac {2a_{k}}{2}}={\frac {b_{k}-a_{k}}{2}}={\frac {d_{k}}{2}}}.
Insgesamt können alledk{\displaystyle d_{k}} auchdk=d1⋅(12)k−1{\displaystyle d_{k}=d_{1}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}} geschrieben werden, und(dk){\displaystyle (d_{k})} ist wegen|12|<1{\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}\right|<1} eine (geometrische) Nullfolge.[Anm 2]

Mit (2), (3) und (4) ist([ak,bk]){\displaystyle ([a_{k},\,b_{k}])} eine Intervallschachtelung, die genau eine Zahlc∈R{\displaystyle c\in \mathbb {R} } definiert.

Mit∀k:[ak,bk]⊂[a,b]⇒{c}=⋂k∈N[ak,bk]⊂[a,b]{\displaystyle \forall k:[a_{k},b_{k}]\subset [a,b]\Rightarrow \{c\}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }[a_{k},b_{k}]\subset [a,b]} liegtc{\displaystyle c} im Intervall der Voraussetzung, q. e. d.

Bemerkung: Endlich viele Intervalle einer wie([ak,bk]){\displaystyle ([a_{k},b_{k}])} konstruierten Intervallschachtelung liegen dem numerischen VerfahrenBisektion zugrunde.

zu (iii):c{\displaystyle c} ist gemeinsamerGrenzwert der Folgen(ak){\displaystyle (a_{k})} und(bk){\displaystyle (b_{k})}; wegen Stetigkeit vong(x){\displaystyle g(x)} istg(c){\displaystyle g(c)} gemeinsamer Grenzwert der Folgen(g(ak)){\displaystyle (g(a_{k}))} und(g(bk)){\displaystyle (g(b_{k}))}. DieBeschränktheit der Folgen(g(ak)){\displaystyle (g(a_{k}))} und(g(bk)){\displaystyle (g(b_{k}))} bewirkt, dassg(c){\displaystyle g(c)} weder positiv noch negativ ist.

Aus (ii) folgt[Anm 3]

limk→∞ak=c=limk→∞bk{\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}=c=\lim _{k\to \infty }b_{k}},

hieraus mit demFolgenkriterium vermöge der Stetigkeit vong(x){\displaystyle g(x)} beix=c{\displaystyle x=c}:

limk→∞g(ak)=g(c)=limk→∞g(bk){\displaystyle \lim _{k\to \infty }g(a_{k})=g(c)=\lim _{k\to \infty }g(b_{k})}.

Mit (i) haben die Folgen(g(ak)){\displaystyle (g(a_{k}))} bzw.(g(bk)){\displaystyle (g(b_{k}))} eine obere bzw. unterer Schranke, die sich auf den jeweiligen Grenzwert fortsetzt:[Anm 4]

g(ak)≤0⇒g(c)≤0{\displaystyle g(a_{k})\leq 0\Rightarrow g(c)\leq 0}, ebensog(bk)≥0⇒g(c)≥0{\displaystyle g(b_{k})\geq 0\Rightarrow g(c)\geq 0}, insgesamt alsog(c)=0{\displaystyle g(c)=0}, q. e. d.

Alternativer Beweis

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Es reicht, den Fallf(a)<f(b){\displaystyle f(a)<f(b)} zu betrachten. Seiu∈[f(a),f(b)]{\displaystyle u\in [f(a),f(b)]} beliebig. Füru=f(a){\displaystyle u=f(a)} undu=f(b){\displaystyle u=f(b)} ist die Behauptung klar. Im Folgenden seiu{\displaystyle u} also o. B. d. A. aus dem offenen Intervall]f(a),f(b)[{\displaystyle ]f(a),f(b)[}. Es ist zu zeigen, dass einc∈[a,b]{\displaystyle c\in [a,b]} existiert mitf(c)=u{\displaystyle f(c)=u}. Setze

M={x∈[a,b]|u<f(x)}{\displaystyle M=\{x\in [a,b]|u<f(x)\}}.

Es giltM≠∅{\displaystyle M\neq \emptyset }, dab∈M{\displaystyle b\in M}. DaM{\displaystyle M} beschränkt ist, ist

c:=infM=inf{x∈[a,b]|u<f(x)}{\displaystyle c:=\inf M=\inf\{x\in [a,b]|u<f(x)\}}

einereelle Zahl.

Behauptung: Es gibt eine Folge(xn)n∈N{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} inM{\displaystyle M} mitlimn→∞xn=c{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=c}.

Hierzu: Dac{\displaystyle c} die größte untere Schranke ist, istc+1n{\displaystyle c+{\frac {1}{n}}} keine untere Schranke. Mithin gibt es zu jedemn∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } einxn∈M{\displaystyle x_{n}\in M} mitc+1n>xn{\displaystyle c+{\frac {1}{n}}>x_{n}}. Außerdem ist natürlichxn≥c{\displaystyle x_{n}\geq c}, dac{\displaystyle c} eine untere Schranke ist. Die so konstruierte Folge(xn)n∈N{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} konvergiert nach dem Intervallschachtelungsprinzip wie gewünscht gegenc{\displaystyle c}. Dies zeigt die Behauptung.

Ausa≤xn≤b{\displaystyle a\leq x_{n}\leq b} folgt mit den Grenzwertsätzen auchc∈[a,b]{\displaystyle c\in [a,b]}. Daf{\displaystyle f} stetig ist, giltlimn→∞f(xn)=f(c){\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)}. Wegenf(xn)>u{\displaystyle f(x_{n})>u} ist weiterf(c)≥u{\displaystyle f(c)\geq u}. Insbesondere folgtc>a{\displaystyle c>a}, daf(a)<u{\displaystyle f(a)<u}.

Wegenc>a{\displaystyle c>a} istcn:=c−1n∈[a,b]{\displaystyle c_{n}:=c-{\frac {1}{n}}\in [a,b]} für alle großenn{\displaystyle n}. Weilcn<c=infM{\displaystyle c_{n}<c=\inf M} folgtcn∉M{\displaystyle c_{n}\notin M} und somitf(cn)≤u{\displaystyle f(c_{n})\leq u}. Zusammen mit der Stetigkeit vonf{\displaystyle f} inc{\displaystyle c} ergibt sich durch Grenzübergangf(c)=limn→∞f(cn)≤u{\displaystyle f(c)=\lim _{n\to \infty }f(c_{n})\leq u}. Insgesamt alsof(c)=u{\displaystyle f(c)=u}.q.e.d.

Beispiel

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Die Funktion f nimmt den Wert u mit f(a) < u < f(b) an der Stelle c an.

DieKosinus-Funktioncos{\displaystyle \cos } ist im Intervall[0,2]{\displaystyle [0,2]} stetig, es istcos⁡(0)=1{\displaystyle \cos(0)=1} undcos⁡(2)≈−0,4161<0{\displaystyle \cos(2)\approx -0{,}4161<0}. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall(0,2){\displaystyle (0,2)} hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, nämlichπ2{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}.

Verallgemeinerung

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Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus derTopologie: Das Bild einerzusammenhängendenTeilmenge einestopologischen Raumes unter einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Daraus ist wieder der Zwischenwertsatz zu erhalten, weilStetigkeit einer Funktion im topologischen Sinne die im Zwischenwertsatz für reelle Funktionen geforderte einschließt und weil eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist. Anders als hier im Abschnitt „Beweis“ braucht das betrachtete Intervall bei diesem Aufbau nicht beschränkt zu sein.

Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)

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Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt fürAbleitungsfunktionen:[1][2]

Istf:[a,b]→R{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } eine auf dem Intervall[a,b]⊆R{\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} } definiertedifferenzierbare Funktion mitf′(a)≠f′(b){\displaystyle f'(a)\neq f'(b)}, so nimmt dieAbleitungsfunktionf′{\displaystyle f'} jeden Wert zwischenf′(a){\displaystyle f'(a)} undf′(b){\displaystyle f'(b)} an.

Weblinks

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Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Zwischenwertsatz – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur

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Anmerkungen

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  1. ↑Der Gedankengang entspricht einervollständigen Induktion.
  2. ↑Weiteres zur Konvergenz geometrischer Folgenhier.
  3. ↑wegen derKonvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung
  4. ↑vgl. Aussage zumGrenzwert einer beschränkten konvergenten Folge

Einzelnachweise

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  1. ↑Fichtenholz, S. 206
  2. ↑Köhler, S. 196
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