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Zufallsvariable

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aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In derStochastik ist eineZufallsvariable eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.^[1] Formal ist eine Zufallsvariable eineFunktion, die jedemmöglichen Ergebnis einesZufallsexperiments eine Größe zuordnet.^[2] Ist diese Größe einereelle Zahl, so spricht man von einerreellen Zufallsvariablen oderZufallsgröße.^[3] Beispiele für reelle Zufallsvariablen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einemGlücksspiel. Zufallsvariablen können aber auch komplexeremathematische Objekte sein, wieZufallsfelder,Zufallsbewegungen,Zufallspermutationen oderZufallsgraphen. Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können einem Zufallsexperiment auch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.^[2]

Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable bei der Durchführung eines Zufallsexperiments annimmt, nennt manRealisierung^[4] oder im Falle einesstochastischen Prozesses einenPfad. Bei derZufallszahlenerzeugung werden Realisierungen spezieller Zufallsexperimente alsZufallszahlen bezeichnet.

Alternative Bezeichnungen

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Heutzutage istZufallsvariable die gängigste Bezeichnung; in älterer Literatur finden sich aber auchzufällige Variable^[3],zufällige Größe^[2],zufällige Veränderliche^[3],zufälliges Element^[3],Zufallselement^[5] undZufallsveränderliche^[6]^[7]

WährendA. N. Kolmogorow zunächst vondurch den Zufall bestimmten Größen sprach^[8]^[9], führte er 1933 den Begriffzufällige Größe ein^[10] und sprach später vonZufallsgrößen.^[11] Im Jahr 1933 ist auch schon der BegriffZufallsvariable in Gebrauch.^[12] Bereits 1935 ist der Begriffzufällige Variable nachweisbar.^[13] Später hat sich (ausgehend vom englischenrandom variable, das sich gegenchance variable undstochastic Variable durchsetzte^[14]) der etwas irreführende Begriff^[15]Zufallsvariable durchgesetzt.

Einführung

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Die Grundidee hinter der Zufallsvariable ist es, den Zufall mit Hilfe des Begriffes derFunktion zu modellieren. Dies wird einige Vorteile mit sich bringen. Angenommen, wir betrachten ein Zufallsexperiment, welches nur zwei Ausgänge hat, welche wir mit $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ notieren. Mit Hilfe der Funktion können wir nun eine„zufällige Variable“ definieren, die berücksichtigt, ob $\omega _{1}$ oder $\omega _{2}$ eingetroffen ist.

Ein Beispiel einer Zufallsvariable. Die Menge $E {\displaystyle E}$ steht für eine beliebige Menge, welche die Zahlen $-1,0,1$ enthält.

{\displaystyle E} — Ein Beispiel einer Zufallsvariable. Die Menge $E {\displaystyle E}$ steht für eine beliebige Menge, welche die Zahlen $-1,0,1$ enthält.

Dies geschieht durch die Funktion

X(\omega )={\begin{cases}a_{1},&\quad {\text{wenn }}\omega =\omega _{1},\\a_{2},&\quad {\text{wenn }}\omega =\omega _{2}.\end{cases}}

wobei die Werte $a_{1}$ und $a_{2}$ vom Experiment abhängen, welches man modelliert. Man nennt

$\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ Ergebnisse und zusammen bilden sie denErgebnisraum $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ . Welches dieser Ergebnisse eintritt, wissen wira priori nicht.
$a_{1}$ und $a_{2}$ Realisierungen der Zufallsvariable.

Wir notieren die Menge der Realisierungen mit $E=\{a_{1},a_{2}\}$ . In den meisten Fällen wählt man für $E {\displaystyle E}$ entweder die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder eine diskrete Menge wie zum Beispiel $\mathbb {N}$ oder $\mathbb {Z}$ . Allgemeiner kann $E {\displaystyle E}$ aber auch $\mathbb {R} ^{n}$ , einBanach-Raum oder eintopologischer Vektorraum sein.

Eine Zufallsvariable ist somit eine Abbildung der Form $X\colon \Omega \to E$ .

Beispiel (Münzwurf): Wir möchten einen Münzwurf modellieren. Seien $\omega _{1}={\text{Kopf}}$ und $\omega _{2}={\text{Zahl}}$ das zufällige Ergebnis des Münzwurfs und $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ . Nun können wir verschiedene Zufallsvariablen bilden, zum Beispiel eine Wette, bei der 1 EUR ausgezahlt wird, wenn Zahl erscheint und sonst nichts. Dann ist die Auszahlungssumme die Zufallsvariable

X(\omega )={\begin{cases}0,&\quad {\text{wenn }}\omega =\omega _{1},\\1,&\quad {\text{wenn }}\omega =\omega _{2},\end{cases}}

Wir haben also

a_{1}=0

und

a_{2}=1

gewählt, hätten wir hingegen bei falscher Wette 1 EUR bezahlen müssen, dann hätten wir uns für

a_{1}=-1

entschieden.

Beispiel (Würfelwurf): Wir möchten einen Würfelwurf modellieren. Seien $\omega _{1}=1,\omega _{2}=2,\dots ,\omega _{6}=6$ , dann ist $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{6}\}$ und der Würfel die Zufallsvariable

X(\omega )=\omega .

Beispiel (2-facher Münzwurf): Wir möchten den 2-fachen Münzwurf modellieren. Die Ergebnismenge ist $\Omega =\{(K,K),(K,Z),(Z,Z),(Z,K)\}$ , ihre Elemente haben die Form $\omega =\left(\omega _{1},\omega _{2}\right)$ . Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Zahl, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen:

$X_{1}(\omega ):=X(\omega _{1})\in \{0,1\}$ als Auszahlung nach der ersten Wette,
$X_{2}(\omega ):=X(\omega _{2})\in \{0,1\}$ als Auszahlung nach der zweiten Wette,
$S(\omega ):=X(\omega _{1})+X(\omega _{2})\in \{0,1,2\}$ als Summe der beiden Auszahlungen.

Zufallsvariablen werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier $X,X_{1},X_{2},S$ ), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (zum Beispiel $x=0$ , $x_{1}=1$ , $x_{2}=0$ , $s=1$ ).

Im Münzwurf-Beispiel hat die Menge $\Omega =\{{\text{Kopf}},{\text{Zahl}}\}$ eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von $\Omega$ als abstrakte Repräsentanten des Zufalls zu betrachten, ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen.

Notation

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Häufig verzichtet man auf die Schreibweise $X(\omega _{i})=a_{i}$ und benutzt stattdessen die Kurzschreibweise $X=a_{i}$ . Dies sollte aber nicht falsch verstanden werden, denn es handelt sich hier nur um eine Abkürzung für $X(\omega _{i})=a_{i}$ respektive für die Menge aller $\omega$ , so dass $X(\omega )=a_{i}$ .

Elemente der Maßtheorie

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Damit man über Wahrscheinlichkeiten sprechen kann, müssen die Räume $\Omega$ und $E {\displaystyle E}$ noch mit zusätzlichen Strukturen ausgestattet sein. Für $\Omega$ brauchen wir

ein System $\Sigma$ , welches alle möglichen Ereignisse enthält,
eine Funktion $P:\Sigma \to [0,1]$ , welche den möglichen Ereignissen aus $\Sigma$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Aus technischer Sicht verwendet man hierfür dieMaßtheorie, was zum Begriff desWahrscheinlichkeitsraumes $(\Omega ,\Sigma ,P)$ führt, wobei $\Sigma$ eine sogenannteσ-Algebra und $P {\displaystyle P}$ einWahrscheinlichkeitsmaß ist. Für $E {\displaystyle E}$ brauchen wir etwas ähnliches, welches mit der Struktur auf $\Omega$ verträglich ist.

Konkret brauchen wir für $E {\displaystyle E}$ ein System $\Sigma '$ , welches mit dem System $\Sigma$ von $\Omega$ verträglich ist. Dies führt zum Begriff derMessbarkeit. Es soll gelten

für jedes Element $A\in \Sigma '$ muss dasUrbild unter der Zufallsvariable, das bedeutet die Menge $B:=X^{-1}(A)$ , ein Ereignis in dem System $\Sigma$ sein, das bedeutet $B\in \Sigma$ .

Wenn diese Eigenschaft gilt, dann nennen wir $X {\displaystyle X}$ eine $(\Sigma ,\Sigma ')$ -messbare Funktion. Zufallsvariablen erfüllen diese Eigenschaft (für ein $\Sigma$ und $\Sigma '$ ) und sind messbare Funktionen.

Als Letztes ermöglicht uns die Messbarkeit, das Wahrscheinlichkeitsmaß $P {\displaystyle P}$ auf den Raum $(E,\Sigma ')$ zu übertragen. Dies führt zum Begriff derWahrscheinlichkeitsverteilung, welche als sogenanntesBildmaß unter der Zufallsvariable $X {\displaystyle X}$ durch $P^{X}(A)=P\left(X^{-1}(A)\right)$ für alle $A\in \Sigma '$ definiert ist.

Definition

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Als Zufallsvariable bezeichnet man einemessbare Funktion von einemWahrscheinlichkeitsraum in einenMessraum.

Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:^[16]

Es seien

(\Omega ,\Sigma ,P)

ein Wahrscheinlichkeitsraum und

(E,\Sigma ')

ein Messraum. Eine

(\Sigma ,\Sigma ')

-messbare Funktion

X\colon \Omega \to E

heißt dann eine $E {\displaystyle E}$ -Zufallsvariable auf $\Omega$ oder einfach nurZufallsvariable.

Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf

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Summe von zwei Würfeln: $(\Omega ,\Sigma ,P)\xrightarrow {S} (E,\Sigma ',P^{S})$

{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)\xrightarrow {S} (E,\Sigma ',P^{S})} — Summe von zwei Würfeln: $(\Omega ,\Sigma ,P)\xrightarrow {S} (E,\Sigma ',P^{S})$

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ modellieren:

$\Omega$ ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse $\Omega =\{(1,1),(1,2),\dotsc ,(6,5),(6,6)\}$
$\Sigma$ ist diePotenzmenge von $\Omega$
Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also dasWahrscheinlichkeitsmaß $P {\displaystyle P}$ als $P\left(\{(n_{1},n_{2})\}\right)={\tfrac {1}{36}}$ für $n_{1},n_{2}\in \{1,2,3,4,5,6\}$ .

Die Zufallsvariablen $X_{1}$ (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), $X_{2}$ (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und $S {\displaystyle S}$ (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert:

$X_{1}\colon \Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1},$
$X_{2}\colon \Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{2},$ und
$S\colon \Omega \to \mathbb {R} ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1}+n_{2},$

wobei für $\Sigma '$ dieborelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

Bemerkungen

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In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf $\Omega$ und welcher Messraum auf $E {\displaystyle E}$ gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge $\Omega$ wird $\Sigma$ meistens als die Potenzmenge von $\Omega$ gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge $\Omega$ überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen:

Reelle Zufallsvariable

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Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\mathbb {R}$ derreellen Zahlen versehen mit derborelschen $\sigma$ -Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion

X\colon \Omega \to \mathbb {R}

, die jedem Ergebnis

\omega

aus einerErgebnismenge

\Omega

eine reelle Zahl

X(\omega )

zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:

\forall x\in \mathbb {R} :\ \lbrace \omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \in \Sigma

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X_{1}$ , $X_{2}$ und $S {\displaystyle S}$ jeweils reelle Zufallsvariablen.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

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Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ für eine Dimension $n\in \mathbb {N}$ . Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist $X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})$ gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen $X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ , die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Die Verteilung von $X {\displaystyle X}$ wird alsmultivariat bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten $X_{i}$ nennt man auchRandverteilungen. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind derErwartungswertvektor und dieKovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist $X=(X_{1},X_{2})$ eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Zufallsvektoren sollten nicht mitWahrscheinlichkeitsvektoren (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Diese sind Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ , deren Komponenten positiv sind und deren Summe 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit $n {\displaystyle n}$ Elementen.

Komplexe Zufallsvariable

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Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\mathbb {C}$ derkomplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen $\mathbb {C}$ und $\mathbb {R} ^{2}$ „geerbten“ borelschen σ-Algebra. $X {\displaystyle X}$ ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil $\operatorname {Re} (X)$ und Imaginärteil $\operatorname {Im} (X)$ jeweils reelle Zufallsvariablen sind.

Numerische oder erweiterte Zufallsvariable

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Der BegriffZufallsvariable ohne weitere Charakterisierung bedeutet meistens – und fast immer in anwendungsnahen Darstellungen –reelle Zufallsvariable. Zur Unterscheidung von einer solchen wird eine Zufallsvariable mit Werten in denerweiterten reellen Zahlen $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$ alsnumerische Zufallsvariable^[17] – entsprechend der Terminologie dernumerischen Funktion – oder alserweiterte Zufallsvariable^[17] (engl.extended random variable^[18]) bezeichnet. Es gibt aber auch eine abweichende Terminologie, bei derZufallsvariable eine numerische Zufallsvariable bezeichnet und eine reelle Zufallsvariable immer als solche bezeichnet wird.^[19]

Zufallselement

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In der Literatur wird die obige Definition der Zufallsvariable manchmal für den BegriffZufallselement oderzufälliges Element (resp.englischrandom element) verwendet, um reelle Zufallsvariablen $\Omega \to \mathbb {R}$ von allgemeineren Objekten wie demZufallsvektor, demzufälligen Maß, derZufallsfunktion, derZufallsmenge, derZufallsmatrix usw. zu unterscheiden.

Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz

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Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von $X {\displaystyle X}$ induziertenWahrscheinlichkeitsverteilung. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. Formal wird die Verteilung $P^{X}$ einer Zufallsvariablen $X {\displaystyle X}$ als dasBildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P {\displaystyle P}$ definiert, also

P^{X}(A)=P\left(X^{-1}(A)\right)

für alle

A\in \Sigma '

, wobei

\Sigma '

die auf dem Bildraum der Zufallsvariable

X {\displaystyle X}

gegebene σ-Algebra ist.

Statt $P^{X}$ werden in der Literatur für die Verteilung von $X {\displaystyle X}$ auch die Schreibweisen $P_{X},X(P)$ oder $P\circ X^{-1}$ verwendet.

Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einerNormalverteilung entspricht.

Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auchwahrscheinlichkeitstheoretisch genannt.^[20] Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)Wahrscheinlichkeitsraumes zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind.

Häufig wird deswegen von einer Zufallsvariablen lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum offen gelassen. Dies ist vom Standpunkt der Mathematik erlaubt, sofern es tatsächlich einen Wahrscheinlichkeitsraum gibt, der eine Zufallsvariable mit der gegebenen Verteilung erzeugen kann. Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise $\Omega =\mathbb {R}$ , $\Sigma$ als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und $P {\displaystyle P}$ als das durch die Verteilungsfunktion induzierteLebesgue-Stieltjes-Maß gewählt wird. Als Zufallsvariable kann dann dieidentische Abbildung $X\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $X(\omega )=\omega$ gewählt werden.^[21]

Wenn eineFamilie von Zufallsvariablen betrachtet wird, reicht es aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Perspektive genauso, die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen anzugeben, die Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraums kann wiederum offen gelassen werden.

Die Frage nach der konkreten Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraumes tritt also in den Hintergrund, es ist jedoch von Interesse, ob zu einer Familie von Zufallsvariablen mit vorgegebenen endlichdimensionalen gemeinsamen Verteilungen ein Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem sie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage wird für unabhängige Zufallsvariablen durch einen Existenzsatz vonÉ. Borel gelöst, der besagt, dass man im Prinzip auf den von Einheitsintervall und Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. Ein möglicher Beweis nutzt, dass sich die binären Nachkommastellen der reellen Zahlen in [0,1] als ineinander verschachtelteBernoulli-Folgen betrachten lassen (ähnlichHilberts Hotel).^[22]

Mathematische Attribute für Zufallsvariablen

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Verschiedene mathematische Attribute, die teilweise denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt:

Diskret

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Eine Zufallsvariable wird alsdiskret bezeichnet, wenn sie nurendlich viele oderabzählbar unendlich viele Werte annimmt, oder etwas allgemeiner, wenn ihre Verteilung einediskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.^[23] Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen $X_{1}$ , $X_{2}$ und $S {\displaystyle S}$ diskret. Ein weiteres Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sindzufällige Permutationen.

Konstant

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Eine Zufallsvariable wird alskonstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: $X(\omega )=c$ für alle $\omega \in \Omega$ . Sie ist ein Spezialfall einer diskreten Zufallsvariable.

Es gilt

(\forall \omega \in \Omega \colon X(\omega )=c)\implies P(X=c)=1

,^[24]

die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Eine Zufallsvariable, die nur die rechte Seite erfüllt, heißtfast sicher konstant.

Unabhängig

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Zwei reelle Zufallsvariablen $X, Y {\displaystyle X,Y}$ heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle $[a_{1},b_{1}]$ und $[a_{2},b_{2}]$ die Ereignisse $E_{X}:=\{\omega |X(\omega )\in [a_{1},b_{1}]\}$ und $E_{Y}:=\{\omega |Y(\omega )\in [a_{2},b_{2}]\}$ stochastisch unabhängig sind. Das sind sie, wenn gilt: $P(E_{X}\cap E_{Y})=P(E_{X})P(E_{Y})$ .

In obigem Beispiel sind $X_{1}$ und $X_{2}$ unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen $X_{1}$ und $S {\displaystyle S}$ hingegen nicht.

Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}$ bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $P_{X}$ des Zufallsvektors $X=\left(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}\right)$ demProduktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von $P_{X_{1}},P_{X_{2}},\dotsc ,P_{X_{n}}$ entspricht.^[25] So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ mit

\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{3}

,

\Sigma

der Potenzmenge von

\Omega

und

P\left(\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\right)={\frac {1}{6^{3}}}={\frac {1}{216}}

modellieren; die Zufallsvariable „Ergebnis des $k {\displaystyle k}$ -ten Wurfes“ ist dann

X_{k}\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)=n_{k}

für

k\in \{1,2,3\}

.

Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.^[26]

Identisch verteilt

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Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw.i.d. für identically distributed), wenn ihreinduzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X_{1}$ , $X_{2}$ identisch verteilt; die Zufallsvariablen $X_{1}$ und $S {\displaystyle S}$ hingegen nicht.

Unabhängig und identisch verteilt

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Häufig werdenFolgen von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; demnach spricht man von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen, üblicherweise mitu.i.v. bzw.i.i.d. (fürindependent and identically distributed) abgekürzt.

In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind $X_{1}$ , $X_{2}$ und $X_{3}$ u.i.v. Die Summe der ersten beiden Würfe $S_{1,2}=X_{1}+X_{2}$ und die Summe des zweiten und dritten Wurfs $S_{2,3}=X_{2}+X_{3}$ sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. Dagegen sind $S_{1,2}$ und $X_{3}$ unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

Austauschbar

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Austauschbare Familien von Zufallsvariablen sind Familien, deren Verteilung sich nicht ändert, wenn man endlich viele Zufallsvariablen in der Familie vertauscht. Austauschbare Familien sind stets identisch verteilt, aber nicht notwendigerweise unabhängig.

Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariablen

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Kenngrößen

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Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist dieVerteilungsfunktion, die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch dieWahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmtenIntervalls liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie derErwartungswert, dieVarianz oder höhere mathematischeMomente von Interesse.

Stetig oder kontinuierlich

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Das Attributstetig wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet.

Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eineDichte besitzt (ihre Verteilungabsolutstetig bezüglich desLebesgue-Maßes ist).^[27]
Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetigeVerteilungsfunktion besitzt.^[28] Insbesondere bedeutet das, dass $P(\{X=x\})=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt.

Verteilungsfunktion

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Eine reelle Zufallsvariable $X {\displaystyle X}$ mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ hat dieVerteilungsfunktion

F_{X}(x)=P_{X}((-\infty ,x]),\quad x\in \mathbb {R} \;.

Transformation

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Wenn eine reelle Zufallsvariable $X {\displaystyle X}$ auf dem Ergebnisraum $\Omega$ und eine messbare Funktion $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ gegeben ist, dann ist auch $Y=g(X)$ eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. $g(X)$ wird auch alsTransformation der Zufallsvariablen $X {\displaystyle X}$ unter $g {\displaystyle g}$ bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ nach $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),P^{X})$ gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von $Y {\displaystyle Y}$ zu erhalten.

Die Verteilungsfunktion $F_{Y}$ der transformierten Zufallsvariablen $Y=g(X)$ kann mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ bestimmt werden

F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y),\quad y\in \mathbb {R}

.

Beispiel

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Es sei $X {\displaystyle X}$ eine reelle Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion $F_{X}$ . Dann ist die Verteilungsfunktion $F_{Y}$ der Zufallsvariablen $Y=X^{2}$ durch

F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y)={\begin{cases}0&{\text{falls }}y<0\\F_{X}\left({\sqrt {y}}\right)-F_{X}\left(-{\sqrt {y}}\right)&{\text{falls }}y\geq 0\\\end{cases}}

gegeben.^[29]

Erwartungswert

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DerErwartungswert einerquasi-integrierbaren Zufallsgröße $X {\displaystyle X}$ von $(\Omega ,\Sigma ,P)$ nach $({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))$ mit der Verteilung $P_{X}$ ist

\operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} P(\omega )=\int _{\mathbb {R} }x\mathrm {d} P_{X}(x)\,

.

Integrierbar und quasi-integrierbar

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Eine Zufallsvariable heißtintegrierbar, wenn derErwartungswert der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißtquasi-integrierbar, wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar.

Standardisierung

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Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihrErwartungswert 0 und ihreVarianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable $Y {\displaystyle Y}$ in eine standardisierte Zufallsvariable

Z={\frac {Y-\operatorname {E} (Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (Y)}}}

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable $Y {\displaystyle Y}$ .

Sonstiges

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Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch alsstochastischer Prozess aufgefasst werden.
Eine Folge von Realisierungen einer Zufallsvariable nennt man auchZufallsfolge oderZufallssequenz.
Eine Zufallsvariable $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ erzeugt eine σ-Algebra ${\mathcal {F}}_{X}({\mathcal {B}}):=\{X^{-1}(B)|B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}$ , wobei ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ dieBorelsche σ-Algebra des $\mathbb {R} ^{n}$ ist.
Es gibt Zufallsvariablen, die weder diskret noch stetig sind. Ein Beispiel ist die Lebensdauer $T {\displaystyle T}$ einer Maschine. $T {\displaystyle T}$ ist eine Zufallsvariable mit $0<P(T=0)<1$ (und daher nicht stetig), weil eine Maschine eine Wahrscheinlichkeit hat, von Anfang nicht zu funktionieren. Außerdem ist $P(T=t_{0})=0$ für alle $t_{0}>0$ (und daher ist $T {\displaystyle T}$ nicht diskret).^[30] Ein anderes Beispiel ist die Wartezeit eines Autos vor einer Ampel.^[31] Man kann in diesen Fällen eine Zerlegung in eine Summe aus einer stetigen und einer diskreten Zufallsvariablen vornehmen.

Literatur

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Karl Hinderer:Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1980,ISBN 3-540-07309-4.
Erich Härtter:Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974,ISBN 3-525-03114-9.
Michel Loève:Probability Theory I. 4. Auflage. Springer, 1977,ISBN 0-387-90210-4 (englisch).
P. H. Müller (Hrsg.):Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991,ISBN 3-05-500608-9, Zufällige Variable (random variable),S. 511.

Weblinks

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Commons: Zufallsvariable – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Funktionen von Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

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↑Norbert Henze:Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010,ISBN 978-3-8348-0815-8,doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.
↑^a^b^cJörg Bewersdorff:Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen. 6. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012,ISBN 978-3-8348-1923-9,S. 39,doi:10.1007/978-3-8348-2319-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑^a^b^c^dP. H. Müller (Hrsg.):Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991,ISBN 3-05-500608-9, Zufällige Variable (random variable),S. 511.
↑David Meintrup, Stefan Schäffler:Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005,ISBN 3-540-21676-6,S. 456–457,doi:10.1007/b137972.
↑Peter Gänssler, Winfried Stute:Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1977,ISBN 3-540-08418-5, Kap. VIIIZufallselemente in metrischen Räumen,doi:10.1007/978-3-642-66749-7.
↑S. Goldberg:Die Wahrscheinlichkeit. Vieweg, Braunschweig 1960,ISBN 3-663-01040-6, Kap IV.Zufallsveränderliche (Zufallsvariable),doi:10.1007/978-3-663-02953-3.
↑Pál Révész:Die Gesetze der Grossen Zahlen (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften.Band 35). Birkhäuser, Basel 1980,ISBN 3-0348-6941-X, Kap. 2Unabhängige Zufallsveränderliche,doi:10.1007/978-3-0348-6940-9 (Originalausgabe:The Laws of Large Numbers, Budapest 1967, übersetzt von Eva Vas).
↑Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow:Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhängiger Größen. In:Mathematische Annalen.Band 99, 1928,S. 309 ff. (uni-goettingen.de).
↑Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow:Bemerkungen zu meiner Arbeit „Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhängiger Größen“. In:Mathematische Annalen.Band 99, 1930,S. 484 ff. (uni-goettingen.de).
↑Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow:Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin 1933.
↑Boris Gnedenko, Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow:Grenzverteilung von Summen unabhängiger Zufallsgrößen. Akademie Verlag, 1959.
↑Z. Birnbaum, J. Schreier:Anmerkung zum starken Gesetz der großen Zahlen. In:Studia Mathematica.Band 4, 1933,doi:10.4064/sm-4-1-85-89.
↑Oskar N. Anderson:Einführung in die Mathematische Statistik. Springer, Wien 1935,ISBN 3-7091-5873-7, Kap 2.6Zufällige Variable,S. 167,doi:10.1007/978-3-7091-5923-1.
↑Jeff Miller:Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. AbschnittR.
↑Eine Zufallsvariable ist wederzufällig noch eineVariable, siehe Jürgen Hedderich, Lothar Sachs:Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 15. Auflage. 2016,ISBN 978-3-662-45690-3,S. 197,doi:10.1007/978-3-662-45691-0.
↑Karl Hinderer:Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980,ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)
↑^a^bGuido Walz (Hrsg.):Lexikon der Mathematik.Band 4 (Moo bis Sch). Springer Spektrum, Berlin 2017,ISBN 978-3-662-53499-1,S. 98.
↑Galen R. Shorack:Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). 2. Auflage. Springer, Cham 2017,ISBN 978-3-319-52206-7,S. 35,doi:10.1007/978-3-319-52207-4.
↑Klaus D. Schmidt:Maß und Wahrscheinlichkeit. 2.,durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011,ISBN 978-3-642-21025-9,S. 194.
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↑Robert B. Ash:Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972,ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.
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↑David Meintrup, Stefan Schäffler:Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005,ISBN 3-540-21676-6,S. 90,doi:10.1007/b137972.
↑Diese Implikation gilt, da $P(X=c)=P(\{\omega \mid X(\omega )=c\})=P(\Omega )=1$ .
↑Robert B. Ash:Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972,ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)
↑Klaus D. Schmidt:Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2009,ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.
↑Marek Fisz:Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.
↑Robert B. Ash:Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972,ISBN 0-12-065201-3, S. 210.
↑Für $y<0$ ist $\operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (\{\omega \mid X^{2}(\omega )\leq y\})=\operatorname {P} (\emptyset )=0$ .Für $y\geq 0$ gilt
${\begin{aligned}\operatorname {P} (X^{2}\leq y)&=\operatorname {P} (\{\omega \mid X^{2}(\omega )\leq y\})\\&=\operatorname {P} (\{\omega \mid -{\sqrt {y}}\leq X(\omega )\leq {\sqrt {y}}\})\\&=\operatorname {P} (\{\omega \mid X(\omega )\leq {\sqrt {y}}\}\setminus \{\omega \mid X(\omega )<{\sqrt {-y}}\})\\&=\operatorname {P} (\{\omega \mid X(\omega )\leq {\sqrt {y}}\})-\operatorname {P} (\{\omega \mid X(\omega )<-{\sqrt {y}}\})\\&=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})+\operatorname {P} (\{\omega \mid X(\omega )=-{\sqrt {y}}\})\\&=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\;.\end{aligned}}$
Das letzte Gleichheitszeichen folgt, da die Verteilungsfunktion von $F_{X}$ als stetig vorausgesetzt ist, woraus $\operatorname {P} (X=-{\sqrt {y}})=\operatorname {P} (\{\omega \mid X(\omega )=-{\sqrt {y}}\})=0$ folgt.
Typischerweise werden solche Berechnungen in der Statistik mit etwas Übung ohne expliziten Rückgriff auf die zugrundeliegende Ergebnismenge $\Omega$ und damit den zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum durchgeführt, z. B. für den Fall $y\geq 0$ in der Form
${\begin{aligned}\operatorname {P} (X^{2}\leq y)&=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}})\\&=\operatorname {P} (X\leq {\sqrt {y}})-\operatorname {P} (X\leq -{\sqrt {y}})+\operatorname {P} (X=-{\sqrt {y}})\\&=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\;.\end{aligned}}$
↑Günter Mühlbach:Repetitorium Stochastik: Ein Zugang über Beispiele. 1. Auflage. Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG, 2011,ISBN 978-3-446-47597-7,S. 53.
↑Matthias Vierkötter:Grundlagen der modernen Finanzmathematik. 2021,ISBN 978-3-662-63062-4,S. 16–17.

Normdaten (Sachbegriff):GND:4129514-6 (GND Explorer,lobid,OGND,AKS)

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